Fa c u l da d e d e En g e n h a r i a d a U n i v e r s i d ad e d o P o r t o
Licenciatura em Engenharia Electrot´
ecnica e de Computadores
Apontamentos de An´alise Num´erica
An´ıbal Castilho Coimbra de Matos
Setembro de 2005
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Tipologia: Resumos
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Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Licenciatura em Engenharia Electrot´ecnica e de Computadores
Apontamentos de An´alise Num´erica
An´ıbal Castilho Coimbra de Matos
Setembro de 2005
Conte´udo
Cap´ıtulo 1
Fundamentos
1.1 Introdu¸c˜ao
Sempre que se pretende tratar algum problema cuja solu¸c˜ao toma a forma do c´alculo de um valor num´erico ´e habitual ter de considerar n˜ao s´o conceitos de car´acter mais abstracto (que fornecem um modelo consistente para a an´alise do problema) mas tamb´em quest˜oes de natureza mais pr´atica relacionadas com os c´alculos a efectuar ou com os n´umeros necess´arios `a realiza¸c˜ao de tais c´alculos.
Exemplo 1.1.1. Suponha-se que se pretende determinar o volume V de um paralelip´ıpedo a partir dos comprimentos de trˆes arestas a, b e c, perpendiculares entre si. Neste caso, o modelo abstracto consiste na express˜ao V = abc, que permite calcular o volume a partir dos comprimen- tos das trˆes arestas. Para aplicar esta express˜ao ´e ent˜ao necess´ario come¸car por medir cada uma das arestas. Ora, `a medi¸c˜ao de cada uma das arestas est´a associado um erro (erro de medida). Ou seja, o processo de medi¸c˜ao fornecer´a valores aproximados dos comprimentos das arestas, sendo eventualmente poss´ıvel obter alguma caracteriza¸c˜ao dos erros de medida. Ao efectuar, em seguida, o produto das medidas dos trˆes comprimentos ir-se-´a obter um valor que apenas po- der´a ser considerado uma aproxima¸c˜ao do volume do paralelip´ıpedo. Obviamente que este valor aproximado ter´a associado um erro que depender´a dos erros cometidos nos processos de medida.
A situa¸c˜ao descrita neste exemplo de n˜ao se conseguir obter um valor num´erico exacto para muitos problemas ´e a mais comum. Esta impossibilidade pode ter origens diversas, de que s˜ao exemplos erros associados a processos de medida, modelos abstractos aproximados, ou c´alculos efectuados de forma aproximada. Contudo esta situa¸c˜ao n˜ao ´e necessariamente m´a, pois na grande maioria (ou at´e talvez na totalidade) dos problemas bastar´a obter um valor num´erico suficientemente pr´oximo do valor exacto.
De uma forma simples, pode dizer-se que a An´alise Num´erica abrange o estudo de m´etodos e t´ecnicas que permitam obter solu¸c˜oes aproximadas de problemas num´ericos de uma forma
1
Cap´ıtulo 1. Fundamentos 2
eficiente. E por natureza uma disciplina que se situa na fronteira entre a Matem´´ atica e a Ciˆencia de Computadores.
Neste cap´ıtulo apresentam-se os conceitos fundamentais necess´arios `a compreens˜ao e utiliza¸c˜ao dos m´etodos num´ericos que ir˜ao ser estudados nos cap´ıtulos subsequentes.
1.2 Valores exactos e aproximados: erros
Consideremos um problema cuja solu¸c˜ao ´e um n´umero real. Este n´umero ´e designado por valor exacto do problema e, no que se segue, ser´a representado por x.
Designa-se por valor aproximado ou aproxima¸c˜ao, e representa-se por x ∗^ , qualquer valor que se pretende utilizar como solu¸c˜ao do problema. Associado a um dado valor aproximado x ∗ define-se o erro de aproxima¸c˜ao como a diferen¸ca entre o valor exacto e o valor aproximado, isto ´e, ∆x ∗^ = x − x ∗^.
x* x
Δ x*
Figura 1.1: Valor exacto e aproxima¸c˜ao.
No caso de x ∗^ < x, a aproxima¸c˜ao diz-se ser por defeito, verificando-se ent˜ao que ∆x ∗^ > 0. No caso de x ∗^ > x, a aproxima¸c˜ao diz-se ser por excesso, tendo-se ent˜ao que ∆x ∗^ < 0.
Exemplo 1.2.1. E sabido que´ π " 3. 14159265359. Ent˜ao,
3 3. 1 3. 14 3. 141...
s˜ao aproxima¸c˜oes de π por defeito e
4 3. 2 3. 15 3. 142...
s˜ao aproxima¸c˜oes de π por excesso.
O valor absoluto do erro de aproxima¸c˜ao, |∆x ∗^ | = |x − x ∗^ |, ´e designado por erro absoluto.
Note-se que de um modo geral, n˜ao ´e conhecido o erro ∆x ∗^ associado a uma dada aproxima¸c˜ao x ∗^. De facto, se ambos fossem conhecidos, o valor exacto x poder-se-ia calcular por interm´edio da express˜ao x = x ∗^ + ∆x ∗^ , e ent˜ao n˜ao se utilizaria tal aproxima¸c˜ao!
Cap´ıtulo 1. Fundamentos 4
Para uma dada aproxima¸c˜ao x ∗^ , o erro m´aximo relativo pode ser calculado a partir do erro m´aximo absoluto conhecido e vice-versa, ainda que de uma forma aproximada. Habitualmente, os erros m´aximos quer absolutos quer relativos s˜ao indicados com um n´umero reduzido de casas decimais (raramente mais do que duas).
Exemplo 1.2.4. Seja x ∗^ = 3. 45 com ε = 0. 01. Ent˜ao ε′^ " 03 ..^0145 " 3 × 10 −^3. Seja x ∗^ = − 2. 7 com ε′^ = 0. 07. Ent˜ao ε " 0. 07 × 2. 7 " 0. 19.
A utiliza¸c˜ao abusiva do majorante do erro relativo dado por (^) |xε ∗ (^) | ´e justificada pelo facto de normalmente se ter que ε % |x|, ou, equivalentemente, ε′^ % 1, resultando em que os valores (^) |xε ∗ (^) | e (^) |εx| sejam muito pr´oximos. Isto ser´a tanto mais verdade quando mais pequeno for ε′^.
1.3 Algarismos significativos
Um n´umero real x ´e representado na forma decimal (base 10) pelo seu sinal (+ ou −) e por uma sequˆencia (finita ou n˜ao) de algarismos do conjunto { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } posicionada relativamente ao ponto (ou v´ırgula) decimal (.), ou seja,
x = ± dn dn− 1... d 1 d 0 .d− 1 d− 2 d− 3...
A necessidade de representar n´umeros de diferentes grandezas de uma forma compacta con- duziu `a introdu¸c˜ao da designada nota¸c˜ao cient´ıfica, que mais n˜ao ´e do que a introdu¸c˜ao na representa¸c˜ao de um factor multiplicativo correspondente a uma potˆencia inteira da base de representa¸c˜ao, ou seja, de base 10. Assim, teremos
x = ± dn dn− 1... d 1 d 0 .d− 1 d− 2 d− 3... × 10 e
A parte da representa¸c˜ao dn dn− 1... d 1 d 0 .d− 1 d− 2 d− 3 ´e designada por mantissa e o n´umero in- teiro e designa-se por expoente. A localiza¸c˜ao do ponto decimal na mantissa pode ser alterada, bastando para tal modificar o valor do expoente de forma correspondente. Por exemplo, o n´umero 10.23 poder´a ser tamb´em representado por 1. 023 × 10, 0. 1023 × 102 , 102. 3 × 10 −^1 , etc.. Note-se que mesmo a representa¸c˜ao decimal tradicional permite representar certos n´umeros de mais do que uma forma (o n´umero 2 pode tamb´em ser representado por 1. 9999999999.. ., embora esta ´ultima seja infinita!).
Como na pr´atica apenas podemos utilizar representa¸c˜oes finitas e por vezes n˜ao queremos ou n˜ao podemos utilizar mais do que um dado n´umero de algarismos da mantissa surge a quest˜ao de como representar um valor suposto exacto que `a partida n˜ao ser´a represent´avel. Concreta- mente, suponhamos que temos um valor com a mantissa d 1 d 2... dn dn+1 dn+2... (n˜ao interessa
Cap´ıtulo 1. Fundamentos 5
a localiza¸c˜ao do ponto decimal, visto que pode ser alterada por simples manipula¸c˜ao do expo- ente) e que apenas pretendemos utilizar os n primeiros algarismos. Podemos aqui utilizar dois processos: a truncatura e o arredondamento.
No caso da truncatura, ignoram-se os algarismos da mantissa a partir do ´ındice n + 1, tendo em aten¸c˜ao que os que correspondam a algarismos inteiros devem ser substitu´ıdos por zeros e posteriormente eliminados por altera¸c˜ao de expoente. A representa¸c˜ao assim obtida diferir´a do valor original menos do que uma unidade da ´ultima casa decimal n˜ao eliminada.
Exemplo 1.3.1. Ao truncar os n´umeros 123. 56 e 123. 51 `as d´ecimas, obtemos em ambos os casos 123. 5. Ao truncar o n´umero 7395 para as centenas, obter´ıamos 73 × 102.
No caso do arredondamento, o objectivo ´e escolher o n´umero represent´avel mais pr´oximo do valor original. Para tal, utilizam-se as seguintes regras
- se 0.dn+1 dn+2... > 0 .5 soma-se uma unidade
a casa decimal n (e alteram-se se necess´ario as casasa esquerda desta), ou seja, arredonda-se para cima; - se 0.dn+1 dn+2... < 0 .5 mant´em-se a casa decimal n, ou seja, arredonda-se para baixo;
- se 0.dn+1 dn+2... = 0.5 arredonda-se para cima ou para baixo de forma a que o algarismo da casa decimal n seja par (neste caso ´e tamb´em poss´ıvel utilizar o arredondamento para cima).
Estas regras asseguram que toda a representa¸c˜ao aproximada obtida por arredondamento difere do valor original n˜ao mais do que 5 unidades da primeira casa n˜ao representada.
Exemplo 1.3.2. Arredondar `as d´ecimas os n´umeros: 1. 26 , 1. 24 , 1. 25 e 1. 35. De acordo com as regras acima temos: 1. 3 , 1. 2 , 1. 2 e 1. 4 , respectivamente.
A utiliza¸c˜ao da nota¸c˜ao x = x ∗^ ± ε, atr´as introduzida, para indicar que x ∗^ ´e uma aproxima¸c˜ao de x com um erro m´aximo absoluto ε tende a ser algo extensa e por tal pouco pr´atica. Uma forma de tornar mais simples a representa¸c˜ao de aproxima¸c˜oes ´e considerar majorantes do erro absoluto apenas da forma 0. 5 × 10 n^ e representar apenas a aproxima¸c˜ao at´e a casa decimal 10n^ , ficando impl´ıcito qual o majorante do erro absoluto. Quando se utiliza esta conven¸c˜ao, os algarismos da mantissa de uma representa¸c˜ao, com excep¸c˜ao dos zerosa esquerda, designam-se algarismos significativos. E de notar que esta simplifica¸´ c˜ao da nota¸c˜ao acarreta uma perda de informa¸c˜ao, pois o erro m´aximo absoluto inicial, ε, ser´a sempre substitu´ıdo por um seu majorante da forma
- 5 × 10 n^.
A passagem de uma aproxima¸c˜ao da forma x ∗^ ±ε para uma representa¸c˜ao apenas com algarismos significativos ´e normalmente efectuada em dois passos: primeiro majora-se ε por um n´umero da forma 0. 5 × 10 n^ , depois arredonda-se x ∗^ para a casa decimal 10n^.
Cap´ıtulo 1. Fundamentos 7
Teorema 1.3.1. Uma aproxima¸c˜ao com n algarismos significativos tem um erro relativo apro- ximado inferior ou igual a 5 × 10 −n^.
Demonstra¸c˜ao. Se x ∗^ ´e uma aproxima¸c˜ao com n algarismos significativos, ent˜ao x ∗^ ´e da forma
x ∗^ = ±d 1 d 2 · · · dn × 10 k^ ,
para algum k ∈ Z e com d 1 &= 0. De acordo com a conven¸c˜ao utilizada, esta aproxima¸c˜ao ter´a um erro m´aximo absoluto ε = 0. 5 × 10 k^ (metade da ´ultima casa decimal representada).
O erro m´aximo relativo (aproximado) ε′^ satisfaz
ε′^ = (^) |xε ∗ (^) | = 0.^5 ×^10
k d 1 d 2 · · · dn × 10 k^ =^
d 1 d 2 · · · dn^.
Como d 1 &= 0 tem-se que 10n−^1 ≤ d 1 d 2 · · · dn < 10 n^ , concluindo-se finalmente que
ε′^ ≤ (^100) n.^5 − 1 = 5 × 10 −n^.
1.4 Sistemas de v´ırgula flutuante
A representa¸c˜ao mais comum de n´umeros reais em sistemas computacionais ´e realizada em v´ırgula flutuante. Um sistema de v´ırgula flutuante ´e caracterizado por 4 parˆametros: a base de representa¸c˜ao (β), o n´umero de d´ıgitos da mantissa (n) e os valores m´aximos e m´ınimos do ex- poente (m e M , respectivamente). Tal sistema ´e habitualmente representado por FP(β, n, m, M ). Assim, dizer que x ∈ FP(β, n, m, M ) ´e equivalente a ter
x = ±(0.d 1 d 2... dn ) × β e
onde e ´e um inteiro tal que m ≤ e ≤ M , e di , para i = 1,... , n, s˜ao d´ıgitos na base β. Note-se que habitualmente se tem que m < 0 < M , de forma a tornar poss´ıvel representar n´umeros com valores absolutos menores e maiores do que a unidade.
Habitualmente, os sistemas computacionais utilizam sistemas de v´ırgula flutuante de base 2, de forma a que apenas seja necess´ario utilizar os d´ıgitos “0” e “1”.
Obviamente que um sistema de v´ırgula flutuante apenas permite representar um subconjunto finito de n´umeros reais. Nestes sistemas, o conjunto de expoentes permitidos limita a gama de valores represent´aveis e o n´umero de d´ıgitos da mantissa caracteriza a precis˜ao com que se podem aproximar n´umeros que n˜ao tenham representa¸c˜ao exacta.
Diz-se ainda que um sistema de v´ırgula flutuante se encontra normalizado se apenas permitir representa¸c˜oes de n´umeros cujo primeiro algarismo da mantissa seja diferente de zero, isto ´e, d 1 &= 0, isto para al´em de permitir a representa¸c˜ao do n´umero zero.
Cap´ıtulo 1. Fundamentos 8
Independentemente de se tratar de um sistema normalizado ou n˜ao, qualquer sistema de v´ırgula flutuante ter´a a si associado o n´umero diferente de zero com menor valor absoluto represent´avel bem como o n´umero com o maior valor absoluto represent´avel.
Quando se utiliza um sistema de v´ırgula flutuante, as opera¸c˜oes aritm´eticas ser˜ao realizadas so- bre n´umeros represent´aveis nesse sistema. Contudo, em muitas situa¸c˜oes o resultado da opera¸c˜ao n˜ao ter´a representa¸c˜ao exacta nesse sistema. Desta forma o valor fornecido pelo sistema com- putacional ser´a um valor aproximado (tipicamente obtido por arredondamento ou truncatura). Os erros resultantes de tais aproxima¸c˜oes ser˜ao analisados na sec¸c˜ao seguinte.
Situa¸c˜oes h´a, todavia, em que o resultado de uma dada opera¸c˜ao se encontra fora da gama de valores represent´aveis, seja porque o seu valor absoluto ´e n˜ao nulo mas inferior ao menor valor absoluto represent´avel, seja porque o seu valor absoluto ´e superior ao maior valor abso- luto represent´avel. A primeira destas situa¸c˜oes ´e designada por underflow e a segunda por overflow. Nestes casos n˜ao ´e aconselh´avel utilizar um n´umero do sistema de v´ırgula flutuante para representar o resultado, pois o erro relativo de tal aproxima¸c˜ao poder´a ser arbitrariamente elevado. Por tal motivo, ´e comum os sistemas computacionais tratarem as situa¸c˜oes de over- flow e underflow como situa¸c˜oes de erro. Refira-se tamb´em que muitos sistemas computacionais n˜ao sinalizam a ocorrˆencia de underflow, limitando-se a fornecer o valor 0 como resultado da opera¸c˜ao em causa.
Exemplo 1.4.1. Consideremos um hipot´etico sistema de v´ırgula flutuante FP(10, 3 , − 10 , 30) normalizado. Sejam ainda os n´umeros
x = 0. 200 × 10 −^8 y = 0. 400 × 10 −^5 z = 0. 600 × 1028
todos com representa¸c˜ao exacta neste sistema.
O resultado da opera¸c˜ao x × y ´e
- 8 × 10 −^14.
Este resultado n˜ao ´e represent´avel no sistema considerado por o expoente ser inferior ao menor expoente represent´avel. De facto o menor n´umero positivo represent´avel ´e 0. 1 × 10 −^10. Assim a opera¸c˜ao x × y resulta numa situa¸c˜ao de underflow.
O resultado da opera¸c˜ao z/x ´e
- 3 × 1037.
Este valor ´e superior ao maior valor (positivo) represent´avel no sistema considerado, que ´e,
- 999 × 1030. Verifica-se assim que a opera¸c˜ao z/x resulta numa situa¸c˜ao de overflow.
Do exposto acima, pode facilmente concluir-se que a implementa¸c˜ao de um sistema de v´ırgula flutuante pode ser bastante complexa, sendo necess´ario definir, para al´em dos parˆametros
Cap´ıtulo 1. Fundamentos 10
Este exemplo mostra que ao somar n´umeros de magnitudes diferentes poder˜ao ser “perdidos” algarismos menos significativos do n´umero de menor magnitude, sendo o resultado afectado de um erro.
Este problema poder´a ocorrer tamb´em ao somar sequencialmente um elevado n´umero de parcelas de magnitudes semelhantes e com o mesmo sinal: de facto, a magnitude da soma parcial poder´a tornar-se elevada face `a das parcelas, originando erros no processo de soma. Tal efeito pode tornar-se muito nefasto, fazendo com que o resultado final obtido com aritm´etica finita esteja muito longe do verdadeiro valor. Por exemplo, se numa m´aquina com 4 d´ıgitos de mantissa tentarmos somar sequencialmente um milh˜ao de parcelas de valor 1, obtemos como resultado final o valor 10^4 , e n˜ao 10^6! Efectivamente, nessa m´aquina hipot´etica, a soma de 10^4 com 1 resulta em 10^4. Este problema poder´a ser evitado quer utilizando m´aquinas com precis˜ao (leia- se n´umero de d´ıgitos da mantissa) suficiente, ou ent˜ao, organizando os c´alculos de uma forma alternativa, por exemplo, somando as parcelas duas a duas, e depois tais somas novamente duas as duas, etc.
Outro caso que ´e necess´ario ter em aten¸c˜ao ´e a subtrac¸c˜ao de dois n´umeros quase iguais. Aqui, o resultado poder´a ter um erro m´aximo absoluto da sua ordem de grandeza, originando um erro relativo elevado. Este fen´omeno de perda de algarismos significativos ´e designado por cancelamento subtractivo.
Exemplo 1.5.2. Efectuar a subtrac¸c˜ao 2. 034 − 2. 016 utilizando 3 d´ıgitos em v´ırgula flutuante.
Resolu¸c˜ao Em primeiro lugar ´e necess´ario representar os n´umeros em quest˜ao apenas com 3 d´ıgitos. Ar- redondando os dois n´umeros dados para 3 algarismos obt´em-se 2. 03 e 2. 02 , respectivamente. O resultado aproximado da subtrac¸c˜ao, utilizando os n´umeros arredondados ´e x ∗^ = 0. 01.
O valor exacto da subtrac¸c˜ao ´e 0. 018 , pelo que o erro absoluto de x ∗^ ´e 0. 008 e o seu erro relativo ´e 44%, aproximadamente.
O cancelamento subtractivo pode levar a resultados com elevados erros relativos que s˜ao sempre indesej´aveis. No entanto, ´e por vezes poss´ıvel dispor os c´alculos de forma a evitar tal cancela- mento.
Exemplo 1.5.3. Seja x ( 1 e y =
x + 1 − √x. O c´alculo de y pela express˜ao dada pode originar um erro relativo elevado devido ao cancelamento subtractivo. Contudo, a express˜ao equivalente y = √x + 1 +^1 √x
permite calcular y, evitando tal fen´omeno.
Cap´ıtulo 1. Fundamentos 11
1.6 Propaga¸c˜ao de erros no c´alculo de fun¸c˜oes
Nesta sec¸c˜ao iremos analisar como se propagam os erros de aproxima¸c˜ao no c´alculo de fun¸c˜oes. Abordaremos primeiro o caso de uma fun¸c˜ao real de vari´avel real e posteriormente o caso de uma fun¸c˜ao real de vari´avel vectorial.
Seja ent˜ao f : R → R. A situa¸c˜ao que iremos tratar pode descrever-se do seguinte modo: conhecendo uma aproxima¸c˜ao x ∗^ de x, que valor y ∗^ considerar para aproximar y = f (x) e como relacionar os erros de aproxima¸c˜ao de x ∗^ e de y ∗^?
No caso de a fun¸c˜ao f ser cont´ınua verifica-se que `a medida que x ∗^ se aproxima de x mais o valor f (x ∗^ ) se aproxima de f (x). Nesta situa¸c˜ao, que ´e a mais usual, pode utilizar-se o valor y ∗^ = f (x ∗^ ) como aproxima¸c˜ao de y = f (x).
x x*
y*
y
f
Figura 1.2: f (x ∗^ ) aproxima¸c˜ao de f (x).
Para al´em da determina¸c˜ao do valor aproximado de y ∗^ = f (x ∗^ ), interessa tamb´em caracterizar o erro cometido nesta aproxima¸c˜ao, ou melhor, relacionar este erro com o erro de aproxima¸c˜ao de x por x ∗^. E claro que o erro´ ∆y ∗^ = y − y ∗^ depender´a do erro ∆x ∗^ = x − x ∗^ e tamb´em da fun¸c˜ao f em quest˜ao. De facto, o erro de aproxima¸c˜ao ∆y ∗^ ´e obtido pela express˜ao
∆y ∗^ = y − y ∗^ = f (x) − f (x ∗^ ) = f (x ∗^ + ∆x ∗^ ) − f (x ∗^ ).
Se a fun¸c˜ao f for continuamente diferenci´avel, a aplica¸c˜ao do teorema do valor m´edio permite escrever f (x ∗^ + ∆x ∗^ ) − f (x ∗^ ) = f ′^ (¯x) · ∆x ∗
para algum ¯x entre x ∗^ e x ∗^ + ∆x ∗^. Obt´em-se ent˜ao que
∆y ∗^ = f ′^ (¯x) · ∆x ∗^ ,
ou ainda, |∆y ∗^ | = |f ′^ (¯x)| · |∆x ∗^ |. (1.6.1)
Cap´ıtulo 1. Fundamentos 13
Dados x ∈ R e uma fun¸c˜ao f , o n´umero de condi¸c˜ao de f em x ´e definido como sendo ∣∣ ∣∣^ xf^ ′^ (x) f (x)
Este valor pode ser utilizado para avaliar a perda ou o ganho de algarismos significativos no c´alculo de uma fun¸c˜ao, uma vez que caracteriza a amplia¸c˜ao ou redu¸c˜ao do erro relativo. Quando o n´umero de condi¸c˜ao for reduzido a fun¸c˜ao diz-se bem condicionada. Quando o n´umero de condi¸c˜ao for elevado a fun¸c˜ao diz-se mal condicionada e o erro relativo ´e amplificado.
Exemplo 1.6.2. Quantos d´ıgitos significativos se podem perder no c´alculo da fun¸c˜ao y = tan(x) quando x est´a pr´oximo de 1? E quando x est´a pr´oximo de 1. 5?
Resolu¸c˜ao Como dy dx = 1 + tan 2 (x) tem-se que
∣∣ ∣∣^ dy dx ·^
x y
∣ (^) x=1^ =
∣∣^ (1 + tan^
(^2) (x)) · x tan(x)
∣ x=1^ =
1 + tan 2 (1) tan(1) ≈^2.^2 >^1
podendo perder-se um d´ıgito significativo.
Repetindo os c´alculos para x = 1. 5 , obter-se-ia
∣ dy dx ·^ x y
∣ ≈^21 , concluindo-se que em tal caso se poderiam perder at´e 2 d´ıgitos significativos.
Passemos agora a analisar o caso em que y depende de diversas vari´aveis, isto ´e, quando y = f (x 1 , x 2 ,... , x (^) n ), onde f ´e uma fun¸c˜ao de R em R n^ , que se considera continuamente diferenci´avel.
Para cada i = 1,... , n, seja x ∗ i , um valor aproximado de x (^) i , com erro m´aximo absoluto εx (^) i. Nestas condi¸c˜oes verifica-se que y ∗^ = f (x ∗ 1 , x ∗ 2 ,... , x ∗ n )
ser´a um valor aproximado de y = f (x 1 , x 2 ,... , x (^) n ) com erro m´aximo absoluto
εy =
∑^ n i=
∣∣^ ∂f ∂x (^) i
max
· εx (^) i
onde cada um dos m´aximos das derivadas parciais de f em rela¸c˜ao `as diversas vari´aveis inde- pendentes ´e determinado em
∏ (^) n i=1 [x^ i^ −^ εx^ i^ , x^ i^ +^ εx^ i^ ]. E tamb´´ em poss´ıvel obter o erro relativo m´aximo para y ∗^ dado por
ε′ y =
∑^ n i=
∣∣^ ∂f ∂x (^) i^ ·^
x (^) i f
max
· ε′ x (^) i
Nesta express˜ao, considera-se que ε′ x (^) i ´e um majorante do erro relativo de x ∗ i , para i = 1,... , n. As maximiza¸c˜oes s˜ao ainda realizadas no conjunto indicado acima, tomando-se agora εx (^) i = ε′ x (^) i |x (^) i |.
Cap´ıtulo 1. Fundamentos 14
Exemplo 1.6.3. O erro m´aximo absoluto no c´alculo de s = a + b pode ser obtido a partir dos erros m´aximos absolutos em a e b da seguinte forma
εs =
∣∣^ ∂s ∂a
max
· εa +
∣∣^ ∂s ∂b
max
· εb = εa + εb.
Exemplo 1.6.4. O erro m´aximo relativo no c´alculo de w = xyz, pode ser obtido a partir dos erros m´aximos relativos em x, y e z da seguinte forma
ε′ w =
∣∣^ ∂w ∂x ·^
x w
max
· ε′ x +
∣∣^ ∂w ∂y ·^
y w
max
· ε′ y +
∣∣^ ∂w ∂z ·^
z w
max
· ε′ z
=
∣∣yz · x xyz
max
· ε′ x +
∣∣xz · y xyz
max
· ε′ y +
∣∣xy · z xyz
max
· ε′ z
= ε′ x + ε′ y + ε′ z.
A terminar esta exposi¸c˜ao ´e conveniente salientar a importˆancia de nas express˜oes de propaga¸c˜ao de erros absolutos e relativos se considerar o valor m´aximo poss´ıvel para o factor de amplifica¸c˜ao (ou redu¸c˜ao do erro). Efectivamente, s´o esta maximiza¸c˜ao garante que se conseguem obter majorantes para os erros nas vari´aveis dependentes a partir dos erros nas vari´aveis independentes. Contudo, em an´alises mais simplificadas da propaga¸c˜ao de erros apenas se considera o valor de tal factor num ponto (normalmente o valor aproximado da vari´avel independente). Este tipo de an´alise ´e por vezes suficiente pois nem sempre interessa conhecer um majorante do erro, mas apenas a sua ordem de grandeza.
1.7 C´alculo de s´eries e erro de truncatura
Por vezes a determina¸c˜ao de um certo valor envolve a realiza¸c˜ao de uma sucess˜ao infinita de opera¸c˜oes. O erro cometido quando se toma uma aproxima¸c˜ao resultante da realiza¸c˜ao de um n´umero finito de opera¸c˜oes designa-se erro de truncatura.
Um dos casos em que se surge o erro de truncatura ´e no caso da aproxima¸c˜ao da soma S de uma s´erie convergente ∑^ ∞ i=0 a (^) i pela soma parcial S (^) n = ∑^ ni=0 ai. Neste caso, o erro de truncatura ser´a R (^) n = S − S (^) n.
No caso geral n˜ao ´e simples determinar o n´umero de termos a somar para calcular o valor da s´erie com um dado erro m´aximo pretendido. H´a contudo um tipo de s´eries, as s´eries alternadas, em que esta tarefa ´e bastante simples, como refere o teorema seguinte.
Teorema 1.7.1. Considere-se a sucess˜ao {an }∞ n=0 decrescente e de termos n˜ao negativos, ou seja, a 0 ≥ a 1 ≥... ≥ a (^) n ≥... ≥ 0. Est˜ao a s´erie ∑^ ∞ i=0 (−1)i^ ai ´e convergente para um n´umero S. Verifica-se ainda que a soma parcial S (^) n = ∑^ ni=0 (−1)i^ ai verifica a rela¸c˜ao
|S − S (^) n | ≤ a (^) n+1 ,