Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
PROVA DE 2004. Questão 9. A respeito da teoria da utilidade esperada, identifique as afirmativas corretas: O prêmio de risco de um indivíduo propenso ao ...
Tipologia: Notas de aula
1 / 27
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Bruno Henrique Versiani Schröder Cristiane Alkmin J. Schmidt Jefferson Donizeti Pereira Bertolai Paulo C. Coimbra Rafael Martins de Souza Rodrigo Leandro de Moura Victor Pina Dias
Microeconomia
(organizadora)
Questões comentadas das provas de 2003 a 2012
2 a^ Edição Revista e Atualizada
Bruno Henrique Versiani Schröder Cristiane Alkmin J. Schmidt Jefferson Donizeti Pereira Bertolai Paulo C. Coimbra Rafael Martins de Souza Rodrigo Leandro de Moura Victor Pina Dias
Microeconomia
(organizadora)
Questões comentadas das provas de 2003 a 2012
2 a^ Edição Revista e Atualizada
76 Microeconomia ELSEVIER
valor certo esperado dessa loteria. Por isso, ele só estaria disposto a abrir mão de participar da loteria se recebesse um prêmio de tal modo que, ao final, rece- besse um valor certo acima do valor esperado da loteria.
Prêmio de Risco = Valor Esperado da Riqueza – Equivalente Certeza
(1) Verdadeiro. Todo risco tem uma distribuição de probabilidades. Analisá-lo pelos seus dois primeiros momentos é uma alternativa equivalente (a média é o primeiro momento e a variância o segundo momento). A ideia por detrás é que os agen- tes, de forma geral avessos, gostam de um ativo que tenha média (dos retornos incertos) alta e que apresente baixa volatilidade (i.e., variância ou desvio pa- drão dos retornos com relação a sua média). Portanto, pode-se modelar que as preferências dos indivíduos sejam em função destas duas medidas (média e variância), em que a primeira mercadoria seja um “bem” e a segunda seja um “mal”, e que a restrição seja dada por uma reta que representa o trade-off entre risco e volatilidade.
(2) Falso. O prêmio de risco é levemente maior do que 1. Ele é 1,1. Por isso, a ques- tão é falsa. Vamos à resolução: pelos dados do problema, o indivíduo tem uma renda certa de W 0 = 12 e uma loteria de: Ŷ 12 – 5 = 7, com probabilidadade ½; Ŷ 12 + 5 = 17, com probabilidade ½.
A utilidade esperada de Von Neumann-Morgenstern é tal que: E[U(w)] = ln(7)1/2 + ln(17)1/2 = 2,
ELSEVIER Capítulo 2^ |^ Incerteza^77
Para calcular o prêmio de risco, temos que calcular primeiro o Equivalente Certeza, isto é, o valor mínimo que o indivíduo estaria disposto a receber para não ter o risco. Para isso, há que fazer: ln(w) = E[U(w)], resultando em ln (w) = 2,39 W = 10,9087. Além disso, há que calcular o valor esperado da aposta, qual seja: E(W) = (7)1/2 + (17)1/2 = 12
Portanto, o prêmio de risco será: P = E(W) – W (^) EC = 12 – 10,9087 # 1,1.
(3) Verdadeiro. Um indivíduo avesso ao risco pode ter uma carteira com risco, isto é, pode participar de uma loteria. Tudo depende do preço. Ele enfrenta sempre o trade- off entre retorno e risco, como mencionado no item 1 desta questão. Mas, como ele é avesso, cobrará um prêmio de risco positivo, isto é, só entrará no jogo se o retorno esperado da loteria for maior do que o retorno de um ativo sem risco e se este compensar o tamanho do risco da loteria.
(4) Falso. Não, pois as funções apresentadas, apesar de serem transformações mono- tônicas, não são do tipo afim. No caso de escolha com incerteza, diferentemen- te da teoria do consumidor sem incerteza, não é qualquer transformação mo- notônica que preserva a ordem das preferências. Neste caso, há que ser de um tipo específico: transformação monotônica afim, que é: v(u(W)) = aU(w) + b.
Um indivíduo tem renda de $12,00. Este indivíduo tem a possibilidade de investir em um ativo de risco que dá um retorno unitário de $16,00, com probabilidade 0,5, e retorno zero, com probabilidade 0,5. O preço unitário do ativo é $3,00. Sua função de utilidade de Von Neumann-Morgenstern é u x (^^ )^ x****. Julgue as afirmativas: Sendo cb seu consumo no estado bom e cr no estado ruim, caso invista no ativo, sua utilidade esperada será 0,6^ cb^ 0,4 cr^. Caso adquira o ativo, sua utilidade esperada será 4. ཱ Baseando-se no cálculo das utilidades esperadas, este indivíduo não deve adquirir o ativo de risco.
ELSEVIER Capítulo 2^ |^ Incerteza^79
A decisão em adquirir ou não depende da comparação entre as duas alter- nativas acima. Assim, ele adquire o ativo arriscado.
(3) Falso. No item (2) vimos que: E(u(w)) = 4
Desse modo, podemos calcular o equivalente certeza:
E( ( u w )) u w( ) 4 w , logo, w = 16
(4) Verdadeiro.
Retorno sem risco é igual a retorno com risco (para um ser indiferente ao outro) – que é o equivalente certeza. Logo: 12(1 + r) = 16
12 12 r 16 12 r 4 r 33,3%
Um consumidor tem uma função utilidade de Von Neumann-Morgenstern representada por u ( z ) = log 2 ( z ). Ele possui uma riqueza inicial de $128 e participará gratuitamente de uma loteria que pagará $384,00 com probabilidade 1/2, e $0 com probabilidade 1/2. O menor valor que o consumidor estaria disposto a receber em troca do bilhete de loteria é de 2^ E. Qual o valor de E?
Resolução:
De acordo com os dados do problema, temos: Dada a sua renda certa inicial w 0 = $128, se o indivíduo participar da lote- ria, terá o seguinte payoff: Ŷ $384 + $128 = $512, com probabilidade 0,5; Ŷ $0 + $128 = $128, com probabilidade 0,5.
80 Microeconomia ELSEVIER
A utilidade esperada da riqueza é portanto: §^ ·^ §^ ·^ §^ ·^ §^ · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ 1 1 2 2 2 2 ( ( )) ( ) ( ) 1 log 512 1 log 128 1 9 1 7 8 2 2 2 2
E u W p u c p u c
Para encontrar o “Equivalente Certeza”, basta igualar o valor da utilidade esperada de Von Neumann-Morgenstern à função de utilidade do consumidor, da seguinte forma:
log 2 (wEC ) = E[U(W)] log 2 (wEC ) = 8 wEC = 2^8
wE = 2 8 O menor valor que o consumidor estaria disposto a receber em troca do bilhete de loteria, considerando w 0 = 0. Como ele já tem w = 128 = 2^7 , a resposta final é: 2^8 – 2 7 = 2^7 = Logo, a resposta é 7.
Resposta: 7.
Um indivíduo tem uma riqueza não nula e sua função de utilidade Von Neumann-Morgens- tern tem a forma funcional u(x) = k – a/x, em que a e k são constantes positivas e x > a/k. Este indivíduo é convidado a participar de uma loteria que triplica sua riqueza com probabilidade p e a reduz à terça parte com probabilidade (1 – p)****. Qual deve ser o valor mínimo de p para que o indivíduo aceite participar da loteria? Multiplique a probabilidade encontrada por 100.
82 Microeconomia ELSEVIER
Um indivíduo possui riqueza w = $100 e se depara com uma loteria que pode acrescentar $ à sua riqueza, com probabilidade 1/4, ou subtrair $36, com probabilidade 3/4. Sua utilidade, do tipo Von Neumann-Morgenstern (VNM), é dada por u(x) = x^. Julgue as afirmações: A medida relativa de aversão ao risco desse indivíduo é estritamente decrescente. O máximo que o indivíduo está disposto a pagar para se livrar do risco é $19. ཱ O indivíduo está disposto a pagar $3 a mais do que o prêmio de seguro justo ( fair insu- rance premium ) para se livrar do risco. ི Se a riqueza do indivíduo aumentasse, sua aversão absoluta ao risco diminuiria. ཱི Para esse indivíduo, a utilidade esperada da riqueza é maior do que a utilidade do valor esperado da riqueza.
Resolução: (0) Falso. Dada a função de utilidade de Bernoulli: u^ x^ , teremos: 1 u' 2
x
(^12)
u'' 1 4
x
(^32)
O coeficiente de aversão relativo ao risco (AR) será dado por:
AR (^) x x x x ' 2 2
u^ x u x
(^12)
(^32)
.
Logo, AR é constante (independe da renda x).
(1) Verdadeiro. O máximo que o indivíduo estaria disposto a pagar seria o valor de um Seguro Total (ST), que tem duas partes: o Seguro Justo (SJ) e o Prêmio de Risco (PR). Há duas formas de resolver esta questão. A primeira seria: igualar o valor da utilidade esperada de VNM à função U(100-V), e encontrar diretamente o ST. Isto é:
ELSEVIER Capítulo 2^ |^ Incerteza^83
Dado que ( ( )) 1 144 3 64 1 12 38 3 6 9 4 4 4 4
E u W , faça: 9 =
100 V (^) 81 = 100 – V V = 19.
A segunda seria: primeiro calcular o E(W), depois o Equivalente Certeza (EC), depois o PR e, por fim, o SJ. Isso tudo para ter ST = SJ + PR.
Dado w 0 = $100, o indivíduo tem a seguinte loteria:
Ŷ $100 + $44 = $144, com probabilidade 1/4; Ŷ $100 – $36 = $64, com probabilidade 3/4.
Assim, o valor esperado da riqueza é: E (W ) 144 64 84
A utilidade associada ao valor esperado da riqueza será: u ( E( W )) 84 9,
A utilidade esperada da riqueza é dada por: E(u(W)) = p 1 u(c 1 ) + p 2 u(c 2 ) ( ( )) 1 144 3 64 1 12 38 3 6 9 4 4 4 4
E u W
Equivalente certo: EC^9 W^81. Prêmio de risco: PR = E(W) – EC = 84 – 81 = 3.
Se lhe é oferecida uma loteria tal qual foi exposto, o ganho esperado é de $84. Mas esse valor não é garantido. O que lhe é garantido é w 0 = $100. Assim,
ELSEVIER Capítulo 2^ |^ Incerteza^85
Resolução:
(0) Falso.
V f x f x V
E r r E r r , onde P =
V f V
E r r (^) é o preço do risco.
Então, usando as informações do problema, temos:
V f V
E r r P.
(1) Falso. Pelo gabarito da ANPEC esta questão é Verdadeira. A taxa marginal de substituição só tangencia a restrição orçamentária no ponto de equilíbrio. Assim, em equilíbrio, temos que TMgS = P = 3%. Fora do equilíbrio, no entanto, a TMgS pode assumir vários valores. Como não foi dada a função de utilidade, não é possível calcular a TmgS. Então, de forma geral, nada se pode afirmar.
(2) Verdadeiro.
Dados o retorno esperado do mercado E(r (^) m ) = 16%, o retorno do ativo sem risco r (^) f = 10%, o Ei = 3, pela equação do modelo CAPM (Capital Asset Pri- cing Model: E(r (^) i ) = Rf + Ei (E(r (^) m ) – rf ), temos que: E(r (^) i ) = 10% + 3(16% – 10%) = 28%.
(3) Verdadeiro.
Com as informações do problema dadas pelos itens anteriores, temos que: §^ · ¨ ¸ © ¹
i 2 E r.
Para encontrar o preço do ativo i, hoje, temos que trazê-lo a valor presente, da seguinte forma:
i^ i i
E r Preço E r
86 Microeconomia ELSEVIER
(4) Verdadeiro. Quando dois ativos que pertencem a uma carteira têm uma covariância negativa, a variabilidade do portfólio diminui. Por isso, ativos que são negati- vamente correlacionados são valiosos. Portfólio = ax + by V(P) = a^2 V(x) + b 2 V(y) + 2ab cov(x, y)
Um indivíduo possui a seguinte função de utilidade U = 1 – (1/w), em que w é o valor presente líquido da sua renda futura. Neste momento, ele está contemplando duas opções de carreira profissional. A primeira opção dará a ele uma renda certa de w = 5. A outra alternativa dará w = 400, com 1% de chance, e w = 4, com 99% de chance. Assim, responda às seguintes questões: O coeficiente de aversão absoluta ao risco de Arrow-Pratt é 1/W. É maior a utilidade esperada da segunda opção. ཱ Suponha que exista uma forma pela qual o indivíduo saiba exatamente se conseguirá obter W = 400 ou W = 4 se escolher a segunda alternativa. O maior valor que o indi- víduo estaria disposto a pagar por esta informação é 1. ི O equivalente certo (ou equivalente de certeza) da segunda alternativa é 4,5. ཱི A aversão relativa ao risco deste indivíduo diminui no caso em que ele possua W = 400 se comparada ao caso em que ele possua W = 5.
Resolução: (0) Falso. Dada a função de utilidade de Bernoulli: u(W) = 1 – W-1, teremos: u’ = W-2^ > 0 u’’ = –2W-3^ < 0
O coeficiente de aversão absoluta ao risco (AA) será dado por: AA
3 1 2
u W W u W
88 Microeconomia ELSEVIER
O Prêmio de Risco (PR) é: E(W) – EC PR = 7,96 – 4,032 = 3,
Mas o indivíduo tem uma renda certa = 5 > 4.
Assim, ele não está disposto a pagar $3,92, mas $2,96 = $7,96 – $5. (3) Falso. Como pode ser visto acima, o EC = $4,032.
(4) Falso. O coeficiente de aversão relativo ao risco: AR ''^ (2W )-1 2 '
u (^) W W u Portanto, ele é constante para qualquer que seja a riqueza W.
Avalie as afirmações abaixo, com relação à escolha sob incerteza: Se submetermos uma função de utilidade Von Neumann-Morgenstern a uma transfor- mação afim positiva, ela não preservará a propriedade de utilidade esperada; Pela hipótese da independência, as escolhas do consumidor em um estado da natureza devem independer das escolhas em outro estado da natureza; ཱ Se a função de utilidade for linear nas probabilidades, a utilidade atribuída a um jogo de azar será apenas o produto das utilidades dos diversos resultados possíveis, com cada utilidade elevada a sua probabilidade; ི Uma função de utilidade côncava significa que o indivíduo é propenso ao risco; ཱི Se c (^) 1 representa o consumo no estado 1 e c 2 o consumo no estado 2, e da mesma forma p 1 representa a probabilidade do estado 1 e p 2 a probabilidade do estado 2, uma função de utilidade Von Neumann-Morgenstern assumiria a forma: c 1 p1^ c 2 p^.
Resolução: Aqui vale um comentário, que é útil também para todas as questões sobre incerteza dos anos anteriores. A função que a se refere o enunciado não é de Von Neumann-Morgenstern, mas de Bernoulli.
ELSEVIER Capítulo 2^ |^ Incerteza^89
(0) Falso. Transformações afins positivas de funções de utilidade esperada de Von Neumann-Morgenstern preservam o ordenamento das preferências. Para comprovar, notemos que: Seja a definição de uma transformação afim positiva (TMAP): V[px + ( 1 – p)y] = aU (px + (1 – p)y) + b
Substitua U(.) por uma função de utilidade de vNM: V[px + ( 1 – p)y] = a[pU(x) + (1 – p)U(y)] + b
Por algebrismo temos: V[px + ( 1 – p)y] = p[aU(x) + b] + (1 – p)[aU(y) + b]
V[px + ( 1 – p)y] = pU(x) + (1 – p)U(y)
O que obtemos é justamente a função de utilidade esperada de vNM. Ou seja, pode-se dizer que se submetermos uma função de utilidade de vNM a uma TMAP, ela preservará a propriedade da utilidade esperada.
(1) Verdadeiro.
Os estados de natureza são independentes. Um exemplo é: ou chove ou faz sol, isto é, somente um estado da natureza ocorrerá em t + 1. Não confundir, no entanto, com o axioma da independência que diz que se o indivíduo pre- fere da loteria x a y, ou seja, se x > y, então, se fizermos uma combinação linear dessas loterias com uma terceira loteria z, continuaremos a preservar a relação de preferência entre x e y, isto é: tx + (1 – t)z > ty + (1 – t)z
(2) Falso. A função de utilidade esperada Von Neumann-Morgenstern é linear nas probabilidades por definição. Assim, uma função de utilidade do tipo U = u(c 1 )p^1 u(c 2 )p^2 (mencionada na questão), não representa uma função de utili- dade esperada de Von Neumann-Morgenstern, que é sempre representada na forma: E[U(c 1 , c 2 )] = p 1 u(c 1 ) + p 2 u(c 2 ).
ELSEVIER Capítulo 2^ |^ Incerteza^91
Resolução:
(0) Falso. Dada a função de utilidade: u(W) = –e–^ EW , teremos: u'(W) = Ee –^ EW u''(W) = – E 2 e –^ EW
Assim, o coeficiente de aversão absoluta ao risco (AA) será dado por: AA
2 - W
'' e ' e
u u
E E
Note que o coeficiente AA é constante e não depende de W.
Por sua vez, o coeficiente de aversão relativa ao risco (AR) será dado por: AR
2 - W
'' e ' e
u W W u
E E
Neste caso, o coeficiente AR depende da riqueza positivamente.
(1) Falso.
Dados o retorno esperado do ativo arriscado E(rV) = 21% e a variância da carteira Vx^2 = 0,09 V (^) x = 0,3, a equação que mostra o trade-off entre retorno e desvio padrão (que é a restrição orçamentária do problema do consumidor que está maximizando uma função de utilidade parametrizada pela média e pelo desvio padrão) é a seguinte:
V f x f x V
E r r E r r
onde P =
V f V
E r r é o preço do risco.
Então, usando as informações do problema, temos:
V f V
E r r P.
92 Microeconomia ELSEVIER
(2) Falso. Dados o retorno esperado do mercado E(r (^) m ) = 21% , o retorno do ativo sem risco r (^) f = 8%, o valor esperado do ativo arriscado i E(i) = $64, a variân- cia da carteira V (^) x^2 = 0,10 V (^) x = 0,1 e a covariância entre o ativo i e a carteira COV(i, x) = 0,5, pela equação do modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model): E(r (^) i ) = Rf + Ei (E(r (^) m ) – r) , e sabendo que o beta do ativo i, neste caso, pode ser
2
i x
COV i x , podemos encontrar o retorno esperado do ativo
i da seguinte forma:
§^ · ¨© ¸¹
i 0, E r
E(r (^) i ) = 0,08 + (50)0,04 = 2,
Para encontrar o preço do ativo i, hoje, temos que trazê-lo a valor presente, da seguinte forma:
i [1 ( )]i (1 2,08) 3,
E i Preço E r
(3) Verdadeiro. Em equilíbrio, a TMgS é o preço do risco, isto é, TmgS = P =
V f 0, V
E r r (^). Se
V f x f x V
E r r E r r , podemos
obter o retorno esperado da carteira: E(rx) = 12% + 0,3(0,2) = 0,18 = 18%.
(4) Verdadeiro. Um indivíduo possui uma função de utilidade de Bernoulli dada por u w ( ) w (^) e tem uma renda certa de w 0 = $100. Como sua perda, x, é aleatória, com distribuição uniforme entre zero e 100, essa apresenta média e variância iguais a:
