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Capítulo 8
A Teoria da Escolha sob
Incerteza
8.1 Introdução
Muitas das situações em que as pessoas fazem escolhas envolvem algum tipo de incerteza. Em vários casos, é razoável ignorar esse problema e trabalhar sob a hipótese de certeza. Em outros casos, porém, a incerteza está na raiz do problema. Exemplos: seguros, investimentos financeiros, loterias e jogos de azar. Agentes tomam decisões que afetam as conseqûencias econômicas de sua incerteza. Queremos então uma teoria que nos permita lidar com essas questões. Ou seja, queremos de um lado uma forma de representar escolhas nesse ambiente (i.e., determinar o que seja um conjunto de consumo, restrições orçamentárias, prefer- ências ou adotar uma outra abordagem) e determinar a estrutura que esta teoria confere ao problema de escolha individual. É necessária uma teoria do consumidor “especial” para tratamento da incerteza? Não. Uma alternativa para que seja possível a utilização do instrumental desenvolvido até agora é a adoção do conceito de estado da natureza. Esta idéia, presente nas formulações de Savage (1954) e Anscombe e Auman (1963), foi utilizada, a partir da genial percepção de Debreu (1959), para extender os resultados de equilíbrio geral para um ambiente com incerteza. Informalmente, podemos entender o conceito a partir do seguinte exemplo. A in- certeza em relação ao mundo se resume a apenas dois estados da natureza: s 1 (chuva) e s 2 (sol), e existe apenas um “bem”: guarda-chuva (x = 1 se ele tem um guarda-chuva, x = 0 se ele não tem um guarda-chuva). Defino, porém, dois bens: x no estado s 1 e x no estado s 2 e uma cesta de consumo passa a ser definida como x = (x 1 , x 2 ), onde xi é a quantidade de guarda-chuvas no estado si. Se as preferências definidas sobre
o conjunto de consumo são completas, transitivas e contínuas, existe uma função de utilidade contínua u (x 1 , x 2 ) que representa essa estrutura de preferências. Logo, a introdução de incerteza não altera em nada a natureza do problema do consumidor (exceto a dimensionalidade do conjunto de consumo). No entanto, a teoria da escolha sob incerteza acrescenta mais estrutura às prefer- ências de forma a responder perguntas de interesse específico da área. Podemos, por exemplo estar interessados em saber o efeito sobre a demanda de guarda-chuvas do aumento da probabilidade de chover. I.e., a probabilidade de chuva pode afetar a taxa marginal de substituição entre guarda-chuva se chover e se não chover. A função u (x 1 , x 2 ) não tem por argumento a probabilidade de chuva. Na ver- dade, uma mudança na probabilidade de chuva deve alterar a própria função utilidade u (x 1 , x 2 ). Uma forma incorporar preferências sobre probabilidades é inseri-la direta- mente como parâmetro da função utilidade u (x 1 , x 2 , π), onde π é a probabilidade de chuva. Mais geralmente, suponha que existam S (inteiro e finito) estados da natureza s = 1, 2 , ...S. com respectivas probabilidades (objetivas) π 1 , π 2 , ..., πS. Seja X ⊆ Rm + o conjunto de consumo (por simplicidade, o mesmo em cada estado da natureza). Seja xs^ ∈ Rm + a cesta que será consumida caso o estado da natureza realizado seja s. A função utilidade é então definida por
u
x^1 , x^2 , ..., xS^ , π 1 , π 2 , ..., πS
A teoria tradicional do consumidor ainda é perfeitamente válida para se estudar uma utilidade como (8.1). Alguns axiomas adicionais e plausíveis sobre o comportamento do consumidor nos permitirão, porém, estabelecer algumas propriedades importantes de (8.1). É aí que entra a teoria da utilidade esperada.
8.1.1 Utilidade Esperada (informal)
Basicamente, a utilidade esperada é um caso especial da utilidade (8.1). Alguns axiomas adicionais são impostos para que (8.1) tome uma forma funcional específica. Discutiremos na seção 8.2 a axiomatização da utilidade esperada. Aqui, porém, usare- mos argumentos de natureza diversa para justificar o formato funcional específico da utilidade esperada. Primeiro, porém, a definição.
Definição (informal) Dizemos que as preferências sobre consumos nos diferentes estados da natureza admitem uma representação de utilidade esperada (ou de Von Neumann-Morgenstern) quando puder ser escrita na forma:
u
x^1 , x^2 , π 1 , π 2
≡ π 1 U
x^1
x^2
Neste caso:
u (P ) ≥ u
P ′
π 1 − π′ 1
U
x^1
π 2 − π′ 2
U
x^2
π 1 − π′ 1
) [
U
x^1
− U
x^2
)]
Ou seja, o prospecto P é preferível a P ′^ se e somente se atribuir probabilidade mais alta ao estado da natureza melhor.^1
8.2 Formalização
No que concerne à formalização, há (basicamente) três alternativas que diferem com relação ao caráter subjetivo ou objetivo das probabilidades (ou crenças) envolvidas. Em um extremo temos a teoria de von-Neumann e Morgenstern (1944) que toma as probabilidades como algo objetivo. Em um outro extremo temos a teoria de Savage (1954), que supõe que as probabilidades (crenças) são subjetivas. No meio do caminho temos a teoria da Anscombe e Aumann (1963), que admite que algumas probabilidades, como por exemplo a probabilidade de sair o número 1 em um lançamento de dados, são objetivas, enquanto algumas são essencialmente subjetivas, como a probabilidade de o Brasil ganhar a próxima Copa do Mundo. Na maior parte do que se segue estaremos estudando a formulação de von-Neumann e Morgenstern (1944), a primeira, cronologicamente, e a de formalização mais simples.
8.2.1 Definições e Conceitos
Seja C o conjunto de possíveis resultados (outcomes). Resultado é uma lista de variáveis que podem afetar o bem-estar do agente. Por exemplo, se os resultados são cestas em cada estado da natureza xi, então C = X. Vamos supor, para evitar tecnicalidades, que C é um conjunto finito: C = {xs}Ss=.
Definção: Considere, então um vetor de probabilidades (π 1 , ..., πS ) , onde πs^ ≥ 0 ∀s e ∑S s=1 πs^ = 1. Uma^ loteria simples,^ L,^ é um vetor^ (x^1 , π^1 ;^ ...;^ xs, πs)^. (^1) Quando os prospectos involvem mais de dois estados da natureza, temos que recorrer aos conceito de dominância estocástica para fazer tais afirmações. Note, porém, que a linearidade não é necessária. Se considerarmos, por exemplo, ordenarmos os estados de tal forma que s = 1 seja o pior estado e s = S, o melhor e definirmos a utilidade do prospecto como
U (P ) = ∑ su (xs) [g (∑st=1πt^ )^ − g (∑s t=1−^1 πt^ )]^ ,
com g crescente e g (0) = 0, g (1) = 1, teremos a mesma propriedade.
No entanto, durante a exposição que se segue, vamos fixar os resultados possíveis {xs}Ss=1 e definir uma loteria pelo seu vetor de probabilidades associado a ela. Defi- namos então o conjunto £ de todas as loterias sobre o conjunto de resultados {xs}Ss=1 ,
£ ≡
(π 1 , ..., πS) ;
∑S
s=1 πs^ = 1
Definção:Uma loteria composta é uma loteria cujos resultados são também loterias. Por exemplo, considere duas loterias L = (π 1 , ..., πS ) e L′^ = (π′ 1 , ..., π′ S ) , podemos então definir a loteria composta Lα^ = αL + (1 − α) L′, α ∈ [0, 1].
Note que a loteria L′′^ = (απ 1 + (1 − α) π′ 1 , ..., απS + (1 − α) π S′ ) associa a cada resultado a mesma probabilidade que a loteria composta Lα. É natural, então. associar a loteria composta Lα^ = αL + (1 − α) L′^ a essa nova loteria reduzida L′′. Suporemos, então que o agente tem uma relação de preferências sobre £, carac- terizada pelos seguintes axiomas.
Axioma 1: (“consequencialismo” ou “axioma da redução”): Indivíduos possuem uma ordenação de preferências definida apenas sobre loterias reduzidas, i.e., é definida apenas sobre £.
Axioma 2: (racionalidade): A ordenação de preferências em £ é racional; i.e., é completa e transitiva. Ou seja, o axioma 2 pode ser decomposto em duas partes: Axioma 2.a: A ordenação de preferências em £ é completa, i.e., para duas loterias quaisquer L e L′, temos L L′, ou L′^ L, ou ambos. Axioma 2.b: A ordenação de preferências em £ é transitiva, i.e., para quaisquer três loterias L, L′^ e L′′, se L L′^ e L′^ L′′, então L L′′.
Axioma 3: (continuidade): Para todo L, L′, L′′^ ∈ £, os conjuntos { α ∈ [0, 1] : αL + (1 − α) L′^ L′′
α ∈ [0, 1] : αL + (1 − α) L′^ L′′
são fechados em [0, 1].
Uma forma de entender o significado desta proposição é lembrar que se estes con- juntos são fechados os conjuntos referentes a relações estritas, ≻, são abertos em [0, 1]. Continuidade, portanto, quer dizer que pequenas mudanças nas probabilidades não afetam o ordenamento entre duas loterias. Assim se tivermos L ≻ L′^ ≻ L′′, então para α < 1 suficientemente próximo de 1 , temos que αL + (1 − α) L′′^ ≻ L′^ e para α > 0 suficientemente próximo de 0 , αL + (1 − α) L′′^ ≺ L′.
Teorema 4 Uma função utilidade U : £ → R é uma utilidade esperada se e somente se é linear em probabilidades, i.e., se
U
(∑K
k=1αkLk
∑K
k=1αkU^ (Lk)^ (8.2)
para quaisquer K loterias Lk ∈ £, k = 1, ..., K, e probabilidades (α 1 , ..., αK ) ≥ 0 , ∑K k=1 αk^ = 1.
Demonstração (Necessidade) Suponha que U (·) satisfaz (8.2). Podemos então escr- ever L = (p 1 , ..., pN ) como uma combinação convexa de loterias degeneradas L 1 , ..., LN , i.e., L =
∑N
n=1 pnLn.^ Neste caso, U (L) = U
(∑N
n=1pnLn
∑N
n=1pnU^ (Ln) =^
∑N
n=1pnun.
(Suficiência) Suponha que U (·) tem o formato de utilidade esperada, e considere a loteria composta (L 1 , ..., LK ; α 1 , ..., αK ) , onde Lk =
pk 1 , ..., pkN
. A loteria reduzida é, então, L′^ =
∑K
k=1 αkLk.^ Donde, U
K k=1αkLk
∑N
n=1un
K k=1αkp kn
∑K
k=1αk
(∑N
n=1unpkn
∑K
k=1αkU^ (Lk)
Teorema (existência) Se a ordenação de preferências em £ é “conseqüentista” (axioma 1), racional (completa e transitiva, axioma 2), contínua (axioma 3) e in- dependente (axioma 4), então nós podemos encontrar uma função utilidade esper- ada U : £ → R que representa . Isto é, existem números un para cada resultado n = 1, ..., N tais que, para quaisquer loterias L = (π 1 , ..., πN ) e L′^ = (π′ 1 , ..., π′ N ) ,
L L′^ ⇐⇒
∑^ n n=
πnun ≥
∑^ n n=
π n′un
Demonstração Considere as loterias L e L tais que L L L para todo L ∈ £. Definamos os conjuntos
A ≡
α ∈ [0, 1] : αL + (1 − α) L L
e B ≡
α ∈ [0, 1] : αL + (1 − α) L L
O axioma de continuidade nos garante que A e B são fechados. Completeza, por outro lado, é suficiente para vermos que para todo α ∈ [0, 1] , temos α ∈ A ∪ B. Como o conjunto [0, 1] é conexo,^2 podemos então garantir que existe pelo menos um α ∈ [0, 1] tal que α ∈ A ∩ B, i.e., L ∼ αL + (1 − α) L. A seguir mostraremos que esse número é único e que a função que associa a cada L o número α com esta propriedade representa as preferências sobre loterias. É a esse escalar que associaremos a utilidade da loteria, i.e., U (L) = αL, onde L ∼ αLL + (1 − αL) L. Tomemos primeiramente duas loterias compostas L = αL + (1 − α) L e L′^ = δL + (1 − δ) L, α, δ ∈ [0, 1]. Vamos mostrar que αL + (1 − α) L ≻ δL + (1 − δ) L se e só se α > δ. Isto nos permitirá, não somente provar a unicidade de α, mas ajudará na demonstração de que o α assim construído efetivamente representa as preferências. Suponha α > δ e defina
γ ≡ α − δ 1 − δ ∈^ (0,^ 1]
Então, L ≻ δL + (1 − δ) L.^3 Além disso,
γL + (1 − γ)
[
δL + (1 − δ) L
]
≻ δL + (1 − δ) L
ou seja, ( α − δ 1 − δ
L +
1 − α^ −^ δ 1 − δ
) [
δL + (1 − δ) L
]
≻ δL + (1 − δ) L ( α − δ + δ − δα 1 − δ
L +
1 − α 1 − δ
(1 − δ) L ≻ δL + (1 − δ) L
αL + (1 − α) L ≻ δL + (1 − δ) L
Suponha, por outro lado αL + (1 − α) L ≻ δL + (1 − δ) L, mas δ ≥ α. Se δ = α, então αL + (1 − α) L = δL + (1 − δ) L, donde, por reflexividade, L ∼ L′, o que contradiz preferência estrita. Suponha então δ > α. Podemos, então reconstruir a argumentação (^2) Uma cisão de um conjunto X é uma decomposição do conjunto X, X = A ∪ B, onde A ∩ B = ∅ e A e B são conjuntos abertos em X. Um conjunto é dito conexo quando só admite a cisão trivial X = X ∪∅
. Ou seja, se a intreseção for vazia, ou A = [0, α) ou B = (α, 1] que são conjuntos abertos em [0, 1]. Como os dois conjuntos são fechados (por continuidade) temos um conjunto não-vazio diferente de [0, 1] ao mesmo tempo aberto e fechado em [0, 1] o que não é compatível com o fato de que o intervalo é um conjunto conexo. (^3) De fato, para duas loterias quaisquer L e L′ (^) com L ≻ L′, e α ∈ (0, 1) , temos
L = αL + (1 − α) L ≻ αL + (1 − α) L′ ≻ αL′^ + (1 − α) L′^ = L′,
por simples aplicação do axioma da independência.
Mas, pela definição de λL, temos
λL =
U (L) − U
L
U (L) − U
L
donde,
U^ ˜ (L) = U^ (L)^ −^ U^
L
U (L) − U
L
[
U˜ (L) − U˜ (L)
]
+ ˜U
L
= U (L)
U˜ (L) − U˜ (L)
U (L) − U
L
β
+ ˜U
L
U
L
U (L) − U
L
γ
Considere a seguinte afirmação
u 1 − u 2 > u 3 − u 4 =⇒ βu 1 − βu 2 > βu 3 − βu 4
Perceba que o sinal da diferença de utilidades é sempre a mesma para qualquer representação de utilidade esperada (Por quê?). Logo, muitos concluem que a diferença de utilidades possui algum significado. Isto não quer dizer que a utilidade esperada tenha significado cardinal.
Teorema (popularesco): Se a relação de preferências sobre £ pode ser repre- sentada por uma função utilidade esperada U : £ → R, os números atribuídos a essa representação não possuem nenhum significado além da ordenação de loterias. (Ou seja, não podem ser interpretados cardinalmente). Demonstração: Seja f (.) uma função estritamente crescente qualquer. A função g (L) = f [U (L)] preserva a ordenação de loterias original, logo g (·) representa .
Em palavras: qualquer transformação monotônica de uma utilidade esperada rep- resenta a mesma ordenação de preferências, mesmo que essa função final não seja uma utilidade esperada.
O Paradoxo de Allais
Defina os seguintes prêmios monetários
x 1 = 0; x 2 = 50; x 3 = 250,
e sobre eles defina as seguintes loterias
La^ = (0, 1 , 0) Ma^ = (0. 89 , 0. 11 , 0) Lb^ = (0. 01 , 0. 89 , 0 .1) M b^ = (0. 9 , 0 , 0 .10)
Note que posso ‘implementar’ a loteria da seguinte maneira. Coloco 100 bolas numer- adas de 0 a 99 em uma urna e defino os seguintes prêmios
loteria 0 1 − 10 11 − 99 La^50 50 Lb^0 250 Ma^50 50 Mb^0 250
Note que La^ Lb^ =⇒ Ma^ Mb^ pelo axioma da indepenência. Uma outra maneira de ver essa implicação é olhando diretamente para a utilidade esperada. Isto é, suponha que
u 05 ≥. 10 u 25 +. 89 u 05 +. 01 u 0
e some. 89 u 0 −. 89 u 05 dos dois lados da desigualdade
u 05 + (. 89 u 0 −. 89 u 05 ) ≥. 10 u 25 +. 89 u 05 +. 01 u 0 + (. 89 u 0 −. 89 u 05 )
. 11 u 05 +. 89 u 0 ≥. 10 u 25 +. 90 u 0 ,
o que mostra que U (La) ≥ U
Lb
=⇒ U (M a) ≥ U
Mb
No entanto, experimentos de laboratório mostram que escolhem de maneira incon- sistente (curiosamente, Savage foi um dos participantes do experimento conduzido por Allais e um dos que escolheram La^ no primeiro e Mb^ no segundo experimentos). É este o paradoxo de Allais.
Reações comuns ao paradoxo de Allais:
- Posição normativa - mostra como os agentes devem agir. Interessante decompor o problema de tal modo que o axioma da independência é conseqüência de agumas hipóteses fundamentais de comportamento: i) conseqüencial- ismo ou irrelevância de eventos passados e não ocorridos; ii) consistência intertemporal; iii) independência do contexto e iv) redução. A vioalção do axioma da independência imlica na violação de pelo menos um desses pressupostos sobre o comportamento.
- Desprezar o problema já que está fundamentalmente associado a probabilidades extremas. O problema dessa postura é que torna questionável a utilização em áreas importantes como o cálculo de disposição a pagar por tratamentos de doenças de baixa incidência mas grande fatalidade.
A utilidade esperada sobre loterias com payoffs monetários pode ser escrita como
U (F ) ≡
u (y) dF (y) ,
onde, em geral, vamos supor que u (·) é estritamente crescente e contínua.^4
8.3.2 Aversão ao Risco: Definições
Definição de aversão ao risco 1:
- Um indivíduo é avesso ao risco se para toda loteria F , ele prefere (fracamente) a loteria degenerada que tem por resultado
ydF (y) com probabilidade 1 à loteria F.
- Um indivíduo é estritamente avesso ao risco se para toda loteria F não-degenerada, ele prefere estritamente a loteria degenerada que tem por resultado
ydF (y) com probabilidade 1 à loteria F.
- Um indivíduo é neutro ao risco se para toda loteria F , ele é indiferente entre a loteria degenerada que tem por resultado
ydF (y) com probabilidade 1 e a loteria F.
- Um indivíduo é amante do risco se para toda loteria F , ele prefere (fracamente) a loteria F à loteria degenerada que tem por resultado
ydF (y) com probabilidade
Um indivíduo é estritamente amante do risco se para toda loteria F não-degenerada, ele prefere ∫ estritamente a loteria F à loteria degenerada que tem por resultado ydF (y) com probabilidade 1.
Perceba que a definição acima não depende da representação de utilidade esper- ada. Logo, o conceito de aversão ao risco é bem definido mesmo se as preferências não admitem uma representação de utilidade esperada. No entanto, se as preferên- cias admitem uma representação de utilidade esperada, temos as seguintes definições alternativas. (^4) A terminologia mais usual é a seguinte: u (·) é chamada de VN-M e U (·) simplesmente de utilidade esperada. JR chamam ambas de VN-M e MWG chamam U (·) de função utilidade de Von-Neumann- Morgenstern (VN-M) e u (·) de utilidade de Bernoulli. No entanto, o termo utilidade Bernoulli nor- malmente associado a uma forma funcional específica: u (y) = ln y.
Definição de aversão ao risco 2: Um indivíduo é avesso ao risco se e somente se ∫ u (y) dF (y) ≤ u
ydF (y)
para todo F (.)
(as demais definições são análogas)
Definição de aversão ao risco 3: Um indivíduo é avesso ao risco se e somente se u (·) é côncava.
É fácil mostrar que as definições 1, 2 e 3 são equivalentes.
Definição: O equivalente de certeza da loteria F (·) para um indivíduo com utilidade u (·) é definido por
u (c (F, u)) =
u (y) dF (y).
Definição: O prêmio de risco P é uma quantidade de renda tal que
P =
ydF (y) − c (F, u).
Definição: O prêmio de probabilidade π (x, ε, u) para uma dada quantidade fixa de dinheiro x e um número positivo ε é definido por
u (x) =
[
2 +^ π^ (x, ε, u)
]
u (x + ε) +
[
2 −^ π^ (x, ε, u)
]
u (x − ε) (8.3)
Teorema: Para um determinado indivíduo com uma função utilidade sobre a renda u (.), as seguintes afirmações são equivalentes (i) O indivíduo é avesso ao risco. (ii) u (·) é côncava. (iii) c (F, u) ≤
ydF (y) para todo F. (iv)P ≥ 0 para todo F. (v) π (x, ε, u) ≥ 0 para todos x, ε. Demonstração: Quando as preferências têm representação de utilidade esperada, e, supondo u (·) crescente, se a propriedade (iii) vale, temos que
u
ydF (y)
≥ u (c (F, u)) =
u (y) dF (y)
o que implica em (i). Da mesma forma, se para todo F,
u
ydF (y)
u (y) dF (y) = u (c (F, u)) ,
- Existe uma função côncava ψ (·) tal que u 2 (y) = ψ [u 1 (y)] para todo y.
- c (F, u 2 ) ≤ c (F, u 1 ) para todo F (·).
- P 2 ≥ P 1 para todo F (·)
- π (x, ε, u 2 ) ≥ π (x, ε, u 1 ) para todo x, ε
- Se
u 2 (y) dF (y) ≥ u 2 (y) , então
u 1 (y) dF (y) ≥ u 1 (y) , para todos F (·) e y.
Primeiro note que é sempre verdade que u 1 = ψ (u 2 ) para alguma ψ (·) crescente simplesmente porque a utilidade é suposta crescente na renda para todos os agentes. Supondo que ambas são duas vezes diferenciáveis,
u′ 1 (x) = ψ′^ (u 2 (x)) u′ 2 (x)
e u′′ 1 (x) = ψ′′^ (u 2 (x))
[
u′ 2 (x)
] 2
o que implica em u′′ 1 (x) u′ 1 (x) = ψ
′′ (^) (u 2 (x)) ψ′^ (u 2 (x)) u′ 2 (x) + u
′′ 2 (x) u′ 2 (x) ou rA (x, u 1 ) = − ψ′′^ (u 2 (x)) ψ′^ (u 2 (x)) u
′ 2 (x) + rA (x, u 2 ) ,
donde, rA (x, u 1 ) > rA (x, u 2 ) ⇐⇒ ψ′′^ (u 2 (x)) < 0.
Aproximação de Arrow-Pratt Definamos implicitamente a função g (k) por meio de E [u (x + kε˜)] = u (x − g (k)) , (8.5)
onde E [˜ε] = 0. Diferenciando os dois lados com relação a k,
E
[
εu˜′^ (x + kε˜)
]
= −g′^ (k) u′^ (x − g (k)). (8.6)
Diferenciando mais uma vez,
E
[
ε˜^2 u′′^ (x + k˜ε)
]
= −g′′^ (k) u′^ (x − g (k)) +
[
g′^ (k)
] 2
u′′^ (x − g (k)). (8.7)
Note porém que, pela definição de g (·), temos que g (0) = 0. Além disso, para k = 0, temos que (8.6) é
E [˜ε] u′^ (x) = −g′^ (0) u′^ (x − g (0)) ,
donde, g′^ (0) = 0. Assim, de (8.7) temos,
E
[
˜ε^2
]
u′′^ (x) = −g′′^ (0) u′^ (x) ,
ou − u
′′ (^) (x) u′^ (x)
E
[
˜ε^2
]
= g′′^ (0).
Usando uma expansão de Taylor em torno de k = 0, podemos, então, reescrever g (k) como g (k) ≃ g (0) + g′^ (0) k +^1 2 g′′^ (0) k^2 = − u
′′ (^) (x) u′^ (x)
E
[
ε˜^2
]
k^2 , (8.8)
a aproximação de Arrow-Pratt para o prêmio de risco. Note que o prêmio de risco é proporcional à aversão absoluta ao risco e à variância da distribuição de ε.˜ Na próxima seção estaremos explorando com mais cuidado as propriedades de aversão ao risco do indivíduo. Posteriormente, estudaremos as carac- terísticas de risco das distribuições. Antes, porém, cabe investigar uma outra definição de aversão ao risco muito usada.
Definição: Dada uma utilidade u (·) duas vezes diferenciável, temos que
rR (x, u) = − xu′′^ (x) u′^ (x)
é chamado de coeficiente de aversão relativa ao risco.
Aproximação de Arrow-Pratt Suponha que em vez de considerarmos um risco aditivo, como o fizemos anteriormente, consideramos um risco multiplicativo tal que x ˜ = x(1 + kε˜) Definamos implicitamente a função g (k) por meio de
E [u (x (1 + k˜ε))] = u (x (1 − g (k))) , (8.9)
onde E [˜ε] = 0. Note que a função g (·) refere-se à proporção da renda que o indivíduo está disposto a abrir mão para fugir de uma loteria envolvendo uma proporção de sua renda. Diferenciando os dois lados com relação a k,
E
[
xεu˜′^ (x (1 + k˜ε))
]
= −xg′^ (k) u′^ (x (1 − g (k))). (8.10)
Diferenciando mais uma vez,
E
[
x^2 ˜ε^2 u′′^ (x (1 + kε˜))
]
= −xg′′^ (k) u′^ (x (1 − g (k))) +
[
xg′^ (k)
] 2
u′′^ (x (1 − g (k))). (8.11)
Definição: A função utilidade u (.) apresenta aversão absoluta decrescente ao risco se rA (x, u) é decrescente em x.
Teorema: As seguintes propriedades são equivalentes:
- u (·) apresenta aversão absoluta decrescente ao risco
- Sempre que x 2 < x 1 , u 2 (z) ≡ u (x 2 + z) é uma transformação côncava de u 1 (z) ≡ u (x 1 + z).
- Para todo F (z) e todo nível inicial de renda x, temos que c (F, x) que é definido por u [c (F, x)] =
u (x + z) dF (z) é tal que x − c (F, x) é decrescente em x.
- π (x, ε, u) é decrescente em x.
- Para todo F (z) , se
u (x 2 + z) dF (z) ≥ u (x 2 ) e x 2 < x 1 , então
u (x 1 + z) dF (z) ≥ u (x 1 ).
Quando a função u (·) é três vezes diferenciável, temos
∂xrA (x, u) = ∂x
u′′^ (x) u′^ (x)
u′′′^ (x) u′^ (x) − [u′′^ (x)]^2 [u′^ (x)]^2
Portanto,
∂x
u′′^ (x) u′^ (x)
se e somente se −u
′′′ (^) (x) u′′^ (x)
−u
′′ (^) (x) u′^ (x)
ou ℘ (x, u) ≥ rA (x, u) ,
onde ℘ (x, u) é o coeficiente de prudência. Note que se um indivíduo é avesso ao risco, uma condição necessária para que a aversão ao risco seja decrescente na renda é que as preferências exibam prudência ℘ (x, u) > 0 , o que implica em u′′′^ (x) > 0. Incidentalmente, cabe lembrar que u′′′^ (x) > 0 é necessário e suficiente para a existência de poupança precaucionária.
Definição: Dada uma utilidade u (.) duas vezes diferenciável, temos que
τ (x, u) = − u
′ (^) (x) u′′^ (x)
é o coeficiente de tolerância ao risco de u em x.
Funções do tipo CARA (aversão absoluta ao risco costante) são
u (x) = − e
−αx α
Então u′^ (x) = e−αx^ e u′′^ (x) = −αe−αx,
donde − u
′′ (^) (x) u′^ (x) =^ α. Funções do tipo CRRA (aversão relativa ao risco constante) são
u (x) = x
1 −γ 1 − γ para γ = 1 e u (x) = log x para γ = 1.
u′^ (x) = x−γ^ e u′′^ (x) = −γx−γ−^1 ,
donde,
− u
′′ (^) (x) x u′^ (x) = γx
−γ− 1 x−γ^ x = γ
Mais geralmente definimos as funções do tipo HARA (aversão absoluta ao risco harmônica) como aquelas que exibem tolerância ao risco linear na renda.
u (x) = ζ
η + x γ
) 1 −γ
De fato,
u′^ (x) = ζ 1 −^ γ γ
η + x γ
)−γ e u′′^ (x) = −ζ 1 −^ γ γ
η + x γ
)−γ− 1 ,
donde,
rA (x, u) =
η + x γ
=⇒ τ (x, u) = η + x γ.
É interessante notar que a tolerância ao risco está associada à repartição ótima de risco entre os agentes, assim, funções do tipo HARA definen regras de repartição ótima de risco relativamente simples. Tem-se ainda rR (x, u) =
η + x γ
x
Portanto, é possível ver que se η = 0, rR (x, u) = γ. A classe de funções CRRA está contida na classe HARA. Similarmente, se fizermos γ −→ ∞, rA (x, u) = γ, e a função converge para uma CARA.
Teorema: As seguintes propriedades são equivalentes:
