Universidade Federal do Par´a
Campus Universit´ario de Marab´a
Faculdade de F´ısica
MINICURSO
Introdu¸c˜ao ao Software Livre
Maxima
Ministrantes: Prof. Dr. Edney R. Granhen e Raiane A. Sodr´e
Marab´a, Mar¸co de 2013
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Tipologia: Notas de estudo
2013
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Universidade Federal do Par´a
Campus Universit´ario de Marab´a
Faculdade de F´ısica
MINICURSO
Introdu¸c˜ao ao Software Livre
Maxima
Ministrantes: Prof. Dr. Edney R. Granhen e Raiane A. Sodr´e
Marab´a, Mar¸co de 2013
Conte´udo
- Introdu¸c˜ao geral
- Download e Instala¸c˜ao
- 1 Aula 1: Primeiros comandos
- 1.1 Comandos iniciais
- 1.2 Um pouco de ´algebra b´asica
- 1.3 Manipula¸c˜oes alg´ebricas
- 1.3.1 Exerc´ıcios utilizando o software MAXIMA
- 2 Aula 2: Um pouco de ´Algebra Linear
- 2.1 Algebra Linear de Matrizes .´
- 2.2 Calculando a inversa de uma matriz.
- 2.3 Sistemas Lineares
- 2.4 Fun¸c˜oes de uma vari´avel
- 2.4.1 Exerc´ıcios utilizando o software MAXIMA
- 3 Aula 3: Plotando gr´aficos
- 3.1 Gr´aficos em 2D
- 3.2 Construindo os gr´aficos implicitamente
- 3.3 Gr´aficos em 3D
- 3.4 Gr´aficos de fun¸c˜oes parametrizadas
- 3.4.1 Exerc´ıcios utilizando o software MAXIMA
- 4 Aula 4 : Um pouco de programa¸c˜ao
- 4.1 Programa¸c˜ao para iniciantes
- 4.2 Comandos Condicionais
- 4.2.1 Usando o comando If
- 4.3 Estrutura de repeti¸c˜ao
- 4.3.1 Usando o comando do
- 4.4 Procedimentos
- 4.4.1 Exerc´ıcios utilizando o software Maxima
- 5 Aula 5: Limite, Derivada, Integral e EDOs
- 5.1 Limite
- 5.1.1 Exerc´ıcios utilizando o software MAXIMA
- 5.2 Derivada
- 5.3 Derivadas Parciais
- 5.3.1 Exerc´ıcios utilizando o software MAXIMA
- 5.4 Integral
- 5.5 Integrais Indefinidas
- 5.6 Integral definida
- 5.6.1 Exerc´ıcios utilizando o software MAXIMA
- 5.7 Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias (EDOs)
- 5.8 EDOs de 1a Ordem
- 5.8.1 Exerc´ıcios utilizando o software MAXIMA
- 5.9 EDOs de 2a Ordem
- 5.9.1 Exerc´ıcios utilizando o software MAXIMA
- 5.10 Considera¸c˜oes
- 5.1 Limite
- 6 Aula 6: Aplica¸c˜oes na F´ısica usando o software MAXIMA
- 6.1 Dinˆamica de Newton
- 6.1.1 EXEMPLO
- 6.1.2 EXEMPLO
- 6.2 O problema geral do movimento em uma dimens˜ao
- 6.2.1 EXEMPLO
- 6.3 Eletromagnetismo: Eletrost´atica, Magnetost´atica e Eletrodinˆamica
- 6.3.1 Eletrost´atica: Lei de Coulomb
- 6.3.2 Magnetost´atica: Movimento unidimensional de um el´etron
- 6.3.3 Eletrodinˆamica: Corrente el´etrica
- 6.4 F´ısica Moderna: Relatividade, Atomo de Bohr, Radia¸´ c˜ao de corpo negro
- 6.4.1 Relatividade
- 6.4.2 Atomo de Bohr´
- 6.4.3 Radia¸c˜ao do corpo negro
- 6.5 Considera¸c˜oes Finais
- 6.1 Dinˆamica de Newton
- Referˆencias
Introdu¸c˜ao ao Software Maxima
O Maxima ´e um software livre para c´alculos matem´aticos, semelhante ao MatLab e ao Mathematica. ´e um software CAS (Computer Algebra System - Sistema de Computa¸c˜ao Alg´ebrica) para manipula¸c˜ao de express˜oes simb´olicas e num´ericas, incluindo limites, dife- rencia¸c˜ao e integra¸c˜ao, matrizes, fun¸c˜oes dentre outras, trabalhando seus dados em duas ou trˆes dimens˜oes, segundo [1]. MAXIMA ´e um descendente de Macsyma, o sistema legend´ario de ´algebra do computador desenvolvido nos anos de 1960 no Instituto de Tec- nologia de Massachusetts. E o ´´ unico sistema baseado em Macsyma ainda publicamente dispon´ıvel e com uma comunidade de usu´arios ativa. A filial do MAXIMA de Macsyma foi mantida por William Schelter. Em 1998 obteve a permiss˜ao liberar o c´odigo fonte sob a GNU General Public License (GPL). Desde ent˜ao um grupo dos usu´arios e de co- laboradores deu forma para trazer o MAXIMA a uma maior audiˆencia. Assim sendo o MAXIMA ´e considerado um software livre, podendo ent˜ao ser usado sem necessidade de registro e pagamento, isto ´e, um software gratuito. Um dos poucos nessa ´area o Maxima pode ser compilado em muitos sistemas, incluindo Windows, Linux, e MacOS X estando dispon´ıvel no GNU General Public License (ver [2]). Neste mini-curso introdut´orio do software livre Maxima apresentaremos aos alunos, as caracter´ıstica desse programa que ´e usado para realizar manipula¸c˜oes de express˜oes alg´ebrica, fun¸c˜oes, deriva¸c˜ao, integra¸c˜ao, fatora¸c˜ao de polinˆomios, al´em resolver siste- mas lineares, resolver equa¸c˜oes diferenciais com e sem condi¸c˜oes iniciais, plotar gr´aficos entre outras utilidades para o curso de F´ısica. O objetivo ´e introduzir-lo ao curso de Mecˆanica Cl´assica, afim de mostrar a potencialidade desse software para entendimento dos fenˆomenos F´ısicos e matem´aticos deste curso, produzindo resultados precisos e efica- zes.
Para dar andamento a instala¸c˜ao, prossiga clicando no bot˜ao Next. Fique atento a janela com o local de instala¸c˜ao do programa, o local padr˜ao ´e C:\Arquivos de Programas. Ao final da instala¸c˜ao aparecer´a a janela abaixo, indicando que o processo foi executado com ˆexito
basta clicar no bot˜ao Finish. Ser˜ao abertos, automaticamente, o arquivo readme.txt, que cont´em algumas instru¸c˜oes de uso do programa e o console com a vers˜ao cl´assica do Maxima (xmaxima.exe)
Sempre que o Maxima for iniciado, automaticamente, ser a aberta a janela Xmaxima: browser, que cont´em um r´apido tutorial sobre o Maxima em inglˆes.
Tamb´em podemos utilizar esse software atrav´es do wxMaxima (wxmaxima.exe), que ´e uma interface mais sofisticada do Maxima, baseada no wxWidgets, onde podemos produzir trabalho com textos e f´ormulas inserindo cap´ıtulos, se¸c˜oes e subse¸c˜oes, veja na figura baixo:
- Divis˜ao, /
- Potˆencia, ^
(%i2) (-12)*3;
(%o2) − 36
(%i3) 534/-23;
(%o3) − (^53423)
(%i4) 32^21;
(%o4) 40564819207303340847894502572032
(%i5) 32^-21;
(%o5) 405648192073033408478945025720321
(%i6) 43^(1/2);
(%o6)
Para determinar uma dada precis˜ao num´erica, ou seja, escolhermos qual deve ser o n´umero de casas decimais, usamos: fpprec : n´umero de digitos float(n´umero)
(%i7) fpprec : 8 $ float(43^(1/2))$;
(%o8) 6. 557438524302 Mais algumas fun¸c˜oes especiais.[2] factor(n´umero) - sendo n´umero inteiro este co- mando devolve a fatora¸c˜ao do n´umero em fatores primos. primep(n´umero) - verifica se o n´umero e primo devolvendo true caso verdade ou false em caso falso. divisors(n´umero)
- fornece os divisores do n´umero.
(%i9) divisors(100);
(%o9) 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 , 25 , 50 , 100
(%i10) factor(3234);
(%o10) 2 3 7^2
(%i11) primep(1221);
(%o11) f alse
1.2 Um pouco de ´algebra b´asica
Vamos demostrar um pouco de algebra b´asica usando para isso um polinˆomio P = p(x), definimos o polinˆomio p como sendo a express˜ao a seguir:
(%i12) p:x^2+x-1;
(%o12) x^2 + x − 1
(%i13) solve(p, x);
(%o13) [x = −
2 , x^ =
2 ]
O comando solve iguala a express˜ao (do tipo p(x) = 0 ) a zero e extrai as respec- tivas ra´ızes quando poss´ıvel. Neste caso a sintaxe ´e: solve(express~ao,[variaveis]). Por´em, logo abaixo, temos o comando find root(expres~ao, variavel, extremo inf, extremo sup) onde extremo inf e extremo sup s˜ao os extremos inferior e superior do intervalo ao qual devera ser procurada a raiz pelo comando find root:
(%i14) find_root(’’(p), x, -1, 1);
(%o14) 0. 61803398874989 Note que:
(%i15) float((5^(1/2)-1)/2);
(%o15) 0. 61803398874989 Vamos definir agora uma outra express˜ao:
(%i16) q:x^3+4;
(%o16) x^3 + 4 Introduzindo algumas opera¸c˜oes com express˜oes polinomiais. Sejam p e q polinˆomios, ent˜ao
(%i24) %,x=1;
(%o24) 4 Podemos tamb´em substituir dentro de uma express˜ao j´a definida uma outra, por exem- plo:
(%i25) h-p;
(%o25) x
x^2 + x − 1 −^ x
(^2) − x + 1
(%i26) subst(x+y, x, %);
(%o26) (y^ +^ x)
(y + x)^2 + y + x − 1 − (y + x)^2 − y − x + 1
(%i27) kill(all);
(%o0) done
1.3.1 Exerc´ıcios utilizando o software MAXIMA
- Encontre os resultados das opera¸c˜oes com fra¸c˜ao. a)^12 +^13 +^18 b)^12 − 13 +^18 c)^12 +^38 d)^67 − (^32)
- Encontre a express˜ao resultante do desenvolvimento das potˆencias. a) (a + b)^2 b) (x + y)^2 c) (a + 4)^2 d) (x + 3)^2
- Encontre a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes abaixo.
a) x^2 + 5x − 50 = 0
b) (x + 1)(x − 1) = 0
c) 5 x
(^2) + 4x 2 x^2 + x + 1 = 3
d) x
x^2 + 8
(%o2)
^0
(%i3) C:matrix([2,0,1],[-1,1,-1]);
(%o3)
(%i4) E:matrix([0,0,1],[0,1,0],[1,0,0]);
(%o4)
(%i5) F:matrix([0,1],[-1,1]);
(%o5)
Agora, vamos operar com as matrizes acima definidas.
(%i6) B+F;
(%o6)
^0
(%i7) A-E;
(%o7)
(%i8) F*B;
(%o8)
(%i9) A^2 + E^3;
(%o9)
2.2 Calculando a inversa de uma matriz.
Para o caso em que deseje saber qual sera a matriz inversa de uma matriz dada (se a mesma matriz for invers´ıvel), usaremos o comando invert();
(%i10) invert(A^2+E^3);
(%o10)
−^294919
Para que o Maxima exiba a matriz transposta de uma matriz dada, usamos o comando transpose().
(%i11) H:A^2+E^3;
(%o11)
(%i12) transpose(H);
(%o12)
(%i13) transpose(B);
(%o13)
^0
Para que o maxima calcule o determinante de uma matriz dada, usamos o comando det().
(%i14) determinant(%);
(%o14) − 2 Aqui o s´ımbolo % e usado para que o comando a ser executado use como parˆametro de sa´ıda imediatamente anterior, o que neste caso seria a transposta da matriz B.
(%i18) f(x):=x^2;
(%o18) f (x) := x^2
(%i19) g(x):=x+1;
(%o19) g (x) := x + 1 Podemos verificar o valor da fun¸c˜ao calculando em um dado valor real apenas susbsti- tuindo a vari´avel pelo valor desejado. Veja:
(%i20) f(1);
(%o20) 1
(%i21) g(3);
(%o21) 4 Para desenhar (ou plotar) o gr´afico de uma fun¸c˜ao dos reais sobre os reais, basta usar- mos o comando, plot2d([fun¸c~oes],[vari´avel, v minimo,v maximo) onde no parˆametro fun¸c~oes devem ser introduzidos as fun¸c˜oes a serem plotadas (todas no mesmo intervalo de defini¸c˜ao), o v minimo e v maximo sao os extremos do intervalo de defini¸c˜ao da fun¸c˜ao.
(%i22) wxplot2d([f(x)], [x,-2,2]);
(%t22)
(%o22)
2.4.1 Exerc´ıcios utilizando o software MAXIMA
- Dada ´a fun¸c˜ao f (x) = x^6 − x^3 − 3 x^2 encontre f (−2), f (0), f (2).
- Dada ´a fun¸c˜ao g(x) = x^2 + x^2 − x^2 encontre g(−4), g(0), g(8).
- Encontre as matrizes ou resultados das opera¸c˜oes com matrizes utilizando o pro- grama wxMaxima considerando as matrizes
A =
B =
C =
- a) AXB
- b) BXA
- c) CXA
- d) Determinante de A