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PROBLEMA DO BIODIGESTOR: ESTUDO DO CASO 1 - DESENVOLVIMENTO DA
EQUAÇÃO (5) ATÉ À EQUAÇÃO (7)
^
p
D
p
D
p
y
p
D
p
D
p
D^ y
p p
y
D kpx
p
kpx
p p
kpx
p
kx
p
x y y y y
p
k
y
p
y
x
p
k
y
p
y
p
dt
dy
y x k
p
y
dt
dy
^
2
1
0
2
0
2
2 2
0
2
0
2
2
0 1 2
2
0
2
0
2
D
Retornando à EDO: (^)
dt
p
y y y y
dy
y y y y
p
dt
dy
1 2
1 2
Expandindo a fração
1 2
y y y y
:
1 2
2 1
1 2
1
2
2
1
1
1 2
y y
C C
y y
C
y y
C
y y
C
y y y y
Assim:
t
y
y
dt
p
dy
y y
C
y y
C
dt
p
y y y y
dy
0
2
2
1
1
1 2
0
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1 1
2
2
1
0 1 1
0 2
2
1
1
1 0 1 2 0 2
1
1 2
1 1 2 2 1 1 1 2
1 1 1 1
1
0 0
0 0 0 0
ln
ln ln
ln ln ln ln
ln ln
ln ln
ln ln
0 0
e y
y
y
e y y
y
y
e y y
y
y
e y y
y
y
y y
y y
e
y
y
y y
y y
t
C
p
y
y
y y
y y
t
C
p
y y
y y
y y
y y
t
C
p
t y y y y y y y y
C
p
y y y y
t
p
t C y y C y y
p
C y y C y y
t
C
p t
C
p t
C
p t
C
p
t
C
p
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
Como ; ; 2 ,obtém-se :
0
2
1 2
2 1
1 2
1 2 1
1
2
2 1
2
1 2
2
2
1 2 1 2
2
2 1
1
1
1 1
Dt
M
Dt
M
M
Dt
Dt
t
C
p
t
C
p
t
C
p t
C
p
y y e
y y e
D kpx y
p
D
y y
p
D
y y
y y e
yy e
y
C
p
D
D
p
p
D
p
D
p
D
y y
C
y y e
y y e
y ye y yy y y e y y
Da segunda equação do Sistema (2), tem-se que:
dt
dy
k
x
. Assim, derivando-se y com relação a t ,
obtém-se:
2
2 1
2
2
1
2
1 2
2
2 1
2
2
2
2 1
2
1
2
2
2
1
2
1 2
2
2 1
2 1 1 2 1 2 1
2 1
1 2
Dt
Dt
Dt
Dt Dt Dt Dt
Dt
Dt Dt Dt Dt
Dt
Dt
y y e
yy y y De
y y e
yy De y yDe y yDe y y De
dt
dy
y y e
y ye yy D e yy e y D e
y y e
yy e
dt
d
dt
dy
Dissecando os seguintes termos, tem-se:
3
3 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
1
2
12
2 2
2
2
1
2
12
2 2 2
p
D D
p
D
p
D
p
D
p
D
p
D
p
D
p
D
p
D
p
D
yy y y
p
D
p
D
p
D
p
D
p
D
p
D
p
D
p
D
p
D
p
D
yy y y
(^)
(^)
(^)
(^)
(^)
(^)
(^)
(^)
(^)
(^)
Assim, retornando o último resultado à expressão de dy/dt, obtém-se:
2
3
2 2 2
2
2 1
3
3 2
2 2 2
Dt
Dt
Dt
Dt
e
p
D
p
D
p
D D e
y y e
De
p
D D
dt
dy
Como 0
2
D 2 kpx
2
, dy/dt fica:
2
0
2
2
2
0
2 2
2 2 4
Dt
Dt
Dt
Dt
D D e
Dkx e
dt
dy
p D D e
D kpx e
dt
dy
O perfil de concentração temporal de bactérias x(t) fica então dado por:
2 0
2
2
0
2
1 1 4 4
x
D D e
D e
x t
D D e
Dkx e
dt k
dy
k
x t
Dt
Dt
Dt
Dt
(7)
Esta curva de x(t) tem um ponto de máximo no instante t= t 1 , o que significa que neste
instante t 1 , dx(t)/dt=0. Da 1
a equação do Sistema (2), tem-se que:
x pxy
dt
dx
