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10 0000000000 000000000 UNIVERSIDADE EDERAL DE.VIÇOSA Departamento de Informática Área de Estatística "EST 640 - MODELOS LINEARES | ducado Prot. Adair José Regazzi Prof. Titular - DPYUFV. meo * Área da Estatistica E Viçosa, Minas Gerais 2007 Francisco Ribeiro de Araujo Neto Zootecnista “APRESENTAÇÃO EDIÇÃO 2007 CONTEÚDO: CAPÍTULO “1, - Conceitos Inirodutórios: Matrizes Inversas Generalizadas e Sistemas de -. Equações Linégres,! CAPÍTULO 2 - Formas Quadráticas e Distribuições CAPÍTULO 3 — Regressão ou Modelos de Posto Completo e Correlação CAPÍTULO 4 — Modelos de Delineamentos Experimentais: Experimento com um Fator Inteiramente Casualizado CAPÍTULO 5 Modelos de Delincamentos. Experimentais: Experimentos com um Fator em Blocos Gasualizados , . + Sequências de Exercícios é Exercício Propostos em Aula. Esta apostila, edição 2007, inclui algumas correções e acréscimos em .relação às edições anteriores. Ela constitui uma parte do material básico da disciplina EST 640 — MODELOS LINEARES I (Antiga INF 664). Em todas as aulas serão feitas complementações adicionais com o objetivo de acrescentar novas informações relevantes que não foram contempladas e facilitar o entendimento do material apresentado. Exige-se àinda: provas, exercícios e trabalhos adicionais. As Referências Bibliográficas apresentadas são de fundamental importância para esta disciplina. Adair José Regazi Prof Titular = DPVUFV Área de Estatística TIIIISIIII TITO 06666 EST 640 - MODELOS LINEARES 1 CAPÍTULO 1 - CONCEITOS INTRODUTÓRIOS 1. Sistemas-de equações lintares com matrizes não singulares Z Matrizes inversas generalizadas 2.1. Inversa condicional 2.2. Inversa de Moore-Penrose 2.3. Inversa de quadrados minimos 3. Consistência em sistemas de equações lineares 4, Restrição nas soluções 5. Restrição nos parâmetros ' Eróro —ENE-$64--- Modelos Lingares 1 Capítulo 1 200999% Fu - “o A) 05148 es 50090000 C0DCO0CODOCCLCCFCCC 000) 0900999000: Regazii, AJ, v . CAPÍTULO 1 - CONCEITOS INTRODUTÓRIOS ' 1. SISTEMAS DÊ EQUAÇÕES LINEARES COM MATRIZES NÃO SINGULARES MA o As Seja o sistema de equações lineares a Ls "a os ah ur onde Ay, é uma matriz quadrada de ordem n, de elementos conhecidos e não singular, , x, é um vetor “coluna de a componentes desconhecidos e , B, é um vetor coluna de ii componérites conhecidos: Logo, 3 A”, então Ax = g é consistente ca solução única é obtida de a Atax=atg 5 x=Ag EXEMPLO 1: Seja Ax = g caracterizado por: , ” o po k - E - o) dei(A)=[4|=3 205341 1 djx 30 . . Então, x=Atg=L 11/30 = 2 2 3-1 2/30] [10 , ' porco do Note que, se x é solução, então, E ed isto é XjC +XC,=B. Então o vetor solução indica a combinação linear das colunas de A, que reproduz g. Em outras palavras, se Ax = g é consistente, então g pertence ao espaço gerado pelas colunas de A, fato que denotaremos por g e (A). Na verdade, essa condição é necessária e suficiente, mas isto Nero e Ê propos eat ru não será aqui abordado. Os interessados podem consultar ANTON (1977), GRAYBILL (1969), 1 INE 664 -- Modelos Lineares I Capítulo 1 Regazri. A 1 2.1.1. Métodos para obtenção de A” Vamos apresentar dois métodos admitindo Ay) quadrada de ordem.n. Antes porém, vejamos uma + definição. ur. e º o. e e e o º é bd ud o º , DEFINIÇÃO 2: Uma matriz MH, é dita estar na forma de Hermite (superior) se e somente se ela satisfaz as seguintes condições: : uso Pe te é RE) H é triangular superior, TER g i) Somente O e 1 na diagonal, º iii) Se uma linha tem um 0 (zerp) na diagonal, então todo elemento daquela linha é zero; iv) Se uma linha tem 1 (um) na diagonal, então os outros elementos da coluna na qualo 1 (um) aparece, são nulos. . , o MÉTODO 1: Seja A — H para indicar que H foi obtida de A, por meio de operações elementares nas linhas de A. Assim, a obtenção de A” é feita da seguinte forma: no [a:]-...- [E:L] Então, para H na forma de Hermite, tem-se que L= A” é uma inversa condicional de A. EXEMPLO 2: Dada a matriz 422 a A=|2 2 0] obter: 202 = 4222100 112122144 00 220 010 - 11 0: 0 12 0 202 001 1 0 1: 0 o 12 1 12 12º: 14 0 0] [LO 15 42-18 “10 42 10: 14 12 0|-|0 12 12214 120 s 012 302 ;-44 012] [920 0 : 12 12182 H : 3 DOC OOCOCOCCOSCOCO CCC OC OC OC INF 664 — Modelos Lineares 1 Capítulo 1 Rega AJ 10 172 /142-12:0 : age pese Ape ge je fo Beda Epcedeeo 90 07-42 12 12 i 1/2 1/20: Logo, A =|-12 1 Li) -12 1/2 1/2 É facil ver que H é uma forma de Hermite, pois satisfaz! às quatro condições da definição 2e ainda é imediato verificar no exemplo anterior, que AMA = AcHé idempotente (HH = H. MÉTODO 2: O método que daremos a seguir é um algoritmo apresentado por SEARLÉ (1992) para a obtenção de inversas condicionais. Dada a matriz A, » de posto r 5) Tomar qualquer submatriz não singular, M, de ordem Tr; ii) Obter (MY, o Substinair em A, os elementos deM por seus correspondentes em Eva ): iv) Fazer todos os outros elementos iguais a zero; v) Transpor a matriz resultante; vi) O resultado é uma inversa condicional de A EXEMPLOS: 1/1 0 a X= sPX|j=2 1/0 1 AL l 101 . 10 10 Seja M= entã Ty= 3) ; | ão (MT) k E PPT IT TITO INF 664 - Modelos Lineares [ Capítulo 1 Regazzi AJ “0 0 1/2 0 -1/2 12 -1/2 0 AvElO ZU O pAp=[ 0 O OT IAg=[=U7oe ro o 0: 1/2 “1/20 1 0 o 0 TEOREMA 1: Seja a matriz A, e seja By uma matriz não singular, tal que BA = H (H = ” , " - Hermite, e é idempotente). Então B é uma inversa condicional de A. Prova: Bº=H 1 BABA = BA Ea ABA = A : ! Por definição, B= A” TEOREMA 2: (GRAYBILL, 1969, Cap. 6] SEARLE; 1971, Cap.1) Dada a matriz A, e uma condicional , Ad, então, ) AT só súnicasemene P[A]=n. Nesge caso, AT = A”; n) Ao AATeA(A!AS A! são idempoteptes; AAA RA, o à mo) plAl=placa]= p[aA-]=pfaca'ay: apola-]; iv) A(AAJ AS é invariante pára qualquer inversa condicional de A'A e, é simétrica e q dee idempotente; NR ' of = Pein v) Se Aço é simétricae se ,À, EC(A), então A'A“A é invariante para qualquer À” de À, Enio coneoh nat sor E es ph À as dam, dA A . 22; Inversa-de Moore-Penrose de A- (AS). esti a ct a cs de dito ta a rem DEFINIÇÃO 3: Dada a matriz mA, de p sto k, então a matriz Ag de posto k, que satisfaz às quatro condições seguintes, é definida como a inversa de Moore-Penrose de A. Emversa Ce Mo se te 4, OD: RD D AAA=A lida Atua A ga) m ui) A'AA' = A* ui) AA* =(AA*) (simétrica) iv) A*A=(A'AY (simétrica) 4 " 10690000 090009991 INF 664 - Modelos Lineares 1 Capítulo 1 Regazzi, A J, TEOREMA 3; Para cada matriz À existe uma é uma só A”. à) Existência: LI)Se A ç=ad, 3 Ai=do (rivial) | 12) Se qA,2d, ese p[Aj=k>0, então 3 «By. 6 4C, ,» ambas-de posto k, tais que m As mBa Co Sendo B de posto coluna completo e C de posto linha completo, então B'B e CC! são não singulares. REA . 1 a)-AA“A = BCO (CC) (B'B)T!B'BC = BIC=BC=A; pets b) AtAA! = CCC) BB BBCC (CC)! (BB) B'= CCO) (BB) B=A!; c) AM SBeCiCo) (BB) SB=Bip np (simétrica) . | , d) A*A=C(CCY (BB BEC - c(coyie (simérica) + 3A*=CHCC (BBB! o ii) Unicidade: ' Sejam Aj e A; duas inversas de Moore-Penrose para A. Então: a) AAjA= A a)AAJA= À b) ASAA! = AS b) AJAAS SA! , c) AMP = (AA) C) AA =(AM;Y E E) AA = (ASAS . A) ASAS(ASAY 1.1) Pós-multiplicando A por A), vem: ta) te) 9 N A + 5 N AA E AAÃAS =(AAT)(AAIY= (ANSAAIV=(AAIY HARI o AAIEAAS O (0) ! í , [O RR i DO O ) INF 664 - Modelos Lineares 1 . Capítulo 1 Regizzi, A), iv) Se A, = 4 então o processo está encerrado, e B=k, ; C=y, Se À, £ é, repetir o processo para A, e assim por diante, até que se obtenha A, = 6. Uma vez que em cada passo aumenta de pelo menos um o niméro de linhas e colunas nulas, é claro que o processo terminará depois de um número finito de passos. Uma propriedade importante do algoritmo é a da convergência: o múímero de ciclos é igual ao posto de A. , o Assim virá: A-uvy! = A, Ap -uova! = A; Apr Upa Via = Au*o Apa Ui =4 Ao final do processo, tem-se: aà EU Vitae ru v =, By, C, » onde naturalmente, ' B=[m,u,, cu], C= Vi Em segiiência, a inversa de Moore-Penrose pode ser facilmente obtida por. At=C(cor BBB EXEMPLO 4: Dada a matriz 2.6 42 A=|4 15 14 7| ,obtera inversa de Moore-Penrose de A. 29 105 « DSejaaçãa)=2 use INF 664 - Modelos Lineares I Capítulo 1 a, 2| Il 1 u 1 , ] ue ayrl=[4=]2 | s Virago modo da do ênfasl Pal a =p 6.4.2] 264 2]/[26 42 A=A-úv,=|4 15 14 7|-4 12 8 4|= 2 9 105 2.6 4 2, ii) Seja em As, 24 = à9 =3, então: El 02000 03 63 03.63 —2139 s/n 0] To us=5]3 =|tl,va=[0 3 63] 3] , A =A -uv,=b > plAj=2 qro 2642 = = AY. emo leefdpo Lai . Le, É e + g Assim, como A* = Eder Ra B', , Téo 48] o na 3/52 cora ] = (00) Is mm [63 a Jus a em; j > 68) [é 12 14 3 11 sd BS Ml. 78|)-18 -2 16 -5 -l 8 que, sem dúvida, satisfaz às quatro condições da definição 3. FATO; A matriz A* é de grande valia na obtenção de resultados teóricos. Nesse-contexto, as propriedades relacionadas a seguir são importantes. (Outras em GRAYBLLL, 1969). PROPRIEDADES: PIJ(A'Y=(A)! e (A*)! = 10 fa Ss aa aa s cbssos: cer ... vece. cs so INF 664 —- Modelos Lineares 1 Capítulo 1 Regazzi A 1 110 ata mena le a em cocada pa Ju [eo ste cr; - EXEMPLOS: Seja A= 101 » obter duas À”. 101 422 * AA=/2 2 0 202 Uma inversa condicional de A'A.é por exemplo:; 12 -1/2 0 (MAJ=|-12 10 . =1 1 1 Assi penar? ssIm VITA: . PELA E bd ni 1/2 -1/2 01 111 O «0 1/2 1/2 At =| —1/2 1 oj1 1 0 O|=|1/2 12 -1/2 -1/2 -=1 1 ijo 01:90 0 0 0 0 Vamos obter uma outra inversa de mínimos quadrados de A. . 0 9 0 : ! Sabemos que (A'A)" =|0 1/2 0|é também uma inversa condicional de A'A . 0 o 1/2 Assim virá, 0 0 ojryi 11 0. 0 0 (o) A'=|0 1/2 0/11 0 O0|=[1/21/2 0 O AQ pat LO gp ge fg PAPO emo ironia nindo E Sem dúvida, as duas matrizes A“ obtidas, satisfazem às duas condições da definição 4. 3. CONSISTÊNCIA EM SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Já sabemos que se A é não singular, então o sistema de equações lineares Ax = g tem solução única, séndo portanto corisistente. No entanto, como veremos adiante, é importante que se generalize o conceito de consistência para 12 ee e - t .e0000000600 4 fECCECETEEEE EE a í e CoCereE! 0000000: ErcoE º toA * uu coco INF 664:: Modéios Liricares 1 Capítulo 1 e Regi AI sistemas nos quais a matriz A não é necessariamente não singular. Abordaremos a seguir algumas regras que nos permitirão avaliar a consistência de sistemas mais gerais. TEOREMA 5: (GRAYBILL, 1969, Cap. 7) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema Ax = g seja consistente é que o posto da matriz A seja igual ao posto da matriz A aumentada com g. 7x:4x=g o plal=plAig) FATO: Pode ser notado que essa condição é equivalente a exigir que g pertença ao espaço coluna de A: geC(A). Veja por exemplo, ANTON (1977, Cap. 4)... EXEMPLO 6: Seja o sistema de equações lineares: Ax=g dado por: e. 6 3 37x) fio . 33 0)xw=|6|, p|Aj=2 > nãoexiste A” . 30 3x] l4 ' : Para aplicação do Teorema 5, basta que operemps nas linhas de'a aumentada 'com g. a noso D bm? de leao 8 acusa 633 19 10 12 413 330: 6|=..-|0 1 15 2/3 303: 0 0: 0 aa P(A] = PLA: 8] =2,€0 sistema é consistente. Vejamos agora uma regra geral para obtenção de soluções de sistemas consistentes: TEOREMA 6: Uma condição necessária e suficiente para que o sistema de equações 4x = g seja consistente é que exista uma inversa condicional de Atalque AA g=g . ' a) Ax=g consistente =» AA g=8 Ax=g consistente «=» 3xº:Axº=g (1) Seja A” alguma inversa condicional de A, Pré-multiplicando (1) por AA”, vem AN AX =AAg c. Axº=AAg eusando (1) temos g= AA'g b) AA g=g => Ax=g consistente 13 00000000000000089000993: e 7. pafa'a consistência é (X XUX'X)' X'y=X'y. RR no o. 1 1 , ' 1 ) É! INE 664 - Modelos Lineares 1 = Capítujo 1 Regazei A], 1 ' 3 3 10 , 2 = >|3|+-|3|+º/0)=| 6 9 9 iii) Mesmo que a matriz do sistema não seja quadrada, podemos ter solução única. Basta que ela ; ' tenha posto coluna completo. Assim, se q, tem posto n, então A*=(A'AJTA! ,logo | x? =A*g=(AAJTA'g TEOREMA 7: Se ak, é uma atriz conhecida de posto k
