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Distribuição de Probabilidade de Variáveis
1. Variáveis Aleatórias
Seja E um evento aleatório e U o espaço Amostral associado ao experimento. Uma função X que associe cada elemento u U um número real X(u) denominada variável aleatória.
Exemplo: Lançam-se três moedas. Seja X: número de ocorrência de face cara. Determinar a distribuição de probabilidade de X.
1.1 Variável Aleatória Discreta
Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X for finito ou infinito numerável, denominaremos X de Variável Aleatória Discreta.
Exemplos: X: O número de Caras obtidas em um lançamento de duas moedas não viciadas. X: O número de Clientes que vão ao banco no horário das 10:00h as 12:00h. X: Chamadas telefônicas por unidade de tempo. X : Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade de tempo.
1.2 Variável Aleatória Contínua
Seja X uma variável aleatória. Se o contradomínio de X é um intervalo, ou uma coleção de intervalos, denominamos X de Variável Aleatória Contínua.
Exemplos: X: Altura acima do solo que um dardo atinge o painel. X: O intervalo de tempo de vida de uma lâmpada. X : Tempo de vida útil de uma bateria de automóvel. X : Tempo de vida de uma pessoa.
2. Função Distribuição de Probabilidade Discreta
É a função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a probabilidade do evento correspondente, isto é: P X ( xi ) p x ( (^) i ), i 1 2 3, , ,..., n Para o resultado p( xi) = P( X xi) , temos: a) p( xi) 0 para todo xi
b)
1
i
p(xi )
2.1. Função de Distribuição Acumulada Se X for uma variável aleatória discreta, define-se Função de Distribuição Acumulada em um ponto x como a soma das probabilidades dos valores x , menores ou iguais a x. Isto é:
x x
i i
F(x) p(x )
Parâmetros de uma Variável Aleatória Discreta
3. Esperança matemática ou média de uma Variável Aleatória Discreta Seja X uma variável aleatória discreta, com valores X 1 , X 2 ,... , Xn , o valor esperado de X (ou esperança matemática de X ) ou simplesmente média de X é definida como:
( ) ( ). ( )
n x i i i
x E x x p x
(^) 1 3.1 - Propriedades da média
) ( ) , com k constante; ) ( ) ( ); ) ( ) ( ) ( );
i E k k ii E kX kE X iii E X Y E X E Y
1 1
) ( ) ( ) , com a e b constantes;
n n i i i i
iv E X E X
v E aX b aE X b
vi E X ) ( ) E X ( ) E ( ) 0;
Desvio Padrão da variável X é a raiz quadrada da variância de X , isto é;
(x) (x)
ou
DP(x) Var(x)
^2
Usando a tabela de distribuição normal, vemos que no intervalo de ( ) a ( ) o grau de concentração de probabilidades em torno da média é de 68%; no
intervalo de ( 2 ) a ( 2 ) , o grau de concentração de probabilidades em torno
da média é de 95% e essa concentração é de 99,7% no intervalo de ( 3 ) a
( 3 ). Exemplificando, se dissermos que a altura média ( ) do homem brasileiro
adulto é de 1,70m e desvio Padrão 5cm, estaremos dizendo que entre;
1,65m e 1,75m encontramos 68% da população masculina adulta brasileira 1,60m e 1,80m encontramos 95% da população masculina adulta brasileira 1,55m e 1,85m encontramos 99,7% da população masculina adulta brasileira
EXERCÍCIOS
- Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja X: número de bolas brancas, determinar a distribuição de probabilidade de X. 2. As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que vá ao litoral num sábado são, respectivamente: 0,05; 0,20; 0,40; 0,25; e 0,10. Qual o número médio de pessoas por carro? Se chegam no litoral 4000 carros por hora, qual o número esperado de pessoas, em 10 horas? R: 3,15 pessoas; 126.000pessoas
- Na produção de uma peça são empregadas duas máquinas. A primeira é utilizada para efetivamente produzir as peças, e o custo de produção é de R$ 50,00 por unidade. Das peças produzidas nessa máquina, 90% são perfeitas. As peças defeituosas produzidas na primeira máquina são colocadas na segunda máquina para tentativa de recuperação (torná-las perfeitas). Nessa segunda máquina o custo por peça é de R$ 25,00, mas apenas 60% das peças são de fato recuperadas. Sabendo que cada peça perfeita é vendida por R$ 90,00, e que cada peça defeituosa é vendida por R$ 20,00, calcule o lucro esperado pelo fabricante. R: O lucro esperado, por peça, é de R$ 34,
- Um supermecado faz a seguinte promoção: o cliente, ao passar pelo caixa, lança um dado. Se sair face 6 tem um desconto de 30% sobre o total de sua conta. Se sair 5 o desconto é de 20%. Se ocorrer face 4 é de 10%, e se ocorrerem faces 1, 2 ou 3 o desconto é de 5%. a) Calcular a probabilidade de que num grupo de 5 clientes, pelo menos um consiga um desconto maior que 10%. b) Calcular a probabilidade de que o 4o^ Cliente seja o primeiro a conseguir 30%. c) Calcular o desconto médio. R: a) 86,83% b) 9,65% c) 12,5%
- Um banco pretende aumentar a eficiência de seus caixas. Oferece um prêmio de R$150,00 para cada cliente atendido além de 42 clientes por dia. O banco tem um ganho operacional de R$ 100,00 para cada atendimento além de 41. As probabilidades de atendimento são: Nº de clientes Até 41 42 43 44 45 46 Probabilidade 0,88 0,06 0,04 0,01 0,006 0, Qual a esperança de ganho do banco se o sistema for implantado? R: R$7,
- Sabe-se que uma moeda mostra a face cara quatro vezes mais do que a face coroa, quando lançada (MOEDA VICIADA). Esta moeda é lançada quatro vezes. Seja X: o número de caras que aparece, determine: a) E(X) R: E(X)=3, b) Desvio Padrão de (X) R: VAR(X)= 0, c) P(X2) R: 0, d) P(1 X <3) R: 0,
2. DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
Seja X número de tentativas necessárias ao aparecimento do primeiro sucesso. Assim a variável x tem distribuição geométrica:
Fórmula: P(X = x) = q x^ ^1 .p
Onde: x = número de tentativas necessárias ao aparecimento do primeiro sucesso; p = probabilidade de sucesso; q = é a probabilidade de Fracasso;
Parâmetros da distribuição Geométrica.
Esperança: E(x) = (x) =
p
Variância Var(x) = ^2 (x) = 2
p
q
Exemplos
A probabilidade de se encontrar aberto um sinal de trânsito numa esquina é 0,20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes, para encontrar o sinal aberto pela primeira vez?
Os cortes de frango, por serem produtos mais manipulados e estarem mais predispostos a sofrer contaminação cruzada durante o processamento tecnológico, podem apresentar maiores percentuais de contaminação por Salmonella sp. quando comparados às carcaças. Perin, et al (2016), quantifica que a probabilidade de contaminação avaliada em frigoríficos do Paraná é de 0,3. Considerando que as amostras de frangos são independentes, qual será a probabilidade de que, numa inspeção sanitária, seja necessário avaliar 15 frangos para que ocorra a primeira indicação positiva de Salmonella sp?
3. DISTRIBUIÇÃO DE PASCAL Suponha que um experimento aleatório repetido independentemente até que um evento A ocorra pela r-ésima vez. Seja X: número de repetições necessárias para que A ocorra pela r-ésima vez. Assim a variável x tem distribuição de Pascal:
Fórmula: P(X = x) =
1
1 r
x pr^ .qx r.C
Onde: x = número de repetições; r = número de sucessos; p = probabilidade de sucesso; q = é a probabilidade de Fracasso;
Parâmetros da distribuição de Pascal
Esperança: E(x) = (x) =
p
r
Variância: Var(x) = ^2 (x) = 2
p
rq
Exemplos
A probabilidade de que um sinal de transito esteja aberto numa esquina é 0,20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 10 vezes para encontrá-lo aberto pela 4ª vez?
No exemplo de contaminação de cortes de frangos por Salmonella sp., qual a probabilidade de que, numa inspeção sanitária, na 15ª amostra ocorra indicação positiva pela 8ª vez?
4. DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
Consideremos uma população com N elementos das quais r têm uma determinada característica. Retiramos dessa população, sem reposição, uma amostra de tamanho n. Seja X: número de sucessos na amostra Assim a variável x tem distribuição Hipergeométrica:
Fórmula: P(X = x ) = N,n
n x
r,x N r
C
C .C
, 0 x n e x r
Onde: x = número de sucessos da amostra; r = característica da população; N = tamanho da população; n = tamanho da amostra;
Parâmetros da distribuição Hipergeométrica Esperança: E(x) = (x) = n.p
Variância: Var(x) = ^2 (x) = ( 1 )
N
N n np p Onde: p = n
r
Exemplos
De um baralho com 52 cartas, retiram-se 8 cartas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que 4 sejam figuras?
Pequenos motores são guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum motor for defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos um motor for defeituoso, todos os 50 motores são testados. Há 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de que seja necessário examinar todos os motores dessa caixa?
Combinações sucessos
Combinações fracassos
Combinações da Amostra
EXERCÍCIOS
- Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcule as seguintes probabilidades: a) de dar pelo menos duas caras; R: 98,93% b) de ocorrer seis caras; R: 20,51% c) de não dar nenhuma coroa; R: 0,098% d) de dar pelo menos uma coroa; R: 99,90% e) de não dar 5 caras e 5 coroas R: 75,39%
- Admitindo que o nascimento de meninos e meninas sejam iguais, calcule a probabilidade de um casal com seis filhos ter quatro filhos homens e duas mulheres. R: 23,44%
- Qual a probabilidade de que no 25º lançamento de um dado ocorra a face 4 pela 5ª vez? R: 3,56%
- Uma urna tem 20 bolas pretas e 30 brancas. Retira-se 25 bolas com reposição. Qual a probabilidade de que: a) 2 sejam pretas? R: 0,038% b) Pelo menos 3 sejam pretas? R: 99,96%
- Numa estrada há 2 acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em; a) 250Km ocorram pelo menos 3 acidentes? R: 87,53% b) 300Km ocorram 5 acidentes? R: 16,06%
- A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo uma única flecha é de 0,20. Lança 30 flechas no alvo. Qual a probabilidade de que: a) exatamente 4 acertem o alvo? R: 13,25% b) pelo menos 3 acertem o alvo? R: 95,
- O pessoal de inspeção de qualidade afirma que os rolos de fita isolante apresentam, em média uma emenda a cada 50 metros. Admitindo-se que a probabilidade do número de emendas é dada pela Poisson, calcule as probabilidades; a) de nenhuma emenda em um rolo de 125 metros. R: 8,21% b) De ocorrer no máximo duas emendas em um rolo de 125 metros. R: 54,40% c) De ocorrer pelo menos uma emenda em um rolo de 100 metros. R: 86,47%
- Admitindo que X tem distribuição de probabilidade de Poisson, encontre as probabilidades: a) P(X=5) quando = 3,0 R: 10,08% b) P(X 2) quando = 5,5) R: 8,84% c) P(X 4) quando = 7,5) R: 5,91% d) P(X = 8) quando = 4,0 R: 2,98%
- Sabe-se que 20% dos animais submetidos a um certo tratamento não sobrevivem. Se esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X é o número de não sobreviventes: a) qual a distribuição de X? Binomial = B(20 ; 0,2) b) calcular a E[X] e Var [X] R: E[X] = 4 Var[X] c) calcular P(2 < X 4) R : 42,36% d) calcular P(X 2) R = 93,08%
- A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas, 2 queimam ao serem ligadas. Qual a probabilidade de que numa instalação de: a) 600 lâmpadas no mínimo se queimem? R: 57,68% b) 900 lâmpadas, exatamente se queimem? R: 4,63%
- O número de mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana é de 2 para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que em: a) 200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos R: 9,16% b) 112.500 habitantes ocorram pelo menos 3 afogamentos? R: 82,64%
- Numa urna há 40 bolas brancas e 60 bolas pretas. Retiram-se 20 bolas. Qual a probabilidade de que ocorram no mínimo 2 bolas brancas, considerando as extrações: b) sem reposição; R: 99,98% c) com reposição. R: 99,94%
- Uma urna contém 10 bolas brancas e 40 pretas. a) Qual a probabilidade de que a 6ª bola retirada com reposição, seja a 1ª bola branca? R: 6,55% b) Qual a probabilidade de que de 16 bolas retiradas, sem reposição, ocorram 3 brancas? R: 29,33% c) Qual a probabilidade de que a 15ª bola extraída com reposição seja a 6ª branca? R: 1,72% d) Qual a probabilidade de que em 30 bolas retiradas com reposição, ocorram no máximo 2 brancas? R: 4,41%
- A média de chamadas telefônicas numa hora é três. Qual a probabilidade de: a) Receber exatamente três chamada numa hora? R: 22,41% b) Receber quatro ou mais chamadas em 90 minutos? R: 65,8%
- Certo posto de Bombeiros recebe em média três chamadas por dia. Calcular a probabilidade de: a) receber quatro chamadas num dia; R: 16,8% b) receber três ou mais chamadas num dia. R: 57,67%
- Uma loja atende em média dois cliente por hora. Calcule a probabilidade de em uma hora:
Distribuição Teóricas De Probabilidade De
Variáveis Aleatórias Contínuas
1. Introdução
Podemos dizer que uma variável aleatória contínua é aquela que assume valores em um intervalo da reta real dos números reais. Por definição, uma variável aleatória X é contínua em IR se existir uma função f(x), tal que:
- f ( x ) 0 (não negativa)
f ( x ) dx 1.
Definição: Seja X um v.a. contínua. A distribuição de probabilidade ou função de densidade de probabilidade (fdp) de X será, então, uma função f(x) tal que, para quaisquer dois números a e b com a b ,
b
a
P ( a X b ) f ( x ) dx
Isto é, a probabilidade de X ter um determinado valor no intervalo a, b é área contida entre o intervalo e abaixo da curva da função de densidade, conforme ilustrado na Figura.
Figura 1: A área sobre a curva expressa a função densidade de probabilidade de uma fdp.
Proposição: Se X é uma variável aleatória contínua, então qualquer número c , P(X=c)=0. Além disso, para quaisquer dois números a e b com a< b ,
P a ( X b ) P a X b P a X b P a X b
1.2 Função Distribuição Acumulada
A função distribuição acumulada (fdc) F(x) de uma va discreta X fornece, para qualquer número específico x, a probabilidade P(X≤ x). Ela é obtida somando-se fmp p(y) para todos os valores que satisfaçam y≤ x. A fdc de uma variável aleatória contínua fornece as mesmas probabilidades P(X≤ x) e é obtida pela integração da fdp f(y) entre os limites
- ∞ e x.
Definição: A função distribuição acumulada F(X) de uma va contínua X é definida para cada número x por
( ) ( ) ( ) ,
x F x P X x f y dy x
(^)
Para cada x, F(x) é a área abaixo da curva de densidade à esquerda de x.
A importância da fdc neste caso, assim cimo no das vas discretas, é que as probabilidades dos diversos intervalos podem ser calculadas por uma fórmula ou lidas de uma tabela de F(x). Proposição: Seja X uma va contínua com fdp f(x) e fdc F(x). Então, para qualquer número a , P X ( a ) 1 F a ( )
e, para quaisquer dois números a e b com a < b, P a ( X b ) F b ( ) F a ( )
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo temos: Proposição: Se X for uma va contínua com fdp f(x) e fdc F(x) então, para qualquer x em que a derivada F’(x) existir, F’(x)=f(x).
Propriedades de F(x)
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1
- lim ( ) 0;
3.lim ( ) 1;
- ( ) é não-decrescente, isto é, ( ) ( );
- ( ) ( ) ( ),
x
x
F x F x
F x
F x x x F x F x F x F x P x X x x x
Parâmetros de uma Variável Aleatória Contínua
1.3 Esperança Matemática: Pode ser entendida como um “centro de distribuição de probabilidade”.
E ( X ) ( x ) x f ( x ) dx
f (^) X ( ) x f ( , x y dy ) para x
(^)
f (^) Y ( ) y f ( , x y dx ) para y
(^)
1.5 Variáveis Aleatórias Independentes
Definição: Duas variáveis aleatórias X e Y são independentes se, para cada par de valores x e y , f ( , x y ) f (^) X ( ) x f (^) Y ( ) y quando X e Y são contínuas. Caso contrário são denominadas
dependentes.
1.6 Distribuições Condicionais
Definição: Sejam X e Y duas vas contínuas com fdp conjunta f(x,y) e fdp marginal de X, f (^) x ( ) x.
Então, para qualquer valor x de X para o qual f (^) x ( ) x 0 , a função densidade de
probabilidade condicional de Y dado que X= x , é
/
y x x ( )
f x y f y x y f x
1.7 Covariância Quando duas variáveis aleatórias X e Y não são independentes, geralmente é de interesse avaliar quão fortemente estão relacionadas uma com a outra. Definição: A Covariância entre duas vas X e Y é
Cov X Y ( , ) E [( X x )( Y y )] ( x X )( y Y ) f ( , x y dxdy )
(^) X, Y contínuas.
1.8 Correlação
O coeficiente de correlação ( ) entre X e Y, representado por Corr (X,Y), X Y , , ou
simplismente , é definido por
x y
X Y
cov( , ) Também : x y
xy
,
Onde: 1 1 1
Distribuição Teóricas De Probabilidade De
Variáveis Aleatórias Contínuas
1. DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme de probabilidade
no intervalo [a ; b], se sua fdp é dada por:
x a x b
k x f x 0 se ou
sea b ( )
Graficamente:
O valor de k é:
kdx ^1
b
a
Logo:
x a x b
x f x 0 se ou
sea b b-a
Parâmetros: ESPERANÇA MATEMÁTICA: A Esperança de X é o ponto médio do intervalo
b a E X
VARIÂNCIA MATEMÁTICA: A variância de X é dada por: 12
b a^2 VAR X
Embora a curva normal esteja definida de menos infinito (-∞) à mais infinito
(+∞), pode-se observar que quase a totalidade dos casos cai entre -3 e +3 desvios
padrão, ou seja, 97,74% dos casos. Este fato é ilustrado na figura a seguir.
Essa integral requer um trabalho computacional em séries para resolvê-la, pois
de forma analítica a mesma se torna inviável. Para solucionarmos este problema usamos
uma transformação de variáveis que nos conduz à chamada distribuição normal
padronizada, ou distribuição normal reduzida. Usaremos a seguinte notação:
X : N (, ^2 )
Para transformação de variáveis, consideraremos a seguinte transformação linear
de X para Z:
i ^ i
X
Z
Logo, para encontrarmos as áreas (probabilidade) sob a curva f(x), mudam-se
suas abscissas para Z, determinando-se a probabilidade com auxilio de uma tabela
normal padronizada. Assim:
P ( a x b ) P ( z 1 Z z 2 )
Onde:
a Z 1
b Z (^) 2
