Resolução de Equações Trigonométricas, Notas de estudo de Matemática

Baixe Resolução de Equações Trigonométricas e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!

x y x y

xy x. y

x x

x x x , x R

x x x

x a a x a

x a x a ou x a

x a x a ou x -a

x 0 x 0

x 0 , x R

x x , x R

x , se x 0

x , se x 0

x

Fazendo |x| = y , temos :

y 5 (nãoservepois omóduloNÃOpodesernegativo)

y 3

y 2 y 15 0

2

Logo : x = 3 ∴ x= 3 ou x=− 3

Solução : { − 3 , 3 }

Da definição de módulo, o 2º membro NÃO pode ser negativo. Então devemos impor

a condição de que : 5 x − 10 ≥ 0 ∴ x≥ 2

Logo:

Solução^ {^3 }

(nãosatisfaz)

3 x 4 5 x 10 3 x 4 5 x 10 8 x 14 x

3 x 4 5 x 10 2 x 6 x 3 (satisfazacondição)

Da definição de módulo, o 2º membro NÃO pode ser negativo. Então devemos impor

a condição de que : x + 1 ≥ 0 ∴ x≥− 1

Solução 1 ,

(satisfazacondição)

2 x x 1 2 x x 1 x

2 x x 1 x 1 (satisfaz acondição)

Por meio de um artifício algébrico, façamos |x-2| = y. Daí teremos :

y 7 6 y 1

y 7 6 y 13

y 7 6

Retornando, teremos:

x 2 1 x 1

x 2 1 x 3

x 2 1

e

x 2 13 x - 11

x 2 13 x 15

x 2 13

Solução : { − 11 , 1 , 3 , 15 }

Escrevamos a equação dada como:

x 4

x

2

Daí, vamos impor a condição de que :

0 x 4 0 x 4 x 4 x 4 x 2 2 x 2 3

x (^42222)

2 ≥ ∴ − + ≥ ∴ − ≥− ∴ ≤ → ≤ → ≤ → − ≤ ≤

Solução Alternativa : -x²+ 4 ≥ 0



-x² ≥ -4



x² ≤≤≤≤ 4



x² - 4 ≤≤≤≤ 0



x = -2 e x = 2



-2 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 2

Então:

x 4 (nãosatisfazacondição )

x 1

x 3 x 4 0

x 4

x

x 4

x

x 4 (não satisfazacondição)

x 1

x 3 x 4 0

x 4

x

2

2 2

2

2

Solução : { − 1 , 1 }

Obs.: existe outra maneira de resolução

( 2ª maneira )

Solução: { - 2 }

x 2 (nãosatisfazacondiçãodex 1 )

x 2 (satisfaz acondiçãode x 1 )

x 4

Se x- 1 0 ,istoé,x 1 x 1 x 1 x x x 1 4

x 2 x 4 0 ( não existexreal)

Se x- 1 0 ,istoé,x 1 x 1 x 1 x xx 1 4

2

2

Solução: { - 5 , 5 }

x 5

x 2 (nãosatisfaz acondição)

Se x 0 x x x 3 x 10 0

x 5

x 2 (nãosatisfaz acondição)

Se x 0 x x x 3 x 10 0

2

2

Solução:

5 x 2 5 x 10 6 x 8 x

x 2

x 2

5 x 2 5 x 10 4 x 12 x 3

x 2

x 2

x 1 ,se 1 - x 0 ,i.é, se x 1 (4)

1 x,se 1 - x 0 ,i.é, se x 1 (3)

1 x

x 3 ,se x- 3 0 ,i.é,se x 3 (2)

x 3 ,se x- 3 0 ,i.é, se x 3 (1)

x 3

C)Sex 3 temos: x- 3 - 1 x 2 2x- 4 2 x 3 (verificaacondição )

B)Se 1 x 3 temos: -x 3 - 1 x 2 2 2 (verifica pois 2 aointervalo)

A)Sex 1 temos: -x 3 1 - x 2 - 2x 4 2 x 1 (verifica acondição )

Solução : { 1 , 2 , 3 }

x 1 ,se x- 1 0 ,i.é, se x 1 (4)

x- 1 , sex- 1 0 ,i.é, se x 1 (3)

x 1

x 3 ,se x- 3 0 ,i.é,se x 3 (2)

x 3 ,se x- 3 0 ,i.é, se x 3 (1)

x 3

Solução :

Em [π/2, 2π] as soluções reais da equação |sen(x) +1/8| -8/9 = 0 são em numero de:

(a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 2 (e) 1

Aplicando uma propriedade do módulo que diz :

x k

x k

Se x k ,ondekéumaconstanteek 0 , então :

Então a equação pode ser escrita como :

sen( x)+ =.

Daí, aplicando a propriedade acima teremos :

NÃOEXISTE x poisosen(x)devepertencer aointervalo - 1 x 1

sen(x)

sen(x)

sen(x)

sen(x)

x 49 , 8

sen(x)

sen(x)

sen(x)

sen(x)

Analisando o círculo trigonométrico veremos que x=49,8° não pertence ao intervalo

[π/2, 2π] ,

mas existe também o arco 180°-49,8° = 130,2° e onde sen(130,2°) = 55/

Portanto, no intervalo [π/2, 2π] teremos apenas 1 solução : x≈ 130 , 2 °

5 x,se 5 - x 0 ,i.é, se x 5 (4)

5 - x,se 5 - x 0 ,i.é, se x 5 (3)

5 x

2 x 4 ,se2x- 4 0 ,i.é, se x 2 (2)

2 x- 4 ,se2x- 4 0 ,i.é, se x 2 (1)

2 x 4

Solução : { − 1 , x≥ 5 }

x 1 / 3

x 3

3 x 3 8 x 3 x 8 x 3 0

8 x

x 1

x

x

x 1 / 3

x 3

3 x 3 8 x 3 x 8 x 3 0

8 x

x 1

x

x

2 2 2

2 2 2

Solução :

a

, a 0 , fazemos a União

a

|x|

a

, a 0 , fazemos a Interseção

a

|x|

U

I

Solução:{ x 2 }

• x- 1 ,sex 1 0 ,istoé,x 1 2x- 7 - x- 1 0 x 8

x 1 ,sex 1 0 ,istoé, x -1 2x- 7 x 1 0 x 2 x 1

Sabemosque :

Solução: { x 3 }

• x 1 ,sex 1 0 ,istoé,x 1 - x 1 - 3x 7 0 4 x -8 x 2

x 1 ,sex 1 0 ,istoé, x 1 x 1 3 x 7 0 2 x -6 x 3 x 1

Sabemosque :

Solução: { x 5 }

2 x 1 ,se 2 x 1 0 ,istoé, x 1/2 2 x 1 4 3 x 0 5 x 3 x 3 / 5

2 x 1 ,se 2 x 1 0 ,istoé, x 1/2 2 x 1 4 3 x 0 x 5 x 5 2 x 1

Sabemosque :

Solução: { 1 x 1 }

3 x 2 ,se 3 x- 2 0 ,istoé, x 2 / 3 3 x 2 2 x 3 0 x 1 0 x -

3 x- 2 ,se 3 x- 2 0 ,istoé, x 2 / 3 3 x 2 2 x 3 0 5 x 5 0 x 1 3 x 2

Sabemosque :

Solução: { 4 x 6 }

x 4

x 1 x² 5 x 4 0 x² 5 x 4 0

• (x² 6 x 5 ) -x² 6x- 5 , se x² 6 x 5 0 x² 6 x 5 1 x 0

ou

x 6

x 1 x² 7 x 6 0

x² 6 x 5 , se x² 6 x 5 0 x² 6 x 5 1 x 0

x² 6 x 5

Sabemosque :

Solução: { 2 x 0 OU 2 x 4 }

2 ) |x 1 | 1 x 1 1 OU x- 1 -1 x 2 OU x 0

1 ) |x 1 | 3 3 x 1 3 2 x 4

Resolvendoseparadamentecadainequaçãoteremos :

1ª maneira1ª maneira1ª maneira1ª maneira :::: (^) x 2 3

− 4 < 3 x− 2 < 4 → − 2 < 3 x < 6 → − < <

2ª maneira2ª maneira2ª maneira2ª maneira ::::

x 2 3

Solução:

3 x 2 , se3x- 2 0 3 x 2 4 3 x 2 x 2 / 3

3 x 2 , se3x- 2 0 3 x 2 4 x 2

| 3 x 2 |

1ª maneira1ª maneira1ª maneira1ª maneira ::::

5 x + 4 ≥ 4 OU 5 x+ 4 ≤ − 4 → x≥ 0 OU x≤ −

2ª maneira2ª maneira2ª maneira2ª maneira ::::

Solução: x 0 OU x

5 x 4 , se5x 4 0 5 x 4 4 5 x 8 x

5 x 4 , se5x 4 0 5 x 4 4 x 0

| 5 x 4 |

3 x 1

2 x 3

3 x 1

2 x 3

3 x 1 0 x

4 x 1 0 x

0 3 x 1

4 x 1 0 3 x 1

2 x 3 6 x 2 2 0 3 x 1

2 x 3 2 3 x 1

2 x 3

3 x 1 0 x

8 x 5 0 x

0 3 x 1

8 x 5 0 3 x 1

2 x 3 6 x 2 2 0 3 x 1

2 x 3 2 3 x 1

2 x 3

Fazendo a (1) ∪ (2) temos : Solução :



 

 





 

 



≠

< <

−

3

1 ex

8

5 x 4

1

Fazendo |x| = y , teremos:

y 2 1 y 1 x 1 1 x 1

y 2 1 y 3 x 3 x 3 ou x 3

y 2 1

dadefinição:

Solução :

x 3

• 1 x 1 ou

x 3 ou

Fazendo |2x - 1| = y , teremos:

2 x 1 1 x 1

e

2 x 1 1 x 0

y 3 2 y 1 2 x 1 1

ou

2 x 1 5 x 3

ou

2 x 1 5 x 2

y 3 2 y 5 2 x 1 5

y 3 2

Definição| |

Definição||

dadefinição:

Solução :

x 2

• 1 x 0 ou

x 3 ou

2 x 1 ,se 2 x- 1 0 ,istoé, x 1 / 2

2 x- 1 ,se 2 x- 1 0 ,istoé, x 1 / 2

2 x 1

• 3x 2 ,se 3 x 2 0 ,istoé,x 2 / 3

3 x 2 ,se 3 x 2 0 ,istoé, x 2 / 3

3 x 2

Sabemosque :

A) Sex<−2/3 temos: − 3 x− 2 −(− 2 x+ 1 )−x− 1 > 0 → − 3 x− 2 + 2 x− 1 −x− 1 > 0 → x<- 2

B) Se-2/3≤x< 1 / 2 temos: 3 x+ 2 −(− 2 x+ 1 )−x− 1 > 0 → 3 x+ 2 + 2 x− 1 −x− 1 > 0 → x> 0

C) Sex≥1/2 temos: 3 x+ 2 −( 2 x− 1 )−x− 1 > 0 → 3 x+ 2 − 2 x+ 1 −x− 1 > 0 → 2 > 0 → ∀x∈ R

Fazendo (A) ∪ (B) ∪ (C) teremos :

Solução : { x <− 2 ou x> 0 }