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SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS............................................................................................
LISTA DE TABELAS............................................................................................
RESUMO.............................................................................................................
1.0 OBJETIVOS...................................................................................................
2.0 INTRODUÇÃO...............................................................................................
3.0 METODO EXPERIMENTAL........................................................................
4.0 RESULTADOS E DISCUSSÃO...................................................................
5.0 CONCLUSÃO..............................................................................................
6.0 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................
ANEXOS............................................................................................................
PAGE * MERGEFORMAT 2
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Gráfico do quadrado do período e momento de Inércia de cada configuração para Fio 01...................................................................................
Figura 2: Gráfico do quadrado do período e momento de Inércia de cada configuração para Fio 02...................................................................................
Figura 3: Gráfico do quadrado do período e momento de Inércia de cada configuração para Fio 03...................................................................................
Figura 4: Gráfico do módulo de torção contra o inverso do comprimento......................................................................................................
RESUMO:
Através de um experimento utilizando uma balança de torção, foi possível o cálculo do momento de inércia de um sistema e ainda relacioná-lo com o torque. Já através da torção tínhamos como objetivo validar a Lei de Hooke para sistemas mecânico oscilatórios.
Na prática em laboratório, calculamos o módulo de torção de três fios de aço, um de 152 mm, outro de 202 mm e outro de 240 mm de comprimento, a partir da marcação do tempo em que cada fio, preso à uma haste, que servia de suporte à pesos, oscilava cinco vezes em torno do seu eixo.
O experimento foi realizado várias vezes, com hastes e pesos diferentes na contagem das oscilações, resultando em tempos diferentes para o calculo do módulo de torção.
Por fim, verificamos que o módulo de torção decresce com o aumento do comprimento do fio e esse aumento no comprimento faz com que o período de oscilação para cada configuração de massa também aumento. Isso pode ser explicado pelas leis de Hooke e de Newton.
1.0 – OBJETIVOS:
- Oscilações harmônicas de um sistema conservativo.
- Verificar a validade da lei de Hooke na torção de um fio.
- Relação física entre o período de oscilação e o módulo de torção.
- Verificar a dependência do módulo de torção de um fio com seu comprimento, diâmetro e material.
- Uso da balança de torção para medir momentos de inércia de qualquer objeto.
A equação (11) descreve um sistema oscilador harmônico simples. Através de θ é possível uma percepção da elasticidade do sistema, caso esta elasticidade for ultrapassada, o sistema não retorna ao seu equilíbrio e as deformações são permanentes.
O período de um sistema é o tempo necessário para o corpo voltar à posição inicial ou para repetir o movimento oscilatório e é calculado da seguinte maneira:
(12)
Através de deduções envolvendo a solução geral da equação diferencial (11) e a equação (12), o período também pode ser calculado por:
(13)
Já na prática laboratorial, usando uma balança de torção e medido: a massa de um jogo de discos metálicos e o comprimento de um fio a ser tencionado, prende-se bem o fio nas duas travas da balança. Na trava superior o fio encontra-se preso ao suporte da balança, enquanto na trava inferior, passa uma barra de latão centrada presa a um suporte já conectado ao fio. Em cada extremidade da barra são colocados pesos equivalentes a fim de modificar o momento de inércia do sistema. Então a barra é utilizada para realizar torção no sistema. O processo foi repetido para três diferentes comprimentos de fio e duas barras também de comprimentos diferentes. Na figura abaixo temos uma ilustração do experimento realizado:
Essas torções foram medidas para validar a Lei de Hooke na torção de um fio, correlacionando o período de oscilações harmônicas que o sistema conservativo exerce para encontrar o equilíbrio com o módulo de torção. Pode- se verificar também que o módulo de torção do fio depende de suas características como: comprimento, material e diâmetro.
3.0 - MÉTODOS E MATERIAIS:
Os materiais utilizados na prática laboratorial numero IV, “Módulo de Torção”, foram:
- Uma balança de torção básica para mecânica, composta por:
- Uma haste cilíndrica vertical acoplada, na parte de baixo, a uma mesa quadrada com quatro sapatas niveladores e amortecedoras, e na parte de cima, a um suporte horizontal;
- Duas pequenas hastes auxiliares, com furo transversal central passante e parafusos nos seus extremos, para prender o arame;
- Duas travas auxiliares de latão para corpos de provas;
- Duas hastes com corpo central e com rebaixos nos extremos, de comprimentos de 10 e 20 cm;
- Um jogo de pesos (discos de aproximadamente 50 gramas e cestas de aproximadamente 15 gramas);
- Três fios de aço de 0,45 mm de diâmetro para torção com comprimentos de 152, 202 e 240 mm, como corpo de prova;
- (^) Um cronômetro digital, uma régua, um transferidor, e uma balança.
Nosso objetivo na prática era de medir o tempo das oscilações de cada haste (de 10 e 20 cm), mantendo pesos equilibrados em suas extremidades, suspensas pelos fios (150, 200 e 250 mm), um em cada caso, sendo realizadas varias medições.
Para isso, utilizamos um cronômetro digital para marcar o tempo em que uma haste, com seus respectivos pesos, mantida pelos arames, uma hora de 10 e outra hora de 20 cm de comprimento, oscilava. A haste era posicionada fazendo um ângulo de 30º com a horizontal da base da balança de torção; acionávamos o cronômetro ao solta-lá, e o parávamos assim que ela completasse 10 oscilações.Desse modo, estávamos percebendo que o módulo da torção do fio de aço dependia do seu comprimento, dos comprimentos das hastes e das massas dos pesos fixados à ela, e com o tempo, foi possível calcular o módulo em cada caso.
No último caso, posicionamos um cilindro de ferro oco, sendo que por ele passava o fio de aço, e mantido suspenso pelas hastes também. Assim, medimos o tempo de oscilação da nova massa, realizando os cálculos novamente, para esse último caso.
4.0 - RESULTADOS E DISCUSSÕES:
Tabela 1.3 – Tempo de 10 oscilações para o Fio 03:
Configuração de Inércia
Braço da haste (m)
Massas (kg)
T^10 (s) T 10 (s) T^10 (s) T 10 (s) T^10 (s) T¹ (s) Desvio Padrão (s) 1 0,05 0,0680 27,59 27,73 27,19 27,09 27,49 2,742 0, 2 0,05 0,1180 35,97 35,97 36,10 36,19 36,02 3,605 0, 3 0,1 0,0680 54,03 54,09 54,06 54,19 53,76 5,403 0, 4 0,1 0,1180 69,21 69,90 69,90 69,50 69,95 6,969 0,
Considerando os valores das massas de cada fio metálico desprezíveis, foi possível calcular o momento de inércia do sistema para cada configuração. Calculou-se também o desvio padrão em relação ao tempo, o período de 1 oscilação e o período ao quadrado. Os dados estão nas tabelas 2.1, 2.2 e 2. abaixo:
Tabela 2.1: Período do pendulo de torção e sua respectiva incerteza (ΔT²), para cada comprimento de fio metálico e com o fio de comprimento L=0,14m.
Configuração de inércia
Momento de inércia (kg.m²)10-
T(s) T²(s²) ΔT²(s²)
Tabela .2: Período do pendulo de torção e sua respectiva incerteza (ΔT²), para cada comprimento de fio metálico e com o fio de comprimento L=0,20m.
Configuração de inércia
Momento de inércia (kg.m²)10-
T(s) T²(s²) ΔT²(s²)
Tabela 2.3: Período do pendulo de torção e sua respectiva incerteza (ΔT²), para cada comprimento de fio metálico e com o fio de comprimento L=0,25m.
Configuração de inércia
Momento de inércia (kg.m²)10-
T(s) T²(s²) ΔT²(s²)
Bem, notamos a igualdade entre os momentos de inércia para os três fios. Isso se explica pelo fato das configurações das massas para cada fio não ter mudado e principalmente porque a diferença entre as massas dos fios se tornou insignificante para a determinação do momento de inércia de cada sistema. Ou seja, seria necessária a modificação de um parâmetro que interferisse, significativamente, no momento de inércia do sistema, no caso a configuração das massas.
Percebemos também, a relação direta entre o comprimento o fio e o período de oscilação. Queremos dizer que com o aumento do comprimento do fio o período para uma oscilação do sistema cresce proporcionalmente.
Com os valores do período ao quadrado e do momento de inércia obtidos foi possível plotar os gráficos para os fios 1, 2 e 3 do período ao quadrado x momento de inércia, com isso obtemos o módulo de torção de cada fio.
Figura 1: Gráfico do quadrado do período e momento de Inércia de cada configuração para Fio 01.
para Fio 02.
Figura 3: Gráfico do quadrado do período e momento de Inércia de cada configuração para Fio 03.
Continuando a análise dos dados teremos agora a determinação do módulo de torção para cada fio através da (Equação 04) e sua incerteza (Equação 05). Ou seja, o coeficiente angular da reta de regressão dos dados de cada fio pode ser igualado com o coeficiente da (Equação 04):
Coeficiente angular =
Assim teremos a tabela seguir:
Tabela 1.7 – Módulo de torção do fio ( K) e sua incerteza:
Comprimento do fio (m) Módulo de torção (K) (kg.m 2 .s -2^ ) (10-4)
∆K (kg.m^2 .s -2^ ) (10-5)
Verifica-se então uma relação indiretamente proporcional entre o comprimento do fio que sofreu torção e o seu módulo encontrado. Isto é, com o aumento do comprimento do fio ocorre uma diminuição proporcional do módulo de torção. Isso se deve ao crescimento do período de oscilação para um aumento do comprimento r do fio torcionado.
Já o módulo de cisalhamento ( S ) será determinado pela relação explicita na (Equação 06) novamente através do coeficiente angular da reta da regressão dos dados da Tabela 1.7 e 1.8:
Tabela 1.8 - Inverso do comprimento do fio e sua incerteza: Inverso do comprimento (m-1)
Incerteza do inverso do comprimento (m -1) Fio 01 (L=0,14m) 7,143 0, Fio 02 (L=0,20m) 5,000 0, Fio 03 (L=0,25m) 4,000 0,
Tabela 1.9 – Módulo de torção e Inverso do comprimento: Módulo de torção (K) (kg.m 2 .s -2^ ) (10-4)
Inverso do comprimento (m -1) Fio 01 (L=0,14m) 21,54 7, Fio 02 (L=0,20m) 15,28 5, Fio 03 (L=0,25m) 7,38 4,
Obtemos então o gráfico do módulo de torção contra o inverso do comprimento:
- Aumento no número de análises do período para cada configuração.
- Utilização de sensor para determinar o período de oscilação da barra.
- Utilização de discos com maior momento de inércia, para que os erros sejam menos significantes.
- Realização da marcação do período considerando-se maior número de oscilações.
5.0 - CONCLUSÃO:
A partir de uma balança de torção verificamos, mais uma vez, a aplicação do movimento oscilatório para a determinação de parâmetros físicos importantes como o módulo de torção de fios, no caso, com três comprimentos diferentes. Outra ferramenta de grande ajuda foi a possibilidade do tratamento estatístico dos dados através da regressão linear feita com os mesmos.
Enfim, considerando a angulação (30º) constante para os três fios, concluímos que o módulo de torção decresce com o aumento do comprimento do fio. Isto devido a relação: com o aumento do comprimento do fio crescerá também o período de oscilação do sistema de massa montado (base para os cálculos). As leis de Hooke e Newton explicam o esse comportamento elástico na torção.
ANEXOS:
- Cálculo do momento de inércia para cada sistema (Equação 01):
- Cálculo da incerteza do momento de inércia do sistema (Equação 02):
Onde:
= ± 0,001 m → incerteza do raio do cilindro de sustentação
= ± 0,005 m →incerteza do comprimento da vara
→ configuração da massa
- (^) Cálculo da incerteza do quadrado do período (T²) (Equação 03):
- Cálculo do módulo de torção (K) (Equação 04):
- Cálculo da incerteza do módulo de torção (Equação 05):
- Cálculo do módulo de cisalhamento (S) (Equação 06):
- Cálculo da incerteza do módulo de cisalhamento (Equação 07):
