Baixe Modulo e função modular e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Cap´ıtulo 3
M´odulo e Fun¸c˜ao M´odular
A fun¸c˜ao modular ´e uma fun¸c˜ao que apresenta o m´odulo na sua lei de forma¸c˜ao. No entanto, antes de falarmos sobre fun¸c˜oes modulares devemos definir o conceito de m´odulo, tamb´em conhecido como valor absoluto.
3.1 M´odulo de um n´umero real
Defini¸c˜ao 3.1: Seja x um n´umero real. O m´odulo de x, denotado por |x|, ´e definido como:
|x| =
x se x ≥ 0 −x se x < 0
Exemplo 3.1: Velamos alguns exemplos:
- | 5 | = 5
- | − 5 | = 5
- | 0 | = 0
- | − π| = π
Interpretamos geometricamente o m´odulo de um n´umero real x, na reta, como sendo a distˆancia entre o ponto x e a origem. Em outras palavras, |x| corresponde `a distˆancia do ponto x ao ponto 0.
- Se x ≥ 0 ent˜ao:
|x| = x
0 x
- Se x < 0 ent˜ao:
|x| = −x
x 0
Como as distˆancias s˜ao sempre positivas ou 0, ent˜ao ´e f´acil ver que
|x| ≥ 0.
Esta interpreta¸c˜ao como distˆancia ser´a de grande ajuda para que possamos envergar intuitivamente o significado de algumas propriedades envolvendo m´odulo, como por exemplo, as seguintes
- |x| = 0 ⇔ x = 0
- |x| = |−x|
- |x| ≥ x
as quais decorrem imediatamente da Defini¸c˜ao 3.1, para qualquer x ∈ IR.
Exemplo 3.2: Resolva as seguintes equa¸c˜oes:
- | 2 x + 1| = 5
- | 9 x + 2| = − 3
Solu¸c˜ao:
- De | 2 x + 1| = 5 temos, pela Defini¸c˜ao 3.1, que:
| 2 x + 1| = 2x + 1 ou | 2 x + 1| = −(2x + 1)
ou seja 2 x + 1 = 5 ou − (2x + 1) = 5 Portanto, x = 2 ou x = − 3 Logo o conjunto solu¸c˜ao da equa¸c˜ao ´e S = {− 3 , 2 }.
- Observe que n˜ao existe x ∈ IR tal que | 9 x + 2| = −3, pois, m´odulo ´e sempre positivo e n˜ao podemos ter | 9 x + 2| < 0. Portanto, o conjunto solu¸c˜ao da equa¸c˜ao ´e S = ∅.
Proposi¸c˜ao 3.1: Quaisquer que sejam os n´umeros reais a, b e x, tem-se:
- |x|^2 = |x^2 | = x^2 ;
- |ab| = |a| |b|;
- |a + b| ≤ |a| + |b|( Desigualdade Triangular );
- Se a > 0 , |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
- |x| =
x^2 ;
- Suponhamos que |x| ≤ a. Se x ≥ 0, temos
x = |x| ≤ a.
Sendo x ≥ 0, ´e claro que x ≥ −a, de modo que, neste caso,
−a ≤ x ≤ a.
Se x ≤ 0, ent˜ao x ≤ a e −x = |x| ≤ a. Mas −x ≤ a ´e equivalente a x ≥ −a, de modo que
−a ≤ x ≤ a.
Portanto, provamos que
|x| ≤ a ⇒ −a ≤ x ≤ a.
Para provarmos a rec´ıproca, tamb´em distiguiremos os casos x ≥ 0 e x < 0. Suponhamos que −a ≤ x ≤ a. Esta dupla desigualdade pode ser desdobrada em
x ≤ a e x ≥ −a. Se x ≥ 0, |x| = x e a primeira desigualdade nos d´a
|x| ≤ a.
Se x < 0, |x| = −x e, da segunda desigualdade, temos
|x| ≤ a.
Logo,
−a ≤ x ≤ a ⇒ |x| ≤ a.
Geometricamente,
x
−a (^0) a
- Antes de provarmos esta parte, faremos uma observa¸c˜ao sobre o s´ıbolo
x, sendo x um n´umero real positivo. E comum usar´
x para indicar uma das raizes de x, sem especificar qual dela, ou seja, colocar
√ x^2 = x.
Tal nota¸c˜ao pode conduzir a uma contradi¸c˜ao, vejamos: Usando a f´ormula
x^2 = x, temos
√ 32 = 3 e
(−3)^2 = − 3.
Mas (^) √ 32 =
(−3)^2 =
Logo, 3 = − 3 (absurdo?!?!)
Para evitar este fato usaremos, sistematicamente, o s´ımbolo
x para indicar a raiz quadrada positiva de x. A raiz quadrada negativa de x ser´a indicada por −
x. Assim especificado, temos que: √ x^2 ´e a raiz quadrada positiva de x^2 , isto ´e, ´e o n´umero positivo cujo quadrado ´e x^2 e o n´umero |x| satisfaz tais condi¸c˜oes, ou seja,
|x| ≥ 0 e |x|^2 = x^2. Logo, (^) √ x^2 = |x|.
- Em virtude da desigualdade triangular, temos
|a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b| , o que n´os d´a
|a| − |b| ≤ |a − b|. (I) Pelo mesmo motivo, temos
|b| − |a| ≤ |b − a|. Ora, ´e evidente que
|a − b| = |b − a|. Consequentemente
|b| − |a| ≤ |a − b| ou |a − b| ≥ −(|a| − |b|). (II)
De fato, x n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao |x| ≥ a
se, e somente se, x satisfaz a condi¸c˜ao |x| < a
novamente, pelo item 4 da proposi¸c˜ao 1.2, |x| < a ´e equivalente a
−a < x < a,
o que nos a uma contradi¸c˜ao da hip´otese
x ≥ a ou x ≤ −a.
Portanto, esta demonstrado o corol´ario.
Corol´ario 3.3: Dados a, b, x ∈ IR, tem-se
|x − a| ≤ b
se, e somente se, a − b ≤ x ≤ a + b.
Demonstra¸c˜ao: Com efeito, pelo item 4 da proposi¸c˜ao 1.2, |x − a| ≤ b ´e equivalente a
−b ≤ x − a ≤ b.
Somando a a ambos os membros dessa desigualdade obtemos o resultado desejado, ou seja,
a − b ≤ x ≤ a + b.
Nota 3.1: Todas as afirma¸c˜oes da proposi¸c˜ao 1.2 e de seus corol´arios s˜ao ainda verdadeiras com < em lugar de ≤ e > em lugar de ≥, como se verifica facilmente.
Exemplo 3.3: Resolva as seguintes inequa¸c˜oes:
- |x| < 3
- |x| > 4
- | 2 x − 5 | < 3
- | 6 − 2 x| ≥ 7
Solu¸c˜ao:
- Pela Proposi¸c˜ao 3.1, item 4, temos que: |x| < 3 ⇔ − 3 ≤ x ≤ 3.
- Pelo Corol´ario 3.2 temos que: |x| > 4 ⇔ x < −4 ou x > 4.
- | 2 x − 5 | < 3 ⇔ − 3 < 2 x − 5 < 3 ⇔ 2 < 2 x < 8 ⇔ 1 < x < 4.
- | 6 − 2 x| ≥ 7 ⇔ 6 − 2 x ≥ 7 ou 6 − 2 x ≥ − 7 ⇔ x ≤ −
ou x ≥
Exerc´ıcios 3.1: Resolva as seguintes equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes:
- | 5 x + 4| ≥ 4
- | 2 x + 1| = 3
- |x + 2| < 3
- |x − 1 | ≤ 1
- | 3 x + 1| < 2
|x + 1|
- |x^2 + 1| < 3
- |(x + 1)(x − 2)| ≥ 2
- |x − 4 | = | 2 x − 3 |
- | 4 − 3 x| > 0
- |x^2 − 3 x| ≤ 1
- 2 + | 3 x − 6 | = 8
- 3|x|^2 − |x| − 2 = 0
- | 1 − x| = 1 − x
Exerc´ıcios 3.2: Sejam x, y ∈ IR, com y 6 = 0.
- Mostre que (^) ∣ ∣ ∣ ∣
y
∣ =^
|y|
- Usando o item anterior e a Proposi¸c˜ao 3.1, mostre que ∣ ∣ ∣ ∣
x y
∣ =^
|x| |y|
Exerc´ıcios 3.3: Resolva as seguintes inequa¸c˜oes:
|x + 1| | 2 x − 1 |
|x + 1| |x − 1 |
As duas fun¸c˜oes g(x) e h(x) podem ser reunidas numa ´unica fun¸c˜ao da seguinte forma:
f (x) =
x^2 se x ≥ 0 x − 2 se x < 0
Defini¸c˜ao 3.2: Seja g(x) uma fun¸c˜ao real. Definimos uma fun¸c˜ao modular como sendo a fun¸c˜ao f : IR → IR x 7 → |g(x)|
Em outras palavras, chamamos de fun¸c˜ao modular uma fun¸c˜ao que ´e colocada dentro de um m´odulo, ou seja, a fun¸c˜ao f (x) = |g(x)|.
Observe que pela Defini¸c˜ao 3.1 de m´odulo, tal fun¸c˜ao pode ser substitu´ıda por uma fun¸c˜ao definida por duas senten¸cas, as quais s˜ao equivalentes `a fun¸c˜ao anterior:
f (x) =
g(x) se g(x) ≥ 0
−g(x) se g(x) < 0
Exemplo 3.4: Segue alguns exemplos de fun¸c˜oes modulares.
- f (x) = |x|
- f (x) = |x^2 − 3 x|
- f (x) =
|y|
- f (x) = |x + 3|
- f (x) = | − x|
- f (x) =
x + 1 x + 2
Exemplo 3.5: As fun¸c˜oes do Exemplo anterior podem ser escritas como uma fun¸c˜ao definida por duas senten¸cas.
- f (x) =
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
- f (x) =
x^2 − 3 x, se x^2 − 3 x ≥ 0
−(x^2 − 3 x), se x^2 − 3 x < 0
- f (x) =
|y|
, se y > 0
|y|
, se y < 0
- f (x) =
x + 3, se x + 3 ≥ 0
−(x + 3), se x + 3 < 0
- f (x) =
−x, se x ≥ 0
x, se x < 0
- f (x) =
x + 1 x + 2
, se
x + 1 x + 2
x + 1 x + 2
, se
x + 1 x + 2
Exemplo 3.6: Fazendo o estudo de sinais podemos reescrever as fun¸c˜oes apresentadas nos itens 2, 4 e 6, do Exemplo 3.5, como:
- f (x) =
x^2 − 3 x, se x ≤ 0 ou x ≥ 3
−(x^2 − 3 x), se 0 < x < 3
- f (x) =
x + 3, se x ≥ − 3
−(x + 3), se x < − 3
- f (x) =
x + 1 x + 2
, se x < − 2 ou x ≥ − 1
x + 1 x + 2
, se − 2 < x < − 1
Exerc´ıcios 3.4: Escreva as seguintes fun¸c˜oes modulares como uma fun¸c˜ao de duas senten¸cas, tal como apresentado no Exemplo 3.6.
- f (x) = |x^2 − 4 |
- f (x) = |x| − 1
- f (x) = |x^2 + 4x|
- f (x) = | 4 − x^2 |
- f (x) = | 2 x − 1 |
- |x^2 + 4x + 3| − 1
- f (x) = |x − 1 |
- f (x) = | 2 x + 3|
- f (x) = | 2 x − 1 | − 2
- f (x) = | 3 x + 4| + 1
- f (x) = |x| − 3
- || 2 x − 2 | − 4 |
Exemplo 3.7: Construa o gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = |x^2 − 4 |.
Solu¸c˜ao: Como no exemplo anterior, primeiro vamos construir o gr´afico da fun¸c˜ao g(x) = x^2 − 4. Para construir o gr´afico de uma fun¸c˜ao quadr´atica geral
f (x) = ax^2 + bx + c
o qual ´e chamado de par´abola, seguimos os seguintes passos:
- Econtramos as ra´ızes (zeros) da fun¸c˜ao, ou seja, resolvemos usando a f´ormula de B´askara a equa¸c˜ao ax^2 + bx + c = 0.
- Determinamos o v´ertice da fun¸c˜ao, o qual ´e dado por ( −
b 2 a
4 a
onde ∆ = b^2 − 4 ac.
- Quando a > 0, a par´abola tem concavidade voltada para cima, e quando a < 0 a par´abola tem concavidade voltada para baixo. Note que em qualquer um dos casos as coordenadas de do v´ertice s˜ao sempre as mesmas.
Sendo assim temos que:
- x^2 − 4 = 0 ⇒ x^2 = 4, ou seja, as ra´ızes da equa¸c˜ao s˜ao: x = 2 ou x = − 2
- o v´ertice da par´abola ´e: (0, −4)
- como 1 > 0, temos que a par´abola tem concavidade voltada para cima.
Portanto, o gr´afico de g(x) = x^2 − 4 ´e dado por:
O m´odulo presente na lei da fun¸c˜ao faz com que a parte do gr´afico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Sendo assim temos que o gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = |x^2 − 4 | ´e dado por:
Exerc´ıcios 3.5: Fa¸ca o gr´afico de todas as fun¸c˜oes modulares apresentadas no Exerc´ıcio 3.4.
