Docsity
Docsity
Prepare-se para as provas
Prepare-se para as provas

Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity

Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos para baixar

Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium

Guias e Dicas
Guias e Dicas
Venda na Docsity
Venda na Docsity
Docsity I.A.
Docsity I.A.
EntrarCadastre-se

Prepare-se para as provas

Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity

Encontrar documentos

Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity

Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade

Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade

Videoaulas

Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade

Quiz

Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.

Docsity AINEW

Resuma seus documentos, faça perguntas, converta-os em questionários e mapas conceituais

TCC e ENEM 2026

Estude com provas passadas, TCCs e dicas úteis

Explorar perguntas

Tire suas dúvidas lendo as respostas dadas por outros alunos como você.

Ganhe pontos para baixar

Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium

Compartilhe documentos
download point icon20 Pontos

Por cada documento compartilhado

Responda às perguntas
download point icon5 Pontos

por cada resposta enviada (máx. 1 por dia)

Todas as maneiras de obter pontos grátis
Ganhe pontos imediatamente

Escolha um Plano Premium com todos os pontos que precisa

Oportunidades de estudo

Escolha seu próximo programa de estudos

Entre em contato direto com as melhores Universidades do mundo. Pesquise entre milhares de Universidades e parceiros oficiais

Comunidade

Pergunte à comunidade

Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo

Guias grátis

Os eBooks que salvam estudantes!

Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity

Função modular, Notas de estudo de Matemática

Universidade de Rio Verde (FESURV)Matemática

função e inequação modular

Tipologia: Notas de estudo

2012

Compartilhado em 05/04/2012

altobele-gaia-4
altobele-gaia-4 🇧🇷

4.7

(13)

34 documentos

1 / 2

Toggle sidebar

Esta página não é visível na pré-visualização

Não perca as partes importantes!

bg1
[email protected];
Só Jesus salva!
Função modular
Função modular
O módulo (ou valor absoluto) de um número real x,
que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:
Então:
Se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x.
Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15
Se x é negativo, | x | é igual a -x.
Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20
IPC: O módulo de um número real é sempre positivo ou
nulo. O módulo de um número real nunca é negativo.
Representando geometricamente, o módulo de um
número real x é igual à distância do ponto que representa,
na reta real, o número x ao ponto Zero de origem. Assim:
Se | x | < a (com a>0) significa que a distância
entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve
estar entre –a e a, ou seja, | x | < a -a < x < a.
Se | x | > a (com a>0) significa que a distância
entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar
à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou
seja: | x | > a x > a ou x < -a.
Equações modulares
Toda a equação que contiver a incógnita em um
módulo num dos membros será chamada equação
modular.
Exemplos:
a) | x2-5x | = 1
b) | x+8 | = | x2-3 |
Algumas equações modulares resolvidas:
1) Resolver a equação | x2-5x | = 6.
Resolução: Temos que analisar dois casos:
caso 1: x2-5x = 6
caso 2: x2-5x = -6
Resolvendo o caso 1:
x2-5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-1.
Resolvendo o caso 2:
x2-5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=2.
Resposta: S={-1,2,3,6}
2) Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x |.
Resolução: Temos que analisar dois casos:
caso 1: x-6 = 3-2x
caso 2: x-6 = -(3-2x)
Resolvendo o caso 1:
x-6 = 3-2x => x+2x = 3+6 => 3x=9 => x=3
Resolvendo o caso 2:
x-6 = -(3-2x) => x-2x = -3+6 => -x=3 => x=-3
Resposta: S={-3,3}
Inequações modulares
Chamamos de inequações modulares as inequações
nos quais aparecem módulos de expressões que
contém a incógnita.
Algumas inequações modulares resolvidas:
1) Resolver a inequação | -2x+6 | < 2.
Resolução:
S = {x IR | 2<x<4}
2) Dê o conjunto solução da inequação |x2-2x+3| 4.
Resolução:
|x2-2x+3| 4 => -4 x2-2x+3 4.
Então temos duas inequações (que devem ser
satisfeitas ao mesmo tempo):
Eq.1: -4 x2-2x+3
Eq.2: x2-2x+3 4
0 se ,
0 se ,
xx
xx
x
2
4
42
82
42
262
262
622
2622 2 | 62x- |
x
x
x
x
x
x
x
x
x
pf2

Pré-visualização parcial do texto

Baixe Função modular e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!

[email protected]; Só Jesus salva!

Função modular

Função modular

O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:

Então:  Se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15  Se x é negativo, | x | é igual a -x. Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20

IPC : O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo. Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual à distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto Zero de origem. Assim:  Se | x | < a (com a >0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a , isto é, x deve estar entre – a e a , ou seja, | x | < a-a < x < a.

 Se | x | > a (com a >0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a , isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de – a na reta real, ou seja: | x | > a  x > a ou x < -a.

Equações modulares

Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular. Exemplos: a) | x^2 -5x | = 1 b) | x+8 | = | x^2 -3 |

Algumas equações modulares resolvidas:

  1. Resolver a equação | x^2 -5x | = 6.

Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x^2 -5x = 6 caso 2: x^2 -5x = -

Resolvendo o caso 1: x^2 -5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-. Resolvendo o caso 2: x^2 -5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=. Resposta: S={-1,2,3,6}

  1. Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x |. Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x-6 = 3-2x caso 2: x-6 = -(3-2x) Resolvendo o caso 1: x-6 = 3-2x => x+2x = 3+6 => 3x=9 => x= Resolvendo o caso 2: x-6 = -(3-2x) => x-2x = -3+6 => -x=3 => x=- Resposta: S={-3,3}

Inequações modulares

Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita. Algumas inequações modulares resolvidas:

  1. Resolver a inequação | -2x+6 | < 2. Resolução:

S = {x  IR | 2<x<4}

  1. Dê o conjunto solução da inequação |x^2 -2x+3|  4. Resolução: |x^2 -2x+3|  4 => -4  x^2 -2x+3  4. Então temos duas inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo): Eq.1: -4  x^2 -2x+ Eq.2: x^2 -2x+3  4

,se 0

,se 0

x x

x x

x



    

   

 

      

             

2

4 2 4

2 8

2 4

2 6 2 2 6 2 |-2x 6 | 2 2 2 6 2 2 2 6

x

x x

x

x

x x x x

[email protected]; Só Jesus salva!

Resolvendo a Eq.1: -4  x^2 -2x+3 => -4-3  x^2 -2x => -7  x^2 -2x => x^2 - 2x+7  0 => sem raízes reais Resolvendo a Eq.2: x^2 -2x+3  4 => x^2 -2x-1  0

Módulo e raiz quadrada Usando a definição de módulo, podemos escrever: o que é verdadeiro para todo x real.

Devemos proceder da mesma forma em relação a todas raízes de índice par:

Com relação às raízes de índice ímpar, podemos escrever:

Função modular Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por:

Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças.

Determinação do domínio

Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares:

Exemplo 1 : Determinar o domínio da função

Resolução:

Exemplo 2 : Determinar o domínio da função

Resolução :

Gráfico Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|:

x y=f(x) -1 1 -2 2 0 0 1 1 2 2

Gráfico da função f(x)=|x|:

"Porque aquele que pede recebe; e o que busca encontra; e, ao que bate se abre."

{ | 1 2 1 2 }

'' 1 2

AplicandoBhaskaraencontramosasraízes '^12

     



 

  

 

S x IR x

x

x

x^2 | x |

(^4) x (^4) | x |, (^6) x (^6) | x |, 2 n (^) x 2 n | x |, comxIRenIN*

(^3) x (^3) (^)  x , 5 x (^5)  x , 2 n  (^1) x 2 n  (^1)  x , comxIRenIN

  

  ,se 0

( ) ,se^0 x x

f x x x

( )^1

x

f x

Resposta: { | 3 ou 3 }

Então:| | 3 0 | | 3 3 ou 3

sóépossívelemIRse| | 3 0. | | 3

Sabemosque^1

    

      

  

D x IR x x

x x x x

x x

f ( x ) 2 | x  1 |

Resposta: { | 1 3 }

2 1 2 2 1 2 1 1 3

Então: 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 | 2 2 1 2

Sabemosque 2 | 1 |sóépossívelemIRse 2 | 1 | 0.

    

           

            

    

D x IR x

x x x

x x x x

x x