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Matemática
Matemática I
Aritmética em N .......................................................
Conjunto dos Números Racionais ...........................
Conjunto dos Números Reais ................................
Unidades de Medida .............................................
Cálculo Algébrico ...................................................
Matemática Comercial ..........................................
Função...................................................................
Função do 1º grau .................................................
Função do 2º grau .................................................
Função Modular .....................................................
Matemática II
Geometria Plana
Ângulo ...................................................................
Polígonos ..............................................................
Triângulo ................................................................
Quadriláteros.........................................................
Circunferência e Círculo ........................................
Teorema de Thales ...............................................
Semelhança de Triângulos ....................................
Relações Métricas no Triângulo Retângulo ...........
Relações Métricas num Triângulo Qualquer ..........
Relações Métricas na Circunferência ....................
Área das Figuras Planas .......................................
JOSÉ AUGUSTO DE MELO
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no Código Penal, Artigo 184, parágrafo 1 e 2, commulta e pena de reclusão de 01 a 04 anos.
Anotações
4.2- Passar um número do sistema de base b, para o sistema decimal
Regra : Basta decompor o número dado em seus valores relativos. Exemplos : a) Passe para a base 10, o número (1011) 2. Solução : (1011) 2 = 1 + 1. 2 + 0. 2^2 + 1. 2^3 = 1 + 2 + 0 + 8 = 11
b) Escreva na base 10 o número (314) 5. Solução : (314) 5 = 4 + 1. 5 + 3. 5^2 = 4 + 5 + 75 = 84
5- DIVISÃO EUCLIDEANA
Sejam a e b números naturais com b ¹ 0. Então, existe um único par de números naturais (q, r) tal que: a) a = b. q + r b) r < b Representamos a divisão por:
O número a chama-se dividendo, b é o divisor, q o quociente e r é o resto. Se r = 0, dizemos que a divisão é exata e teremos a = b. q. Nesse caso, diz-se também que a é múltiplo de b , ou a é divisível por b ou ainda b é divisor de a.
a b r q
6- NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS
Definição 1 : Um número natural n é primo, se ele tiver apenas dois divisores. Definição 2 : Um número natural n é composto, se n ¹ 0 e possuir mais de dois divisores. Observe que de acordo com essa definição, os números 0 e 1 não são primos nem compostos. Os números primos formam a sucessão 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... que o matemático Euclides, que viveu no século III A.C., provou ter infinitos elementos.
7- TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA
Todo número composto é igual a um produto de números primos. Quando escrevemos um número composto como um produto de números primos, nós dizemos que o número dado foi decomposto em seus fatores primos ou, ainda, que o número foi fatorado. Exemplo : Decompor em fatores primos os números 72, 540 e 1800. Solução : Regra : Coloque à direita do traço vertical o menor número primo que divide o número dado. Continue procedendo do mesmo modo com os quocientes obtidos, até encontrar o quociente 1. Veja : 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 Logo : 72 = 2 (^3) x 3 2
8- COMO ACHAR OS DIVISORES DE UM NÚMERO
Regra : a) Decomponha o número em seus fatores primos. b) Coloque à direita e acima do primeiro fator primo o número 1. c) Multiplique os fatores primos obtidos por todos os números à direita e acima deles (valores repetidos não precisam ser colocados). Exemplo .: Ache os divisores do número 72. Solução : 1 72 2 2 36 2 4 18 2 8 9 3 3, 6, 12, 24 3 3 9, 18, 36, 72 1
9- QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO
Regra : a) Decomponha o número dado em fatores primos. b) Acrescente uma unidade aos expoentes. c) Multiplique as somas obtidas em b. Exemplo .: Determine quantos divisores tem o número 60.
Solução : 60 2 30 2 15 3 5 5 1 Resp .: 12 divisores. 360 = 2^2. 3. 5. Logo o nº de divisores de 60 é n = (2 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 12
Quando um número termina em zeros, podemos cancelá-los e substituí-los pelo produto 2 n^ x 5 n, onde n é a quantidade de zeros cortados. Observe: 540 2. 5 54 2 27 3 9 3 Resp .: 540 = 2^2. 3^3. 5 3 3 1
1800 22. 5^2 18 2 9 3 3 3 1 Resp .: 1800 = 2^3. 3^2. 5^2
14- MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Definição Sejam a e b dois números naturais não nulos. Chama-se mínimo múltiplo comum de a e b e representa-se por m.m.c. ( a , b ), ao menor dos múltiplos , não nulos, comuns aos números a e b. Exemplo : Se M(n) representa o conjunto dos múltiplos do número natural n, então: M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...} M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 ...} M(4) M(6) = {0, 12, 24, 36,...} Portanto m.m.c. (a, b) = 12 Observe que: a) Se um dos números for divisível pelo outro, o maior deles será o m.m.c. Exemplo : 18 é divisível por 6. Logo m.m.c. (18, 6) = 18 b) Se dois números são primos entre si, o m.m.c. entre eles é igual ao seu produto. Exemplo : 4 e 9 são primos entre si; então m.m.c. (4, 9) = 36 c) m.m.c. (ap, bp) = p. m.m.c. (a, b) d) m.d.c. (a, b) x m.m.c.(a, b) = a.b Exemplo : m.d.c. (4, 6) = 2 e m.m.c. (4, 6) = 12 Observe que m.d.c. (4, 6) x m.m.c. (4, 6) = 4. e) Os múltiplos comuns a dois números a e b , são múltiplos do seu m.m.c. Exemplo : Como vimos, m.m.c. (4, 6) = 12. Logo os múltiplos comuns a 4 e 6 são os múltiplos de 12 ou 12, 24, 36, 48, ... (múltiplos positivos)
15- CÁLCULO DO M.M.C. PELA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Regra : a) Fatore os números. b) Forme o produto com os fatores comuns e não comuns aos números, tomados com o maior expoente. Exemplo : Calcule o m.m.c. (12, 15) Solução : Fatorando os números, obtemos: 12 = 2^2. 3 15 = 3. 5 Logo, aplicando a regra, achamos: m.m.c. (12, 15) = 2^2. 3. 5 = 60
16- CÁLCULO DO M.M.C. PELA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
Veja o exemplo: m.m.c. (9, 12, 15). Solução : 9, 12, 15 2 9, 6, 15 2 9, 3, 15 3 3, 1, 5 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1 Resp .: m.m.c. (9, 12, 15) = 2^2. 3^2. 5 = 180
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
1- O QUE É UMA FRAÇÃO?
Definição : Chama-se fração todo número representado pelo símbolo , onde a e b são números inteiros, com b ≠ 0. Exemplos: etc.
Geralmente, a fração representa partes de um inteiro. Na representação , o número a é chamado de numerador da fração e b é o denominador. O denominador indica em quantas partes o inteiro foi dividido, e o numerador, quantas dessas partes foram tomadas.
2- O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Seja Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} o conjunto dos números inteiros. Chama-se conjunto dos números racionais, e representa-se por Q, o conjunto definido por: Q = Observe que N Ì Z Ì Q.
3- TIPOS DE FRAÇÃO
A) Fração própria
É aquela cujo numerador é menor que o denominador Exemplos :
B) Fração imprópria
É aquela cujo numerador é maior que o denominador. Exemplos : Obs .: Se o numerador é múltiplo do denominador, dizemos que a fração é aparente. Observe que uma fração aparente é, na verdade, um número inteiro. Exemplos :
4- IGUALDADE DE FRAÇÕES
Definição : Sejam duas frações. Então: Exemplo : pois 3. 10 = 5. 6 Como conseqüência dessa definição, pode-se concluir que: Ao multiplicar ou dividir os termos de uma fração por um mesmo número (não nulo), encontra-se uma fração igual à fração dada. Com isso, pode-se simplificar uma fração, ou seja, podemos achar uma fração igual à fração dada, e cujos termos sejam primos entre si. Uma tal fração se diz na forma irredutível, e para obtê-la basta dividir os termos da fração pelo m.d.c. deles.
Exemplo :
b
a
b
a
ba/a Zeb Z*
,^1
,^2
,^10
,^4
,^3
d ec b
a
Já para passarmos um número decimal para fração decimal, nós:
- eliminamos a vírgula e escrevemos o número obtido no numerador.
- colocamos no denominador uma potência de 10, com tantos zeros quantas forem as casas decimais. Exemplos :
7- OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
A) Adição e Subtração
Coloca-se a vírgula debaixo de vírgula e opera-se como se fossem inteiros. Exemplos : 13,72 + 8,493 3,48 - 2, Solução : Solução : 13,72 3,
B) Multiplicação
Ignoram-se as vírgulas. Ao produto damos um número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores. Exemplos : 2,3 x 0, Solução : 2, 0, 0,
C) Divisão
Igualamos as casas decimais do dividendo e do divisor e efetuamos a divisão. Exemplo : 31,05 : 9 9,54 : 1, Solução : Solução : 3105 900 954 180 4050 3,45 540 5, 4500 0 0
8- SURGEM AS DÍZIMAS PERIÓDICAS
Como vimos, toda fração decimal pode ser representada na forma decimal. Frações como e não são decimais, porém são equivalentes a uma fração decimal. Logo, podem também ser representadas como número decimal. Veja:
= 0,6 = 0,
Observe que obteremos a mesma representação se fizermos a divisão do numerador pelo denominador. Assim: 30 5 0 0, De modo geral, se o denominador da fração, fatorado, só contiver os fatores 2 e 5, a fração será equivalente a uma fração decimal, podendo ser representada como número decimal. Já uma fração como , por exemplo, jamais será equivalente a uma fração decimal, pois seu denominador contém outro fator além do 2 ou 5. Logo, se quisermos representar essa fração na forma decimal, teremos que admitir que essa fração representa uma divisão. Obteremos então: 50 6 20 0,8333... 20 20 2 Surgem assim as dízimas periódicas.
Resumindo :
- Toda fração decimal ou equivalente a uma fração decimal é representada por um número decimal exato.
- Se uma fração não for equivalente a uma fração decimal, sua representação decimal será uma dízima periódica. A fração que “gerou” a dízima periódica será chamada de fração geratriz. Na dízima periódica, a parte que se repete é chamada de período. Assim, em 0,2525... o período é 25. É usual representar essa dízima na forma , onde um traço é colocado sobre o período. Se entre o período e a vírgula não existir nenhum outro algarismo, a dízima é simples. Caso exista entre o período e a vírgula algum outro algarismo, a dízima é composta. Exemplo : 0,1616... dízima simples 3,444... dízima simples 0,54242... dízima composta
9 - CÁLCULO DA FRAÇÃO GERATRIZ
A) A Dízima Periódica é Simples
A geratriz tem como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplo : Calcule a fração geratriz das dízimas: a) 0,121212... b) 1,333... Solução : a)
b)
B) A Dízima Periódica é Composta
A geratriz terá para numerador a parte não periódica, seguida do período menos a parte não periódica, e para denominador um número formado de tantos noves quantos são os algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica. Exemplo : Ache a fração geratriz das dízimas a) 0,5333... b) 0,42666... Solução : Solução :
a) b)
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
1 - A NECESSIDADE DE NOVOS NÚMEROS
À medida que um conjunto numérico mostrava alguma deficiência, novos conjuntos numéricos iam surgindo. A resolução de equações semelhante a x^2 = 2 levou ao aparecimento dos números reais, pois pode-se provar que não existe nenhum número racional cujo quadrado seja 2. A solução de x 2 = 2, que representa-se por ou - , não é então um número racional, ou seja, não pode ser colocada na forma a/b, com a e b inteiros e b ≠ 0. Um tal número será chamado daqui para frente de número irracional. Os irracionais podem também ser representados na forma decimal. Nesse caso o número terá infinitas casas decimais e não apresentará parte periódica. A união dos números racionais e irracionais forma o conjunto dos números reais, simbolizado por R.
2) VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
Seja x um número real. Chama-se valor absoluto ou módulo de x ao número representado por |x| e definido por:
Exemplos : a) |5| = 5 b |-3| = -(3) = 3 c) |0| = 0 Se a e b são números reais, temos: a) |-a| = |a| b) |ab| = |a|. |b| c) |a/b| = |a|/|b| para b ≠ 0 d) |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdade triangular)
3) DESIGUALDADES EM R
a) Se a > b e c > 0 então a.c > b.c b) Se a > b e c < 0 então a.c < b.c c) Se a > b e c ∈ R então a + c > b + c
Propriedades do anulamento
Se a.b = 0 então a = 0 ou b = 0
4) POTENCIAÇÃO EM R
Seja a um número real não nulo e n um número natural. Então: a^0 = 1 a^1 = a
Propriedades
a) d)
b) e)
c) f)
Atenção: a) (-3) 2 = (-3).(-3) = 9 -3^2 = -1.3^2 = -1.9 = 9
b)
5) RAÍZES
Definição : Seja a um número real e n um inteiro positivo. Chama-se raiz n-ésima de a , se existir, ao número real b , para o qual temos bn^ = a. Em símbolos
Exemplos : a)
b)
c) não existe em
Observe que:
- Se a < 0 e n é par, não existe a raiz em.
- Se a > 0 e n é par o símbolo representará a raiz positiva e - , a raiz negativa.
Assim: = 3 e - = -3.
UNIDADES DE MEDIDA
1- O QUE É MEDIR?
Medir uma grandeza é compará-la com outra da mesma espécie, chamada unidade. Desta comparação, resulta um número que é a medida da grandeza considerada nessa unidade. Exemplo: Suponhamos que um palito de fósforo “coube” exatamente 5 vezes numa caneta. Isso significa que o comprimento da caneta na unidade palito de fósforo é 5. No que se segue, veremos as unidades usadas para medir as principais grandezas do nosso dia-a-dia.
2- MEDIDAS DE COMPRIMENTO
Múltiplos Unidade Sub-múltiplos Km hm dam m dm cm mm Para passar de uma unidade para outra, usamos o quadro acima, fazendo a vírgula deslocar-se para a direita ou para a esquerda. Por exemplo: para passar de hm para dm, o quadro nos mostra que devemos deslocar a vírgula 3 casas para a direita. Para passar de cm para m, deslocamos a vírgula 2 casas para a esquerda. Exemplos : 2,35 m = 23,5 dm 0,045 Km = 45 m 147 cm = 0,147 dam 13,4 Km = 13400 m
3- MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
Unidade: é o metro quadrado (m 2 ) Múltiplos Submúltiplos quilômetro quadrado: Km 2 decímetro quadrado: dm 2 hectômetro quadrado: hm 2 centímetro quadrado: cm 2 decâmetro quadrado: dam^2 milímetro quadrado: mm^2 Km^2 hm^2 dam^2 m^2 dm 2 cm^2 mm^2
- Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior, desloca-se a vírgula duas casas para a direita.
- Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, desloca-se a vírgula duas casas para a esquerda. Exemplos : 3, 42 Km^2 = 342 hm^2 2,1 m 2 = 21000 cm 2 7810 mm^2 = 78,1 cm 2 5000 m 2 = 0,5 hm 2. Medidas Agrárias (medidas de terras) Nome hectare are centiare Símbolo ha a ca Valor 10000m 2 100 m^2 1 m^2
4- MEDIDAS DE VOLUME
Unidade: metro cúbico: m^3. Múltiplos Submúltiplos quilômetro cúbico: Km 3 decímetro cúbico: dm 3 hectômetro cúbico: hm 3 centímetro cúbico: cm^3 decâmetro cúbico: dam^3 milímetro cúbico: mm 3
As transformações são feitas deslocando-se a vírgula de 3 em 3 casas decimais. Exemplos : 1 dm^3 = 1000 cm^3 2,45 m 3 = 2450 dm 3 2000 m^3 = 2 dam 3 1470 cm 3 = 1,47 dm 3 Medida de Capacidade : Unidade: é o litro: L. Temos que 1 L = 1 dm 3. Múltiplos Submúltiplos Kilolitro (KL) decilitro (dL) hectolitro (hL) centilitro (cL) decalitro (daL) mililitro (mL) Cada unidade de capacidade é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplo : 1 hL = 10 daL 2 L = 2000 mL 600 mL = 0, 6 L
5- MEDIDAS DE MASSA
Unidade: é o quilograma ( Kg ) O quilograma tem como múltiplo a tonelada, que vale 1000 Kg. Os submúltiplos do quilograma usam como base o grama (g) que equivale a um milésimo do quilograma. 1 g = 0,001 Kg ou 1 Kg = 1000 g Os submúltiplos do Kg são: hectograma: 1 hg = 100 g decagrama: 1 dag = 10 g decigrama: 1 dg = 0,1 g centigrama: 1 cg = 0,01 g miligrama: 1 mg = 0,001 g Veja que as transformações entre as unidades vão se reduzir a multiplicações e divisões por potências de 10. Observações: a) Peso bruto: representa o peso da mercadoria mais o recipiente que a contém. Peso líquido: é o peso apenas da mercadoria. Tara: representa o peso do recipiente. b) Unidade de medida de massa de metais preciosos. É o quilate. Vale 2 decigramas. 1 quilate = 2 dg.
Km^3 hm 3 dam^3 m^3 dm^3 cm^3 mm^3
2 - PRODUTOS NOTÁVEIS
Alguns produtos aparecem com muita freqüência e são muito úteis, por isso são chamados de produtos notáveis. Veremos os principais.
Exemplos : Efetue, pelos produtos notáveis: a) (3x + 5)^2 = (3x)^2 + 2. 3x. 5 + 5^2 = 9x^2 + 30x + 25 b) (a^3 - 4) 2 = (a^3 )^2 - 2. a 3. 4 + 4^2 = a 6 - 8a 3 + 16 c) (3x + 2)(3x - 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4 d) (x + 5)(x - 3) = x^2 + (5 - 3)x + 5. (-3) = x^2 + 2x - 15 (2a - 2)(2a - 3) = (2a)^2 + (-2 -3). 2a + (-2) (-3) = 4a 2 - 10a + 6 e) (x + 2)^3 = x^3 + 3x^2. 2 + 3. x. 2^2 + 2^3 = x 3 + 6x^2 + 12x + 8 f) (2a - 1)^3 = (2a)^3 - 3. (2a)^2. 1 + 3. 2a. 1 2 - 1 3. = 8a 3 - 12a 2 + 6a - 1 g) (3x + y + 5)^2 = (3x)^2 + y 2 + 5^2 + 2. 3x. y + 2. 3x. 5 + 2. y. 5 = 9x^2 + y^2 + 25 + 6xy + 30x + 10y (a - 2b - 1)^2 = a^2 + (-2b)^2 + (-1)^2 + 2. a. (-2b) + 2. a. (-1) + 2. (-2b). (-1) = a^2 + 4b^2 + 1 - 4ab - 2a + 4b
3 - FATORAÇÃO
Fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la na forma de um produto. Para isso é útil você se lembrar da propriedade distributiva e dos produtos notáveis vistos anteriormente, pois vários casos de fatoração são conseqüência desses produtos. A dificuldade mais comum, quando se estuda fatoração, está na identificação do caso a ser aplicado à expressão dada. No entanto, com atenção às características de cada caso e muito treinamento, isso não será problema. Vamos aos casos mais comuns.
3.1 - Fator Comum
Característica : um ou mais fatores aparecem em todos os termos. Como fatorar : coloque esses fatores comuns em evidência, usando a propriedade distributiva. Exemplos : Fatore a) ax + bx = x. (a + b) b) 20x^3 y - 8x^2 + 12xy 2 = 4x. (5x^2 y - 2x + 3y) c) (x + 1) b - (x + 1) c = (x + 1) (b - c)
3.2 - Agrupamento
Característica : é usado em expressões com no mínimo 4 termos. Como fatorar : aplique o caso anterior sucessivas vezes. Exemplos : Fatore
a) (x + y)^2 = x 2 + 2xy + y^2 b) (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 c) (x +y)(x - y) = x^2 - y^2 d) (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab e) (x + y)^3 = x 3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3
f) (x - y)^3 = x^3 - 3x 2 y + 3xy^2 - y^3 g) (x + y + z)^2 = x 2 + y^2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz h) (x + y)(x^2 - xy + y^2 ) = x^3 + y 3 i) (x - y)(x^2 + xy + y^2 ) = x^3 - y^3
a) x^2 + xy + 2x + 2y = (x^2 + xy) + (2x + 2y) = x. (x + y) + 2 (x + y) = (x + y) (x + 2)
b) a^2 + a - ab - b = (a 2 + a) + (-ab - b) = a(a + 1) - b(a + 1) = (a + 1) (a - b)
3.3 - Diferença de Quadrados
Característica : a expressão dada pode ser reduzida à forma x 2 - y2. Como fatorar : use o inverso do produto notável. (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 , e então teremos: x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) Exemplos : Fatore a) 16 - x^2 = (4 + x)(4 - x) b) (x + 1)^2 - y^2 = (x + 1 + y)(x + 1 - y)
4 x x + 1 y
3.4 - Trinômio Quadrado Perfeito
Característica : a expressão dada é um trinômio redutível à forma x 2 ± 2xy + y 2 Como fatorar : lembre-se de que x 2 ± 2xy + y^2 = (x ± y)^2 Importante: para verificar se o trinômio dado é quadrado perfeito, ordene-o. Depois tire a raiz quadrada do 1 º e do 3º termo e multiplique esses resultados. Se o dobro desse produto coincidir com o segundo termo, o trinômio é quadrado perfeito. Caso contrário, o trinômio não pode ser fatorado usando esse caso, e sim um outro método que aprenderemos ao estudar as equações do 2º grau. Exemplos : Fatore a) 4x^2 + 12xy + 9y 2 = (2x + 3y)^2 b) x 2 - 6x + 9 = (x - 3) 2 = = 2x → 2. 2x.3y ← 3y x - 2. x. 3 3
3.5 - Trinômio do 2 º grau
Característica : usa-se quando o trinômio dado não for quadrado perfeito Como fatorar : emprega-se a fórmula ax^2 + bx + c = a(x - x’)(x - x”), onde x’ e x” são as raízes do trinômio dado. Exemplo : Fatore: 2x 2 + 5x - 3 Solução : Cálculo das raízes A = 25 + 24 = 49 x = ; x’ = e x” = -
3.6 - Soma de Cubos
Característica : a expressão é redutível à forma a^3 + b^3. Como fatorar : use a fórmula: a^3 + b^3 = (a + b)(a 2 - ab + b^2 )
3.7 - Diferença de Cubos
Característica : a expressão é redutível à forma a 3 - b^3. Como fatorar : Use a fórmula a^3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 )
Resp .: 2x 2 + 5x - 3 = 2(x - )(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)
Exemplos : Fatore a) x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) b) 27a^3 + 1 = (3a)^3 + 1^3 = (3a + 1)(9a^2 - 3a + 1)
Exemplos : Fatore a) x 3 - 1 = x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x + 1) b) a 6 - 8 = (a^2 )^3 - 2^3 = (a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)
