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Momento Angular na Mecˆanica Quˆantica
O desenvolvimento da Mecˆanica Quˆantica est´a intimamente associado ao estudo do ´atomo
de hidrogˆenio, mais precisamente, ao estudo dos espectros de emiss˜ao e absor¸c˜ao oriundos
deste ´atomo. A primeira formula¸c˜ao te´orica que teve sucess˜ao na explica¸c˜ao destes espectros,
pelo menos num primeiro momento, foi proposta pelo f´ısico Niels Bohr em 1913. O ponto de
partida de Bohr foi o modelo atˆomico proposto por Rutherford, que descreve o ´atomo como
um sistema solar em miniatura, com um n´ucleo no centro, positivamente carregado, contendo
quase toda a massa atˆomica, e tendo el´etrons leves e negativamente carregados girando em
torno desse n´ucleo, em ´orbitas circulares. No caso de ´atomos hidrogenoides, o movimento do
el´etron em torno do n´ucleo corresponde na mecˆanica cl´assica ao problema de uma part´ıcula
em um potencial central, onde o potencial neste caso ´e o potencial eletrost´atico:
U (r) =
kZe
2
r
onde Z denota o n´umero de pr´otons e k = 1/ 4 π 0
. Como o for¸ca ´e central, ou seja,
F = f (r)ˆr,
o momento angular
L = ~r × ~p ´e conservado, como ´e demonstrado abaixo:
d
L
dt
d~r
dt
× ~p + ~r ×
d~p
dt
= m~v × ~v + f (r)~r × rˆ = 0. (2)
Como o momento angular ´e conservado o movimento do el´etron ´e restrito a um plano, ou
seja, se consideramos o plano x − y ent˜ao a lagrangiana do sistema ´e:
L = T − U =
m
x˙
2
2
− U (r), (3)
e em termos de coordenadas polares x = r cos(θ) e y = r sin(θ):
L =
m
r ˙
2
2 ˙ θ
2
− U (r), (4)
sendo os momentos conjugados determinados pelas seguintes express˜oes:
p r
dL
d r˙
= m r˙ e p θ
dL
d
θ
= mr
2 ˙ θ, (5)
e como L n˜ao depende de θ tem-se que o momento
dL
d
˙ θ
´e conservado. Ele corresponde a
magnitude do momento angular
L:
L = pθ = mr
2 ˙ θ. (6)
A hamiltoniana ´e escrita da seguinte maneira:
H =
p
2
r
2 m
p
2
θ
2 mr
2
p
2
r
2 m
L
2
2 mr
2
Um dos primeiros obst´aculos encontrado por Bohr na formula¸c˜ao do seu modelo diz
respeito a estabilidade atˆomica. Segundo a eletrodinˆamica cl´assica, uma carga acelerada
emite radia¸c˜ao logo, um el´etron em movimento circular em torno do n´ucleo tenderia a
colidir com o n´ucleo ap´os um certo intervalo de tempo. De posse desse fato, como ´e poss´ıvel
explicar a estabilidade atˆomica? A solu¸c˜ao dada por Bohr n˜ao ´e nada satisfat´oria, ele
simplesmente postula que o el´etron s´o pode ocupar determinadas ´orbitas. Embora esta n˜ao
seja realmente uma resposta, partindo desta e de outras hip´oteses, ele conseguiu explicar os
espectros de emiss˜ao e absor¸c˜ao do hidrogˆenio, obtidos experimentalmente. O modelo de
Bohr assume os seguintes postulados:
Postulado 1: O movimento do el´etron ao redor do n´ucleo atˆomico ´e descrito pelas leis
de Newton.
Postulado 2: O el´etron pode ocupar apenas certas ´orbitas especiais ao redor do n´ucleo.
Estas ´orbitas especiais s˜ao determinadas impondo, como condi¸c˜ao, que o momento angular
do el´etron ao redor do n´ucleo s´o pode ter valores que s˜ao m´ultiplos inteiros da constante de
Planck dividida por 2π:
L = nℏ , n = 1, 2 , 3 ,... (8)
Postulado 3: Essas ´orbitas especiais s˜ao ´orbitas estacion´arias. Isto significa que, quando
o el´etron ocupa uma delas, ele n˜ao emite radia¸c˜ao eletromagn´etica. Os estados atˆomicos
correspondentes s˜ao estados estacion´arios.
Postulado 4: O ´atomo pode passar de um estado estacion´ario para outro por emiss˜ao
ou absor¸c˜ao de radia¸c˜ao eletromagn´etica com frequˆencia dada por:
ν =
|∆E|
h
onde ∆E = Ef − Ei ´e a diferen¸ca de energia entre os estados estacion´arios final f e inicial i.
A quantiza¸c˜ao do momento angular apresentada no postulado 2 pode ser justificada da
seguinte forma: segundo as rela¸c˜oes de de Broglie, E = hν e p = h/λ, podemos associar
uma onda ao el´etron em movimento numa dada ´orbita estacion´aria. Se associarmos uma
´orbita estacion´aria ao el´etron, o comprimento da ´orbita deve ser igual a um n´umero inteiro
de comprimentos de onda. Em outras palavas,
2 πr n
= nλ = n
h
mv
⇒ mvr n
= nℏ, (17)
ou seja,
L
n
= nℏ. (18)
Dessa forma, o postulado 2 parece estar associado de alguma forma ao comportamento
ondulat´orio do el´etron.
Outro ponto importante refere-se ao Princ´ıpio de Correspondˆencia. Este princ´ıpio imp˜oe
que as suas previs˜oes para o comportamento de qualquer sistema f´ısico devem corresponder
`as previs˜oes da Teoria Cl´assica no limite em que os n´umeros quˆanticos que especificam o
estado do sistema se tornam muito grandes. O princ´ıpio foi introduzido em 1923, por Bohr,
para poder inferir algumas propriedades dos sistemas atˆomicos, especialmente as intensida-
des das linhas espectrais, a partir das propriedades dos sistemas macrosc´opicos cl´assicos.
Quando aplicado ao modelo de Bohr tem-se o seguinte resultado: como En = −|E 1 |/n
2
tem-se que:
∆E
n
E
n
E
n+
− E
n
E
n
2 n − 1
(n + 1)
2
logo,
lim
n→∞
∆E
n
E
n
Esse resultado mostra que a diferen¸ca de energia entre dois n´ıveis de energia adjacentes
´e desprez´ıvel quando comparada `a energia de qualquer desses n´ıveis, no limite em que o
n´umero quˆantico n ´e muito grande. Em outras palavras, para n muito grande, os valores
permitidos para a energia do ´atomo, segundo o modelo de Bohr, est˜ao distribu´ıdos de modo
praticamente cont´ınuo, como esperado classicamente.
Por outro lado, de acordo com o modelo de Bohr, os raios das ´orbitas poss´ıveis para o
el´etron ao redor do n´ucleo de ´atomos com um el´etron s˜ao dados por:
r n
∝ n
2
, (21)
logo,
∆r n
r n
r n+
− r n
r n
(n + 1)
2 − n
2
n
2
2 n + 1
n
2
ou seja,
lim
n→∞
∆rn
r n
Portanto, a diferen¸ca de comprimento entre os raios de duas ´orbitas adjacentes ´e des-
prez´ıvel quando comparada ao raio de qualquer uma dessas ´orbitas, no limite em que o
n´umero quˆantico n ´e muito grande. Em outras palavras, para n muito grande, os valores
permitidos para os raios das ´orbitas atˆomicas, segundo o modelo de Bohr, est˜ao distribu´ıdos
de modo praticamente cont´ınuo, como esperado classicamente.
I. MOMENTO ANGULAR
O procedimento adotado por Bohr na dedu¸c˜ao do espectro do ´atomo de hidrogˆenio fez uso
da quantiza¸c˜ao do momento angular. O nosso pr´oximo passo consiste em obter a descri¸c˜ao
quˆantica do momento angular em termos do formalismo de Dirac. Na Mecˆanica Cl´assica o
momento angular ´e dado pela express˜ao:
L = ~r × ~p, (24)
onde ~r ´e vetor posi¸c˜ao de uma part´ıcula com rela¸c˜ao a algum eixo e ~p o momento linear da
part´ıcula. O momento angular ´e um observ´avel logo, segundo o formalismo da Mecˆanica
Quˆantico, possui um operador hermitiano associado a ele, denotado por
L. Este operador ´e
definido como:
L ≡ rˆ × p,ˆ (25)
onde ˆr = (ˆx, y,ˆ zˆ) e ˆp = (ˆp x
, pˆ y
, pˆ z
). Segundo as defini¸c˜oes usuais de ˆr e ˆp, tem-se que:
[ˆri, pˆj ] = iℏδij , [ˆri, rˆj ] = [ˆpi, pˆj ] = 0, (26)
onde i, j = x, y, z. Essas rela¸c˜oes mostram, por exemplo, que uma medida da posi¸c˜ao
da part´ıcula em uma dire¸c˜ao n˜ao interfere na medida do momento linear em uma dire¸c˜ao
ou seja,
[
Ji,
Jj ] = iijkℏ
Jk. (33)
Note que as componentes do momento angular n˜ao comutam entre si, ou seja,
J
x
J
y
J
z
s˜ao observ´aveis incompat´ıveis. Portanto, de acordo com o princ´ıpio da incerteza:
∆J
x
∆J
y
〈[
J
x
J
y
]〉∣
∣ =^
J
z
∣.^ (34)
Isso mostra que n˜ao existe um conjunto completo de autoestados comum aos operadores
J
x
J
y
J
z
. Portanto, embora classicamente seja permitido conhecer o momento angular
L,
isso n˜ao acontece na teoria quˆantica. Da mesmo forma que uma part´ıcula n˜ao pode ter
simultaneamente um valor bem definido de posi¸c˜ao e momento linear, uma part´ıcula n˜ao
pode ter uma vetor de momento angular bem definido. Por exemplo, se
Jz tem um valor
bem definido, ent˜ao
Jx e
Jy n˜ao o tˆem.
No entanto, existe um operador hermitiano compat´ıvel com cada uma das componentes
do momento angular:
J
2
≡
J
2
x
J
3
y
J
2
z
Para ver isso note que:
[
J
2
,
J
z
]
[
J
2
x
J
2
y
J
2
z
J
2
z
]
[
J
2
x
J
z
]
[
J
2
y
J
z
]
J
x
[
J
x
J
z
]
[
J
x
J
z
]
J
x
J
y
[
J
y
J
z
]
[
J
y
J
z
]
J
y
= −iℏ
J
x
J
y
− iℏ
J
y
J
x
J
y
J
x
J
x
J
y
Aplicando o mesmo procedimento mostra-se que:
[
J
2
,
J
x
]
= 0 e
[
J
2
,
J
y
]
Estes resultados mostram que:
[
J
2
,
J
]
Dessa forma, podemos encontrar um conjunto completo de autoestados comum a
J
2 e
uma dada componente de
J. No que segue a componente escolhida ´e aquela na dire¸c˜ao z,
ou seja,
J
z
. O eixo z ´e chamado eixo de quantiza¸c˜ao. Vale ressaltar que n˜ao h´a nada de
especial com esse eixo, o procedimento que ser´a empregado para determinar os autoestados
de
J
z
seria mesmo se tiv´essemos escolhido
J
x
ou
J
y
Assim como no caso do oscilador harmˆonico, ´e interessante construir dois operadores n˜ao-
hermitianos, tamb´em denominados operadores escada, denotados por
J
e
J
−
e definidos
como:
J
±
J
x
± i
J
y
com
J
J
†
−
, pois
J
x
e
J
y
s˜ao hermitianos. Podemos escrever
J
2 da seguinte forma:
J
2
=
J
2
z
J
J
−
J
−
J
Fica como exerc´ıcio mostrar que:
[
J
2
,
J
±
]
[
J
z
J
±
]
J
±
[
J
J
−
]
J
z
Como
J
2 e
J
z
s˜ao observ´aveis compat´ıveis ´e poss´ıvel determinar um conjunto completo
de autoestados |v〉 comum a ambos observ´aveis, ou seja:
J
z
|v〉 = μ |v〉 ,
J
2
|v〉 = λ |v〉.
No que segue adota-se a nota¸c˜ao |v〉 = |λ, μ〉 de forma tal que:
Jz |λ, μ〉 = μ |λ, μ〉 ,
J
2
|λ, μ〉 = λ |λ, μ〉.
Para determinar as caracter´ısticas do espectro mostra-se inicialmente que se |λ, μ〉 ´e um
autoestado de
J
2 e
J
z
ent˜ao
J
±
|λ, μ〉 tamb´em ´e um autoestado. Primeiro, note que
J
2
J
±
|λ, μ〉
J
±
J
2
|λ, μ〉
J
±
(λ |λ, μ〉) = λ
J
±
|λ, μ〉
mostrando que
J
±
|λ, μ〉 tamb´em ´e um autoestado de
J
2 com o mesmo autovalor λ. Analo-
gamente,
J
z
J
±
|λ, μ〉
J
z
J
±
J
±
J
z
|λ, μ〉 +
J
±
J
z
|λ, μ〉 ,
J
±
|λ, μ〉 + μ
J
±
|λ, μ〉 ,
= (μ ± ℏ)
J
±
|λ, μ〉 ,
Seja jℏ o autovalor de
J
z
deste estado m´aximo, ent˜ao:
Jz |vM 〉 = jℏ |vM 〉 e
J
2
|vM 〉 = λ |vM 〉.
Agora (verifique!),
J
2
=
J
±
J
∓
J
2
z
J
z
portanto,
J
2
|vM 〉 = λ |vM 〉 ,
J−
J+ +
J
2
z
Jz ) |vM 〉 ,
= (0 + j
2 ℏ
2
2 ) |v M
logo,
λ = ℏ
2
j(j + 1). (36)
Da mesmo maneira, existe um estado “m´ınimo” |v m
〉 tal que:
J
−
|v m
cujo autovalor de
J
z
´e denotado por ˜jℏ. Neste caso,
J
2
|v m
〉 = λ |v m
J
J
−
J
2
z
J
z
) |v m
= (0 + ˜j
2
ℏ
2
−
jℏ
2
) |v M
logo,
λ = ℏ
2 ˜ j(˜j − 1). (37)
Comparando as equa¸c˜oes (36) e (37) obt´em-se j(j + 1) = ˜j(˜j − 1) cujas solu¸c˜oes s˜ao:
j = j + 1 ou ˜j = −j. A solu¸c˜ao ˜j = j + 1 deve ser descartada pois se ela fosse adotada o
autovalor associado ao estado “m´ınimo” seria maior que o autovalor associado ao autoestado
“m´aximo”, um absurdo! Logo, ˜j = −j. Portanto o espectro de
J
z
´e limitado, ou seja,
−jℏ ≤ μ ≤ jℏ. Denotando μ = mℏ tem-se que −j ≤ m ≤ j. Como a a¸c˜ao do operador
J
resulta na adi¸c˜ao de uma unidade de ℏ s˜ao necess´arias N (n´umero natural) aplica¸c˜oes
do operador para sair de −jℏ e chegar jℏ, ou seja, j = −j + N , logo j = N/2. Em outras
palavras, l deve ser um n´umero inteiro ou semi-inteiro. Com isso,
J
z
|j, m〉 = mℏ |j, m〉 e
J
2
|j, m〉 = j(j + 1)ℏ
2
|j, m〉 , (38)
em que
j = 0,
,... e m = −j, −j + 1,... , j − 1 , j ⇐⇒ |m| ≤ j. (39)
Para cada valor de j, h´a 2j + 1 valores poss´ıveis de m.
II. MOMENTO ANGULAR ORBITAL: REPRESENTAC¸ ˜AO DE POSIC¸ ˜AO
O objetivo desta se¸c˜ao ´e apresentar a descri¸c˜ao do momento angular orbital na repre-
senta¸c˜ao de posi¸c˜ao. Esta descri¸c˜ao implica a introdu¸c˜ao de trˆes dimens˜oes espaciais. No
ˆambito da Mecˆanica Cl´assica um ponto no espa¸co ´e representado pelas coordenadas x, y, e
z. Estas coordenadas satisfazem as rela¸c˜oes {i, j} = 0 com i, j = x, y, z. Aplicando a quan-
tiza¸c˜ao canˆonica obtemos trˆes observ´aveis
X,
Y , e
Z. Como estes observ´aveis comutam
entre si, eles possuem uma base comum de autovetores, denotada por |r〉 = |x, y, z〉, tal que:
X|r〉 = x|r〉,
Y |r〉 = y|r〉,
Z|r〉 = z|r〉,
Os operadores associados ao momento angular orbital s˜ao:
L
x
L
y
L
z
, e
L
2
. Para
ilustrar o procedimento utilizada na dedu¸c˜ao da representa¸c˜ao espacial destes operadores
vamos determinar a representa¸c˜ao de
L
z
. Como visto anteriormente:
L
z
= ˆxpˆ y
− yˆ pˆ x
Usando,
〈r|
P|ψ〉 =
i
∇ 〈r|ψ〉 , (41)
tem-se que
〈r|
L
z
|ψ〉 =
i
x
∂y
− y
∂x
ψ(r) (42)
onde ψ l,m
(r) ≡ 〈r|l, m〉. Como as equa¸c˜oes acima n˜ao envolvem a vari´avel r, podemos
reescrever a fun¸c˜ao de onda como:
ψ l,m
(r) = f (r)Y
m
l
(θ, φ), (49)
com
π
0
dθ sin(θ)
2 π
0
dφ|Y
m
l
(θ, phi)|
2
= 1,
∞
0
r
2
dr|f (r)|
2
= 1,
As fun¸c˜oes Y
m
l
(θ, φ) s˜ao denominados harmˆonicos esf´ericos. Notem que os ˆangulos θ e φ
definem uma dire¸c˜ao no espa¸co. Por conta disso, ´e comum usarmos a nota¸c˜ao |l, m〉 = |nˆ〉
onde ˆn denota uma dire¸c˜ao espec´ıfica no espa¸co. A fun¸c˜ao |Y
m
l
(θ, φ)|
2
´e interpretada como
a probabilidade de encontrar o sistema na dire¸c˜ao nˆ.
A equa¸c˜ao associada a coordenada φ traz uma informa¸c˜ao de grande importˆancia. Na
diagonaliza¸c˜ao do momento angular na sua forma mais geral, os autovalores associados a
componente z do do momento angular podiam assumir valores semi-inteiros. Isso n˜ao ir´a
acontecer no caso do momento angular na representa¸c˜ao de posi¸c˜ao. Para ver isso, note que
a equa¸c˜ao (48) implica na seguinte separa¸c˜ao de vari´aveis:
Y
m
l
(θ, φ) = Θ
m
l
(θ)Φ m
(φ). (50)
Logo,
−i
∂φ
m
(φ) = mΦ m
(φ) ⇒ Φ m
(φ) = e
imφ
. (51)
Como a fun¸c˜ao de onda deve ser cont´ınua, ent˜ao Φ(φ + 2π) = Φ(φ). Portanto,
e
2 imπ
= 1 ⇒ 2 πm = 2kπ, (52)
onde k ´e inteiro, ou seja, como m = k ent˜ao m tamb´em ´e um n´umero inteiro. Isso mostra
que a restri¸c˜ao nos autovalores ´e uma condi¸c˜ao que surge devido o car´ater espacial da fun¸c˜ao
de onda.
A dedu¸c˜ao dos harmˆonicos esf´ericos pode ser feita a partir da resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes
diferenciais (47) e (48). A parte associada a coordenada φ j´a foi resolvida, basta resolver
a parte associada a coordenada θ. No entanto, esse caminho n˜ao ser´a adotado aqui. Os
harmˆonicos esf´ericos podem ser obtidos atrav´es de um procedimento recursivo an´alogo ao
aplicado na da dedu¸c˜ao das autofun¸c˜oes do oscilador harmˆonico. O ponto de partida ´e obter
o harmˆonico esf´erico Y
l
l
(θ, φ). Para tanto, considere a rela¸c˜ao:
L
−
|l, l〉 = 0. (53)
Na representa¸c˜ao de posi¸c˜ao:
−iℏe
iφ
i
∂θ
− cot(θ)
∂φ
Y
l
l
(θ, φ) = 0. (54)
Como
Y
m
l
(θ, φ) = Θ
m
l
(θ)e
imφ
, (55)
ent˜ao, (
∂θ
− l cot(θ)
l
l
(θ) = 0, (56)
cuja solu¸c˜ao ´e:
l
l
(θ) = c l
sin
l
(θ). (57)
Logo,
Y
l
l
(θ, φ) = c l
sin
l
(θ)e
ilφ
. (58)
A constante de normaliza¸c˜ao c l
´e determinada da seguinte maneira:
π
0
dθ sin(θ)
2 π
0
dφ|Y
l
l
(θ, phi)|
2
= 2π|cl|
2
1
− 1
d(cos θ) sin
2 l
θ = 1, (59)
usando x = cos θ:
1 = 2π|c l
2
1
− 1
dx(1 − x
2 )
l = 2π|c l
2
1
− 1
dx(1 − x)
l (1 + x)
l , (60)
fazendo x = 2t − 1
1 = 4π|c l
2
1
0
dt(2t(2 − 2 t))
l
= 4π|c l
2
2
2 l
1
0
dtt
l
(1 − t)
l
, (61)
a ultima integral corresponde a fun¸c˜ao beta B(l + 1, l + 1), mas
B(p, q) =
1
0
dtt
p− 1
(1 − t)
q− 1
=
Γ(q)Γ(p)
Γ(p + q)
Logo,
1 = 4π|c l
2
2
2 l
Γ(l + 1)Γ(l + 1)
Γ(2l + 2)
= 4π|c l
2
2
2 l
l!l!
(2l + 1)!
