Não Linearidade: Geométrica, Material e Contato, Manuais, Projetos, Pesquisas de Métodos Matemáticos

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• Introdução
• Modelos lineares e não lineares
  • Modelos lineares..................................................................................................................................................
  • Modelos não lineares.........................................................................................................................................
  • Zeros de funções de uma variável - Método de Newton-Raphson
  • Método de Newton-Raphson para funções de mais de uma variável
• Não linearidade geométrica
  • Grandes deformações......................................................................................................................................
  • Grandes deflexões (rotações)
  • Rigidez geométrica ( stress stiffening )......................................................................................................
  • Rigidez geométrica de uma barra de treliça
• Não linearidade física
• Não linearidade em problemas de contato
  • Cinemática do contato
  • Contato em montagens de peças (assembly contact)
  • Contatos não lineares
  • Formulações de contato
    • Método das Penalidades
    • Método de Lagrange
    • Método Lagrangiano aumentado
    • Direção tangencial
    • Métodos que utilizam MPC para contatos lineares
  • Tratamentos de interface
• Estabilidade estrutural
  • Flambagem de Euler
  • Análise de flambagem linear........................................................................................................................
  • Análise de flambagem não linear...............................................................................................................
  • Método Arc-length
• Referências Bibliográficas..................................................................................................................................

Figura 1 - Estrutura que experimenta grandes deflexões - não linearidade geométrica

A relação entre a força aplicada na ponta da vara de pesca e sua deflexão, quando há grandes deflexões, é não-linear, conforme ilustra a Figura 2. Note que a relação entre a força e o deslocamento (rigidez) varia conforme a magnitude do deslocamento ocorrido. Para pequenos deslocamentos (deflexões) pode-se considerar com boa precisão que a rigidez é constante. No entanto, essa hipótese se torna ruim ao considerarmos uma faixa mais ampla da curva da Figura 2.

Figura 2 - Relação entre a força aplicada na ponta da vara de pesca, e a deflexão nesse mesmo ponto

A não linearidade física é aquela inerente às grandes deformações que podem ocorrer durante a ação de forças em uma estrutura. Quando o material experimenta grandes deformações, a relação entre a tensão e a deformação (equação constitutiva) pode se tornar não linear. Um exemplo típico é atribuído a metais que possuem deformações relacionadas a tensões que ocorram acima do limite de proporcionalidade. Esse tipo de fenômeno pode inclusive apresentar deformações permanentes. Portanto, é possível abordar através da não linearidade física, fenômenos de plasticidade ou de elasticidade não linear. A Figura 3 mostra um exemplo de conformação mecânica, situação típica que apresenta grandes deformações, inclusive com deformações permanentes (plasticidade).

Figura 3 - Conformação mecânica - um exemplo de não linearidade do material

Um exemplo de curva tensão versus deformação para um metal está exibido na Figura 4. Note que há a existência de dois pontos bastante importantes nessa curva: o limite de proporcionalidade, que é o ponto a partir do qual a relação entre a tensão e a deformação se torna não linear e, o limite de escoamento, que é o ponto a partir do qual ocorrerá deformação permanente (plasticidade). Esses conceitos não devem ser confundidos, apesar de que para muitos metais, praticamente coincidem.

Figura 4 - Curva tensão versus deformação para um metal

Um outro importante tipo de não linearidade presente em modelos físicos é o contato entre peças. Essa é importantíssima, pois está presente em muitos tipos de modelos, uma vez que praticamente todos os mecanismos utilizados em engenharia são feitos através de uma montagem de peças, sendo que essas interagem entre si, podendo haver interações não lineares entre elas. Um exemplo muito simples para compreender tal fenômeno é o seguinte:

Seja uma estrutura formada por uma mola fixa a um orifício no solo (considerado como rígido) e um anteparo também rígido preso à extremidade superior da mola. A distância inicial que o anteparo pode percorrer sem colidir com o solo vale d. Caso o valor do deslocamento x ultrapasse esse limite, ocorrerá contato.

Figura 5 - Exemplo de uma estrutura que experimenta não linearidade por contato

Se construitmos um gráfico relacionando a força aplicada ao anteparo e o deslocamento sofrido pelo mesmo, considerando a mola com rigidez constante, teremos:

Os três tipos básicos de não linearidade podem estar presentes ao mesmo tempo em um problema, somando seus efeitos. Situações desse tipo não são incomums. Por exemplo, um problema de uma engregagem pode facilmente apresentar os três tipos de não linearidade, uma vez que pode haver grandes deslocamentos, contato, e ainda pontos em que há concentração de tensões nos dentes da engrenagem, com pequenos pontos de plastificação local.

Esse módulo do curso procura discutir mais afundo esses tipos de não linearidade. A ideia é entender e identificar tais tipos de não linearidade, bem como estudar o procedimento para considerar esses efeitos no software ANSYS.

Iniciaremos a discussão retomando o conceito de modelos lineares e não lineares, além do assunto "zeros de funções" com aplicação para problemas não lineares de MEF. A seguir, exploraremos em maiores detalhes os tipos de não linearidade em sistemas mecânicos. Por último, discutiremos algumas estratégias de solução de problemas de instabilidade estrutural.

Modelos lineares e não lineares

Discutiremos nesse item as diferenças entre modelos lineares e não lineares. Matematicamente, uma aplicação linear implica na validade do "Princípio da Superposição". Ou seja, dada uma aplicação (que poderia ser uma função, por exemplo)

 x  se a mesma for linear, vale:

 (  1 x 1  2 x 2 ) 1 ( x 1 ) 2 ( x 2 )^ (^1 )

O conceito de linearidade ou não linearidade pode ser aplicado ao MEF, para resolução de problemas de mecânica de estruturas. Essa aplicação será detalhada a seguir.

Modelos lineares

O estudo de estruturas com comportamento linear utilizando-se o MEF lida com uma matriz de rigidez, um vetor de esforços externos, e a incógnita é um vetor de deslocamentos. Pode-se determinar a solução do problema através da resolução de um sistema linear, geralmente escrito da forma:

f  Kx^ (^2 )

Para simplificar a discussão, pensemos primeiramente em um problema com apenas um grau de liberdade. Assim, o sistema de equações anterior se reduz a uma única equação:

f 1  K 11 x 1

( 3 )

A solução de tal equação, na incógnita do deslocamento é dada por:

1

1 x 1 (^) K 11 f  ^ (^4 )

Tal ideia também é válida para um sistema de equações, porém a forma de escrever a solução não é tão imediata, uma vez que seria necessário a inversão da matriz de rigidez, que computacionalmente é algo bastante custoso. No entanto, a fim de compreender a relação entre o problema de um grau de liberdade e o problema com finitos graus de liberdade, podemos escrever:

x  K ^1 f^ (^5 )

Note que a existência de um problema linear, ou seja, um problema que possa ser escrito da forma anteriormente apresentada, exige que a rigidez seja constante, ou no caso de um sistema com n graus de liberdade, que a matriz de rigidez seja constante. Isso somente ocorrerá em situações de pequenos deslocamentos, pequenas deformações, e em situações em que o contato entre peças não se modifique devido aos esforços considerados no modelo. Ou seja, as três causas básicas de não linearidades não podem estar presentes.

Figura 10 - Curva de rigidez de um modelo que perde rigidez com o aumento do deslocamento ( softening )

Mas como poderemos prosseguir para a solução do modelo não linear? Já sabemos que simplesmente a resolução de um sistema linear, não é suficiente. Aqui surge uma ideia bastante interessante: quando resolvemos o sistema linear, isso equivale a encontrarmos o zero da seguinte função r :

r  f  fi

( 8 )

Em que f são os esforços externos e fi são os esforços internos presentes na estrutura. Quando há equilíbrio, essa igualdade é satisfeita em qualquer problema, seja esse linear ou não linear. A função r é denominada função esforço desbalanceado. Assim, definiremos nossa meta, não mais como a resolução de um sistema linear como fora feito para modelos lineares mas, nosso objetivo passará a ser encontrar o zero de tal função, ou seja:

r  0 (^9 )

O cálculo das forças internas em um sistema (linear ou não linear) pode ser feito com base no campo de deslocamentos do sistema. Para tal, ainda que o sistema seja não linear, é necessário que se calcule inicialmente sua matriz de rigidez na posição indeformada, a fim de que se possa calcular um campo de deslocamentos. Com esse campo as forças internas podem ser calculadas. Nessa etapa, para um problema linear, haverá igualdade dessas forças com as forças externas aplicadas. Já num sistema não linear, haverá um resíduo, dado justamente pela função r. Assim, será necessário encontrar o zero dessa função.

Zeros de funções de uma variável - Método de Newton-Raphson

No módulo de Métodos Numéricos o Método de Newton-Raphson foi apresentado como um dos mais eficientes para encontrar o zero de funções. Apesar de ser um método antigo dentre os atuais desenvolvimentos dentro da área de cálculo numérico, sua ideia de aproximações por tangentes é muito simples e eficiente. Por isso, ainda hoje é

certamente dentre os programas de MEF do mercado o mais utilizado para a obtenção da solução de problemas não lineares.

Relembrando a ideia básica do Método de Newton-Raphson, em sua interpretação geométrica, temos:

Figura 11 – Interpretação geométrica do Método de Newton-Raphson

Dada uma função f(x) , supomos uma primeira aproximação para o zero da função. Essa aproximação é dada por x 1. Se calcularmos o valor da função nesse ponto, teremos f(x 1 ). Calculando a derivada de tal função nesse ponto, podemos através dessa aproximação linear calcular uma segunda aproximação x 2 para o zero da função. Dessa forma, utilizando-se da igualdade da derivada com a tangente, calculada através de trigonometria no triângulo retângulo, tem-se:

1 2

1 1

x x

f x f x 

( 10 )

Reorganizando, temos:

1

1 2 1 f x

f x x  x 

( 11 )

Generalizando, pode-se escrever de forma genérica que:

O Método de Newton-Raphson pode convergir ou não para o zero da função. Isso dependerá das características da função r(x) explorada. Se essa função atender às condições de convergência vistas no curso de métodos numéricos, teremos a certeza da convergência. No entanto, na prática de aplicações de MEF não se verifica a priori a possibilidade de convergência mas, simplesmente, realiza-se o método e verifica-se se o resíduo decai, indicando que há convergência. Existem duas formas de avaliar a convergência: com base nos esforços ( er ) e nos deslocamentos ( eu ). Assim:

1 0

1 1 x x

x x Δx

Δx

r(x )

r(x )

i i i

i

i 1





u

r

e

e

( 18 )

É necessário sempre avaliar as duas formas de convergência. Existem situações em que ocorre um grande resíduo de forças, mas um pequeno resíduo de deslocamentos. Por isso, somente a análise de um dos tipos de resíduos não é suficiente para garantir a convergência.

Figura 12 – Análise de convergência em um exemplo no qual o critério dos deslocamentos é muito inferior ao de forças

A Figura 12 mostra um histórico de convergência interessante para discutir esses critérios. Deseja-se aplicar um certo valor de força. Após a iteração 1, o sistema prevê um campo de deslocamentos. Com base nesse campo de deslocamentos, calculam-se os esforços de fato aplicados (esforços internos) e verifica-se que existe uma grande diferença em relação ao valor desejado (devido à não linearidade do sistema, para exemplo do tipo hardening ). Por isso, realiza-se um novo cálculo da rigidez e após uma

segunda iteração, os deslocamentos que ocorrem são muito menores do que os da primeira iteração. No entanto, o erro em forças ainda é bastante elevado, necessitando de mais iterações para assegurar a convergência, de fato.

Em problemas do tipo softening , o oposto pode ocorrer. Por exemplo, um problema que apresenta flambagem da estrutura, tipicamente quando ocorre grande perda de rigidez, após o carregamento atingir certa magnitude. Essa situação indica a ocorrência de deslocamentos elevados para, essencialmente nenhuma ou quase nenhuma mudança nas forças aplicadas (rigidez nula). Isso acarretará em um critério de forças indicando a convergência mas, o critério de deslocamentos exigirá mais iterações.

Existe ainda uma possibilidade de modificação do Método de Newton-Raphson, para quando o problema apresentar dificuldade de convergência. Trata-se do line-search. A ideia é a seguinte:

Em cada iteração, ao invés de incrementar os deslocamentos do sistema com o

valor de Δxi , incrementa-se de um valor dado por  Δxi , sendo  um escalar denominado

fator de relaxação. Dessa forma, tem-se maior controle sobre as mudanças ocorridas no sistema, pois de modo geral adota-se esse fator um valor entre 0 e 1. Se colocarmos um valor menor que 1, como 0,8 por exemplo, estaremos atrasando a convergência do sistema. Em compensação, no caso de trabalhar com problemas altamente não lineares, apesar de atrasar a convergência, esse fator pode significar que ocorra convergência, e não divergência.

O Método de Newton-Raphson pode apresentar convergência ou diverência, de acordo com o chute inicial escolhido para a determinação do zero desejado da função. Em aplicações de mecânica das estruturas, de modo geral o chute inicial é um campo de deslocamentos nulo. Assim, a matriz de rigidez é calculada no início, com a malha inicial indeformada. Dependendo da forma da relação entre os esforços e os deslocamentos (desconhecida a priori), o método iterativo pode divergir ou convergir (ver Figura 13).

Figura 13 – Problemas que apresentam divergência e convergência dependendo do chute inicial dos deslocamentos

Note que um dado problema apresenta um raio de convergência, isto é, uma região para a qual assegura-se a convergência. No entanto, esse raio de convergência é

que durante a simulação a ordem real de aplicação das cargas seja obedecida. Por exemplo, uma válvula com parafusos de montagem submetida a um carregamento de pressão interna. Em uma simulação desse problema, devemos primeiramente considerar o aperto dos parafusos e, após essa "montagem virtual" do sistema, a pressão deve ser aplicada. Cada passo de carregamento seqüencial é denominado load-step.

O software ANSYS exibe um arquivo de texto de saída, com um resumo dos resultados das iterações realizadas durante a solução. Tal arquivo ilustra a norma do erro em cada iteração. Tal valor é a norma da função esforço desbalanceado, que deve tender a zero. Ainda existe um critério de convergência, que pode ser alterado de acordo com a necessidade. Quando o valor da norma da função esforço desbalanceado decai abaixo do critério, ocorre convergência do sub-step. Ainda pode ser observado o valor do fator de relaxação utilizado em cada iteração, de acordo com as opções escolhidas para a análise. A Figura 15 exibe o formato de saída do solver.

Figura 15 – Output do solver do ANSYS indicando características de cada iteração de uma análise não linear

Uma forma bastante comum de exibir os dados do output é através de um gráfico de convergência. Basicamente, é a forma gráfica da norma da função esforço desbalanceado, plotada a cada iteração realizada pelo solver. É possível visualizar na tela também o critério de convergência. Quando ocorre convergência do atual sub-step, a linha do resíduo desce abaixo da do critério de convergência.

Figura 16 – Convergência durante as iterações do Método de Newton-Raphson de uma análise não linear

Não linearidade geométrica

A rigidez de uma estrutura completa depende da composição da rigidez de cada um dos seus elementos, em um modelo de MEF. Umas estrutura que apresente grandes deslocamentos e/ou grandes rotações pode apresentar significativa alteração em sua rigidez, devido ao efeito desses movimentos. Esse efeito é denominado não linearidade geométrica.

Existem algumas razões para a ocorrência da não linearidade geométrica: grandes deformações, grandes deflexões (rotações) e o efeito da rigidez geométrica ( stress stiffening ). Cada um desses efeitos será discutido a seguir.

Grandes deformações

A existência de grandes deformações envolve a necessidade de calculá-las através de expressões matemáticas não lineares. A existência de grandes deformações em um elemento pode mudar sua rigidez individual, colaborando com a alteração da rigidez do sistema. A Figura 17 ilustra um quadrado que sofre grandes deformações.

Figura 17 – Grandes deformações em um elemento inicialmente quadrado

A medida de deformação de um ponto é uma normalização da medida dos deslocamentos existentes. Assim, existem muitas possibilidades para realizar essa medição. Os pré-requisitos para qualquer medida de deformação são os seguintes:

 A deformação deverá ser nula quando ocorrer somente movimento de corpo rígido;  A deformação poderá ser não nula quando ocorrer deslocamentos;  A deformação deverá ser relacionada com a tensão através de uma equação constitutiva.

A energia de deformação de uma estrutura deverá possuir o mesmo valor, independente da medida de deformação utilizada. Por isso, uma vez escolhida uma medida, implica em uma forma de cálculo das tensões, afim de que a energia de deformação seja condizente. O software ANSYS utiliza-se de três diferentes tipos de medidas de deformações. São elas:

 Deformação de Engenharia  Deformação Logarítmica  Deformação de Green-Lagrange

As definições dessas medidas de deformação serão feitas a seguir, para um exemplo de uma barra unidimensional.

Note que a deformação logarítmica é dependente do comprimento final da barra em uma relação não linear com o mesmo. A deformação logarítmica é energeticamente conjugada com a tensão real, considerando-se a seção transversal na configuração deformada ( A ):

A

F

 l 

( 22 )

Outra medida não linear de deformação é a de Green-Lagrange, dada por:

0

2 0

2

2

l

l l  G

( 23 )

Note que essa forma de definir a deformação é não linear em relação ao comprimento final da barra. Ela é energeticamente conjugada com a segunda tensão de Piola Kirchhoff ( S ), dada por:

0

0 A

F

l

l S 

( 24 )

A principal vantagem de trabalhar com a deformação de Green-Lagrange é que ela é computacionalmente melhor do que a deformação logarítmica para levar em consideração movimentos com grandes rotações. No entanto, a segunda tensão de Piola Kirchhoff não possui significado físico. Assim, a saída do software de elementos finitos, de modo geral é convertida para tensão real, que possui significado físico.

Em resumo, a tabela abaixo ilustra quais tipos de medidas de deformações o software ANSYS utiliza tanto para a entrada de dados, para o cálculo, e para o pós- processamento. Essa tabela é fundamental para a correta interpretação dos resultados em problemas geometricamente não lineares.

Note que, de modo geral o programa se utiliza de tensões de engenharia na maioria dos casos, mesmo que ocorram grandes deflexões (através da abordagem co- rotacional). Para os casos de grandes deformações, são utilizadas deformações logarítmicas e tensões reais. Existem algumas excessões para alguns models hiperelásticos assinalados nas últimas duas colunas da tabela.

Grandes deflexões (rotações)

O movimento de corpo rígido existente em um elemento pode alterar suas componentes de rigidez no âmbito da matriz global do sistema. Isso, pois a alteração da orientação de sua geometria modifica a contribuição de sua rigidez em cada componente dos graus de liberdade globais. Por exemplo, uma barra de treliça inicialmente alinhada como eixo x (Figura 19). Sua contribuição de rigidez na direção x é máxima. Quando a barra sofre uma rotação, sua rigidez agora atua tanto na direção x, como y, porém, com uma magnitude inferior na direção x e, a direção y que não tinha contribuição de rigidez da barra, após seu movimento passou a ter.

Figura 19 – Grandes deflexões (rotações) ocorridas em uma barra

É possível haver grandes deflexões com pequenas deformações. Nessa situação, a maior parte do movimento é de corpo rígido (translações e rotações no espaço).

Rigidez geométrica ( stress stiffening )

Algumas estruturas apresentam uma importante fonte de rigidez: a influência das tensões, ou seja, dos esforços internos, que podem aumentar ou diminuir sua rigidez. Um típico exemplo, é um varal de corda. Ao pendurar uma roupa em um varal, o mesmo ganha rigidez em sua direção ortogonal à corda, pois o carregamento da pré-tensão, proveniente da roupa recém pendurada, altera sua rigidez. Esse efeito é bastante comum em estruturas como cabos, vigas finas e membranas. Existem estruturas nas quais a rigidez geométrica é a preponderante. Por exemplo, estruturas formadas por tecidos fixados com grande pré-tensão.

Figura 20 – Rigidez geométrica surgida por conta do carregamento aplicado à barra