Expressões regulares
Universidade Federal de Campina Grande – UFCG
Centro de Engenharia Elétrica e Informática – CEEI
Departamento de Sistemas e Computação – DSC
Professor: Andrey Brito
Disciplina: Teoria da Computação Período: 2012.1
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Teoria da Computação: Expressões Regulares e Autômatos Finitos, Notas de aula de Informática
Este documento, da disciplina de teoria da computação do curso de engenharia elétrica e informática da universidade federal de campina grande, aborda o tema de expressões regulares e sua relação com autômatos finitos não determinísticos (afnd) e determinísticos (afd). São apresentadas definições formais, exemplos de construção e propriedades, bem como a equivalência entre expressões regulares e autômatos finitos.
Tipologia: Notas de aula
2013
1 / 31
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Expressões regulares
Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Centro de Engenharia Elétrica e Informática – CEEI Departamento de Sistemas e Computação – DSC Professor: Andrey Brito Disciplina: Teoria da Computação Período: 2012.
Aviso
- Prova 1: 10 de abril
Como construir M (completo)
- Seja N = <Q, , , q, F> , M será <Q’, , ’, q’,
F’>, onde
– Q’ = P(Q)
- Para R Q’ e a :
- ’(R, a) = {q Q | q E((r, a)), para r R}
- q’ = E({q 0 })
- F’ = {R Q’| R contém um elemento de F}
Obs.: este procedimento segue arcos depois que o símbolo é lido (ao invés de antes da leitura).
Exemplo
- M = <Q’, , δ’, q’, F’>, onde
- Q’ = < , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} >
- q 0 ’ = E( {q 0 } ) = E( {1} ) = {1, 3}
- F’ = { {1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3} }
AFND N
a
{1, 3}
{1, 2}
{3} {2, 3}^ {1,2,3}
a,b^ {1}^ {2} a,b
a
a
a a a
b
b
b
b
b
AFD M
b
EXPRESSÕES REGULARES
Expressões regulares
- Aritmética
- Objeto de estudo: números
- Expressão aritmética: (3 + 4) 5
- Expressão aritmética gera: número
- Teoria da computação
- Objeto de estudo: linguagens
- Expressão regular: (0 1 ) 0*
- Expressão regular gera: linguagem
Definição formal
- Seja um alfabeto
- Se a , então a é uma expressão regular
- Se é a palavra nula, então é uma expressão regular
- Se é o conjunto vazio, então é uma expressão regular
- Se R 1 e R 2 são expressões regulares, então (R 1 R 2 ) e (R 1 R 2 ) são expressões regulares
- Se R 1 é uma expressão regular, então (R 1 *) é uma expressão regular
Outras definições
- versus
- : uma palavra, a palavra vazia, conjunto unitário
- : nenhuma palavra, conjunto vazio
- Linguagem descrita por R: L(R)
- Equivalência: R 1 ≡ R 2 ↔ L(R 1 ) = L(R 2 )
- R+^ = RR* , ou seja, R* = R+^ {}
q 0 q 1
N 1 N 2
Expressões e linguagens
- Se = {0, 1}
- R 1 = → L(R 1 ) = {0, 1}
- R 2 = (0 1) → L(R 2 ) = {0, 1}
- R 1 ≡ R 2
- R 3 = * → L(R 3 ) = {todas as palavras sobre o alfabeto, incluindo }
- R 4 = 1*. → L(R 4 ) =
- R 5 = * → L(R 5 ) = {}
Expressões e linguagens
Expressão
- 010
- 1
- 001
- (01+)*
- ( )*
- (01 10)
- 0 0 1 1 0 1
Propriedades
1. R 1 (R 2 R 3 ) (R 1 R 2 ) R 3 (associativa)
2. R 1 (R 2 R 3 ) (R 1 R 2 ) (R 1 R 3 ) (distributiva)
3. (R 1 R 2 ) (R 2 R 1 ) (comutativa)
4. (R ) R
5. (R ) R
Expressões regulares: distributividade
- w L(R 1 (R 2 R 3 )) se e somente se
- x L(R 1 ) e y L(R 2 R 3 ) tais que w = x.y
Expressões regulares: distributividade
- w L(R 1 (R 2 R 3 )) se e somente se
- x L(R 1 ) e y L(R 2 R 3 ) tais que w = x.y
- x L(R 1 ) e (ou y L(R 2 ) ou y L(R 3 )) tais que w = x.y
- x L(R 1 ) e y L(R 2 ) ou x L(R 1 ) e y L(R 3 ) tais que w = x.y
- x L(R 1 ) e y L(R 2 ) tais que w = x.y ou x L(R 1 ) e y L(R 3 ) tais que w = x.y
- sse w L(R 1 R 2 ) ou w L(R 1 R 3 )
- sse w L(R 1 R 2 ) L(R 1 R 3 )
Expressão regular vs. autômato finito
- Teorema 3: uma linguagem é regular se e
somente se ela pode ser descrita por uma
expressão regular
- Isso significa que ERs e AFs são equivalentes