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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

ESCOLA POLITÉCNICA

DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS

ENG 114 - HIPERESTÁTICA

1ª. UNIDADE

ENG 114 Hiperestática Introdução 1

1 ELELEEMMEENNTTOOSS FFUUNNDDAAMMEENNTTAAIISS DDAASS EESSTTRRUUTTUURRAASS

1.1 INTRODUÇÃO

“As estruturas são constituídas de um elemento ou de um conjunto de elementos ligados entre si e externamente ao solo, de tal forma que o sistema assim formado seja estável. A estrutura é, portanto, um sistema adequado para receber solicitações externas e encaminhá-las até seus vínculos externos”.

Os elementos que constituem uma estrutura são chamados elementos estruturais.

1.2 CLASSIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS

Classificação de acordo com as dimensões principais dos elementos.

1.2.1 ELEMENTO DE BARRA

Quando duas dimensões são pequenas em relação à terceira.

l

h

b

1.2.2 ELEMENTO DE SUPERFÍCIE

Quando uma dimensão é muito menor que as outras duas.

l

h

b

Os elementos de superfície são divididos em:

• Placa : as ações atuam perpendicularmente ao plano da superfície.

b ≅ h < l

b ≅ l > h

ENG 114 Hiperestática Introdução 3

1.3.2 ESTRUTURAS DE SUPERFÍCIE

Formadas por elementos de superfície.

1.3.3 ESTRUTURAS DE VOLUME

Formadas por elementos de bloco.

1.4 ESTRUTURAS LINEARES PLANAS

São aquelas formadas por barras cujos eixos estão situados no mesmo plano. Alguns exemplos: ß Vigas ß Pórticos ß Treliças ß Grelhas ß Arcos OBS: O elemento de barra pode apresentar desempenhos distintos no conjunto da estrutura: ß Ele pode suportar ações transversais ao seu eixo, e, com isso, transmitir momentos fletores e esforços cortantes, sendo chamado, neste caso, de chapa. ß Ele pode transmitir apenas esforços axiais, sendo chamado, neste caso, de barra simples , ou simplesmente barra

ENG 114 Hiperestática Introdução 4

(^21)

3

4 i c

2 VIVINNCCUULLAAÇÇÃÃOO DDAASS EESSTTRRUUTTUURRAASS LLIINNEEAARREESS PPLLAANNAASS

2.1 INTRODUÇÃO

Como as estruturas podem ser formadas por vários elementos ligados entre si e exteriormente com o solo, essas ligações são chamadas vínculos.

Podem ser distinguidos três tipos de vínculos: ß Articulação entre chapas : ligação interna que une as chapas. ß Articulação entre barras : ligação interna que une as barras ( nó ). ß Apoios : ligação entre a estrutura e o solo ( vínculos externos ).

Os elementos estruturais mais os vínculos devem formar um conjunto estável, sendo os vínculos responsáveis por restringir o movimento da estrutura.

São três os movimentos possíveis nas estruturas lineares planas ( graus de liberdade ): ß Uma rotação ß Duas translações

2.2 REPRESENTAÇÃO DOS TIPOS DE VÍNCULOS

Os vínculos são caracterizados pelo número de graus de liberdade retirados da estrutura.

2.2.1 APOIO MÓVEL

Permite a rotação e uma translação, retirando, portanto, um grau de liberdade da estrutura.

2.2.2 APOIO FIXO

Permite somente a rotação, restringindo, portanto, as duas translações.

2.2.3 ARTICULAÇÃO ENTRE CHAPAS

Restringe deslocamentos entre as chapas, permitindo rotações relativas entre elas.

Seja uma articulação onde c chapas se encontram. Supondo-se uma das chapas fixa, a articulação retira dois graus de liberdade de cada uma das (c-1) chapas, em relação àquela suposta fixa. O número total de graus de liberdade retirados da estrutura por esse tipo de vínculo é, então, igual a 2(c-1).

ENG 114 Hiperestática Introdução 6

l

l l l

1 2 3

Função estática: transmitir todos os esforços.

3.2.2 BARRAS SIMPLES (BARRAS)

Função geométrica: definir a distância entre seus pontos extremos:

l

Função estática: transmitir apenas esforços axiais.

3.2.3 NÓS

Encontro de barras simples

Nó

b

b b

3.2.4 ARTICULAÇÃO

Encontro de barras e chapas ou só de chapas

Articulação

c

b b (^) c

c Articulação

c

3.2.5 BARRAS VINCULARES

Correspondem aos graus de liberdade impedidos pelos vínculos internos e externos.

a) Engaste fixo

Corresponde a três barras vinculares

ENG 114 Hiperestática Introdução 7

b) Apoio fixo

Corresponde a duas barras vinculares

c) Apoio móvel

Corresponde a uma barra vincular

d) Engaste móvel

Corresponde a duas barras vinculares

3.2.6 CHAPA TERRA

Apoio de todas as estruturas

3.3 ESTRUTURAS ELEMENTARES

3.4 2.1 TRELIÇA

Estrutura composta apenas de barras simples e nós, com carga aplicada somente nos nós.

→ bn = 2n

Exemplo: Tem-se:

fi Barras efetivamente existentes be = 11 + 4 = 15 n = 7 bn = 2 x 7 = 14 ‡ Barras vinculares

be = 15 > bn = 14 → Treliça superdeterminada

Grau: g = be – bn = 15 – 14 = 1 → 1 x superdeterminada

ENG 114 Hiperestática Introdução 9

Exemplo 2

Tem-se:

be = 1 + 5 = 6 c = 2 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 2 + 2 x 0 = 6

be = bn = 6 → Estrutura determinada

OBS.: ß Articulação entre duas chapas → 2 barras vinculares

ß Articulação entre c chapas → 2 (c – 1) barras vinculares

Voltando ao exemplo anterior, tem-se:

be = 9 c = 3 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 3 + 2 x 0 = 9

be = bn = 9 → Estrutura determinada

Exemplo 3:

be = 3 c = 1 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 1 + 2 x 0 = 3

be = bn = 3 → Estrutura determinada

ENG 114 Hiperestática Introdução 10

Exemplo 4:

be = 6 c = 1 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 1 + 2 x 0 = 3

be = 6 > bn = 3 → Estrutura superdeterminada

Grau: gh = be – bn = 6 – 3 = 3 → Estrutura 3 x superdeterminada

3.5 CASOS EXCEPCIONAIS

3.5.1 BARRAS VINCULARES PARALELAS

Móvel

be = 3 c = 1 n = 0 bn = 3c = 3

be = bn = 3 → Estrutura determinada

⇒ A estrutura é móvel

ENG 114 Hiperestática Introdução 12

ß As tensões em uma determinada seção transversal podem ser substituídas por suas resultantes (esforços internos). ß As tensões são diretamente proporcionais aos esforços internos. Flexão simples: M I

σ =y

Cisalhamento devido à flexão: V bI

τ =Ms

Compressão ou tração: N S

σ =^1

c) Continuidade da estrutura com a deformação

ß Em um ponto β qualquer, a tangente à sua esquerda coincide com a tangente à sua direita.

ß Os nós contínuos são supostos indeformáveis; os ângulos entre as barras se mantêm na estrutura deformada

A B C

D E

φA

φA

φB

φB

φ B

d) As condições de equilíbrio são computadas na posição indeformada

B

A

C

A

B

Q C Q

l l δ^ (Q)

M = QA l M = Q [A l + δ(Q)]

Nas estruturas usuais δ (Q) é muito pequeno e pode ser desprezado. Portanto, MA = Q l

e) Os esforços internos são sempre diretamente proporcionais às ações externas

ENG 114 Hiperestática Introdução 13

4.2 SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS

A proporcionalidade entre o efeito E e sua causa C implica diretamente na validade da superposição dos

efeitos, isto é, para diversas causas C 1 , C 2 , C 3 , ... , Cn, tem-se:

E( C 1 +C 2 +C 3 +⋅⋅⋅+Cn)=E(C 1 )+E(C 2 )+E(C 3 )+⋅⋅⋅+E(Cn )

ENG 114 Hiperestática Cálculo de Reações 2

1.2 RECOMENDAÇÕES PARA O CÁLCULO DAS REAÇÕES

ß As cargas distribuídas podem ser substituídas por suas respectivas cargas concentradas equivalentes (Q 1 e Q 2 , da figura anterior), cujos valores são numericamente iguais às “áreas das superfícies de carregamento” e os pontos de aplicação estão situados nos centros de gravidades dessas superfícies. ß Sempre que possível, as reações externas devem ser calculadas em primeiro lugar. ß Somente após terem sido esgotadas as possibilidades de cálculo das reações externas, é que as chapas da estrutura devem ser separadas entre si, para o cálculo das reações internas e das possíveis reações externas ainda não calculadas.

ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 1

1 ESESFFOORRÇÇOOSS SSOOLLIICCIITTAANNTTEESS EEMM EESSTTRRUUTTUURRAASS PPLLAANNAASS

1.1 INTRODUÇÃO

Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços solicitantes que atuam em uma seção qualquer, equilibram as ações externas que agem à esquerda ou à direita desta seção, conforme indicado na figura abaixo. Nas estruturas planas, com carregamento agindo no seu plano, são três os esforços solicitantes:

ß Momento fletor (M) ß Esforço cortante (V) ß Esforço normal (N)

R 2 R 3

M

N

V

S

R 1

S

R 2

R 1

R 3

S

N

M

V

1.2 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES

1.2.1 CONVENÇÃO DE SINAIS

a) Esforço Normal

Considera-se positivo o esforço normal que provoca tração no trecho que atua.

Tração ⇒ N(+)

Compressão ⇒ N(-)

ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 3

1.2.2 RELAÇÕES ENTRE CARGA, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR

Sendo a carga, o esforço cortante e o momento fletor funções de x , abscissa ao longo da estrutura, para um elemento de comprimento infinitesimal dx, em equilíbrio sob o efeito da carga p = p(x) , e dos esforços solicitantes M = M(x) e V = V(x) , pode-se estabelecer:

p = p(x)

x

l

x + dx

M(x)

V(x) V(x) + dV(x)

p = p(x)

M(x) + dM(x) dx

P = p(x) dx

O

∑ Fv=^0

V( x)−p(x)dx−[V(x)−dV(x)]= 0

−p( x)dx−dV(x)= 0

⇒

dx

− p( x)=dV(x^ ) (1)

∑ MO=^0

[M(x) dM(x)] 0

M( x)+V(x)dx−p(x)dxdx− + =

Desprezando-se os infinitesimais de segunda ordem:

V( x)−dM(x)= 0

dx

V( x)= dM(x^ ) (2)

Derivando a eq.(2) em relação a x, tem-se

2

2

dx

d M(x)

dx

dV (x)= (3)

E, substituindo-se a eq.(3) na eq.(1), obtém-se:

2

2

dx

− p( x)=d M(x) (4)

Portanto, sempre que se conhecer a função p(x) , a eq.(4) pode ser resolvida para M(x) , e, por diferenciação, o esforço cortante V(x) pode ser determinado.

ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 4

1.2.3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DOS MOMENTOS FLETORES

Integrando-se a eq.(4) duas vezes, encontra-se:

dx p(x)x C^1

dM( x)= − + (5)

1 2

2

C x C

M (x)= −p(x)x + + (6)

As constantes de integração C 1 e C 2 podem ser determinadas através das condições de apoio. Vale lembrar que a eq.(4) só é válida nos trechos sem carga concentrada aplicada.

Considerando-se p(x) = constante = p , de acordo com as eqs (5) e (2), tem-se:

dx px C^1

dM( x)=− +

V( x)= −px+C 1 → Equação de uma reta (7)

E, a partir da eq.(6), encontra-se:

1 2

2

C x C

M( x)= −px + + → Equação de uma parábola do 2° grau (8)

A análise das equações (7) e (8) permite que se possam prever as formas que os diagramas dos esforços M e V irão assumir, conforme tabela abaixo:

Forma do Diagrama Tipo de Carga Esforço Cortante V(x) Momento Fletor M(x)

p(x) = 0

Constante Linear

p(x) = constante

Linear Parábola de 2º grau

p(x) = a x + b

Parábola de 2º grau Parábola cúbica