LISTA 2 PROBABILIDADES PRIMEIRO SEMESTRE 2018. ENTREGA NA
AULA ANTES DA PROVA
Probabilidades Lista 1
Exerc´ıcio 1. Leia Notas at´e o cap´ıtulo sobre a distribui¸c˜ao normal.
Exerc´ıcio 2. Considere um problema de ”urnas”onde h´a cartas em lugar de bolas. Suponha
que ningu´em sabe fazer ma¸co. Um baralho de 52 cartas ´e formado por cartas numeradas de
1 a 13 de 4 naipes (a)Trˆes cartas s˜ao selecionadas de um baralho sem reposi¸c˜ao. Encontre a
probabilidade de n˜ao tirar um cora¸c˜ao.
(b) Um jogador recebe 5 cartas. Qual ´e a probabilidade que trˆes tenham o mesmo n´umero?
Exerc´ıcio 3. (a) A vari´avel aleat´oria X´e distribuida uniformemente no intervalo 0 ≤x < 2π.
Fora desse intervalo a densidade de probabilidade ´e zero. A vari´avel Ytoma valores no intervalo
−1≤y≤1 est´a relacionada com Xpor Y= sin X. Encontre a densidade de probabilidade de
y.
(b)A vari´avel Xtem densidade de probabilidade dada pela fun¸c˜ao f(x). A vari´avel Y´e definida
pela transforma¸c˜ao Y=f(X). Qual ´e a densidade de probabilidade de Y?
(c) Em F´ısica 1 (ou antes) foi calculado o alcance A(θ, v0) de um pro j´etil, sob a a¸c˜ao de um
campo gravitacional guniforme num terreno plano, como fun¸c˜ao do ˆangulo de lan¸camento e
da velocidade inicial de m´odulo v0. Encontre a probabilidade de A,P(A|I1) sob a informa¸c˜ao
I1:v0´e conhecido e θ´e uniforme entre θ1eθ2.
(d) P(A|I2) o mesmo do anterior onde I2:θ´e conhecido e v0´e uniforme entre v1ev2.
(e) P(A|I3) o mesmo do anterior onde I3:θ´e uniforme entre θ1eθ2ev0´e uniforme entre v1e
v2.
(f) Refa¸ca (c-e) com atrito...(brincadeira)
Exerc´ıcio 4. Uma vari´avel tem distribui¸c˜ao normal
P(x|µ, σ) = Nexp −1
2σ2(x−µ)2
(1) Encontre a normaliza¸c˜ao N(σ)
(2) Encontre os valores esperados IE(x|µ, σ ) e IE(x2|µ, σ).
(3) Para diferentes valores de µ= 0,3 e σ= 1,4, desenhe a fun¸c˜ao φ(x|µ, σ), a distribui¸c˜ao
cumulativa de x, definida por
φ(x|µ, σ) = Zx
−∞
P(x0|µ, σ)dx0
(o esbo¸co deve ser feito `a m˜ao)
Exerc´ıcio 5. Duas vari´aveis que tomam valores nos reais tem distribui¸c˜ao conjunta normal
P(x, y|ρ) = Nexp −1
2C(x2−2ρxy +y2)
onde ρ´e um parˆametro positivo dado, entre 0 e 1.
(1) Encontre C(ρ) para que as marginais sejam gaussianas padr˜ao P(x) = 1
√2πexp −1
2x2,P(y) =
1
√2πexp −1
2y2.
(2) Encontre a normaliza¸c˜ao N(ρ)
(3) Encontre os valores esperados IE(x|ρ) ,IE (y|ρ) e IE(xy|ρ). Interprete o significado de C.
Dica: Use as regras do produto e da soma.