PROBABILIDADE PROVA 2 - JUNHO 2018. INDIVIDUAL - ENTREGA: 06
DE JUNHO
Probabilidades Prova 2
Instru¸c˜oes: a prova deve ser feita individualmente. Ela n˜ao visa medir se o grupo sabe. O
objetivo ´e obter informa¸c˜ao sobre o que cada aluno sabe. A nota Vser´a dada por
V= min(10, v0
n
X
i=1
vi),
onde vi´e o valor da nota da quest˜ao i. A soma dos valores ´e maior que dez pontos. Quem n˜ao
responder `a pergunta 0 ter´a uma prova oral. Apresente as solu¸c˜oes cuidadosamente deixando
claro as hip´oteses feitas e mostrando o desenvolvimento matem´atico. Frases telegr´aficas ou
equa¸c˜oes soltas n˜ao s˜ao a forma adequada de comunicar os resultados. N˜ao precisa fazer em
Latex, provas manuscritas s˜ao bem-vindas. Provas em Word n˜ao o ser˜ao. Numere as paginas
e os exerc´ıcios. Grampeie as folhas de forma ordenada por n´umero de quest˜ao. As folhas de
provas sem nome ser˜ao enviadas para reciclagem.
Exerc´ıcio 0.
Responda: Vocˆe fez a prova de forma individual? Resposta SIM ter´a nota v0= 1 e a resposta
N˜
AO nota v0= 0.
Exerc´ıcio 1. Distribui¸c˜ao normal A vari´avel aleat´oria Xtem distribui¸c˜ao normal com
media µe desvio padr˜ao σ.
•Ztoma valores z=ax3+bx2. Encontre o valor esperado de Z.
•No caso em que µ= 0 e σ= 1 a vari´avel Ytoma valores y= cos x. Encontre a densidade
de probabilidade P(Y) e sua m´edia.
•Suponha novamente que µ= 0 e σ= 1. Obtenha a distribui¸c˜ao de probabilidade para
a vari´avel aleat´oria SN=PN
i=1 x2
i, onde os xis˜ao amostras independentes e igualmente
distribuidas (i.i.d) de X.
Valores: .5, .5, 1.
Exerc´ıcio 2. Em uma experiˆencia o operador tem contrˆole de escolha do valor xe pode
medir para cada escolha de xo valor de y. Uma corrida da experiˆencia gerou o conjunto de
dados (xi, yi)i=1...N . No que segue teremos informa¸c˜ao que os valores de yis˜ao corrompidos por
ru´ıdo gaussiano e independente com m´edia nula e variˆancia σ2.
•H´a motivos te´oricos para achar que o modelo M1:y=f1(x;θ) ´e adequado. Encontre
uma express˜ao que permita econtrar θML o valor de θde m´axima verossimilhan¸ca.
•Encontre uma express˜ao para a incerteza da estimativa de θ. Justifique a escolha dessa
estimativa.
Valores: 1., 1.
Exerc´ıcio 3. Considere a seguinte informa¸c˜ao I= “Uma moeda ´e jogada para cima, bate
no teto, no ventilador do teto, e cai no ch˜ao plano”. H´a v´arios motivos para atribuir p= 1/2 `a
probabilidade que caia a cara para cima, isto ´e p=P(s= 1|I) = 1/2 e q=P(s=−1|I) = 1/2
. Poderiamos considerar outra experiˆencia I0onde p, q tem outro valores (entre zero e um).
Consideremos as jogadas independentes, para duas jogadas iejquaisquer P(si|sjI0) = P(si|I0).
