Notas sobre variáveis complexas, Manuais, Projetos, Pesquisas de Álgebra

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Departamento de Matemática - MTM Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC

Notas de aula:

MTM 5186 - Cálculo IV

Prof. Matheus Cheque Bortolan

Florianópolis - SC 2015/

ii

• 1 Introdução
• 2 O corpo C dos números complexos e o plano complexo
  • 2.1 Definição e propriedades básicas
  • 2.2 Geometria em C
    • 2.2.1 A desigualdade triangular
  • 2.3 Representação polar em C
    • 2.3.1 Igualdade de números complexos na representação polar
    • 2.3.2 Raízes de números complexos
• 3 Funções de uma variável complexa
  • 3.1 Definições básicas
    • 3.1.1 A função exponencial
  • 3.2 Limites
  • 3.3 Continuidade
  • 3.4 Diferenciabilidade
  • 3.5 Analiticidade
    • 3.5.1 Equações de Cauchy-Riemann
• 4 Transformações de Möbius
  • 4.1 Definições e propriedades básicas
  • 4.2 Propriedade de preservação de círculos
    • 4.2.1 Orientação
  • 4.3 Representação matricial
  • 4.4 Razão cruzada
• 5 Integração complexa
  • 5.1 Curvas no plano complexo
  • 5.2 Integrais complexas 2 SUMÁRIO
  • 5.3 O Teorema de Cauchy-Goursat
    • 5.3.1 Domínios multiplamente conexos
  • 5.4 A fórmula integral de Cauchy
  • 5.5 A fórmula integral de Cauchy para derivadas
  • 5.6 Consequências das fórmulas integrais de Cauchy
    • 5.6.1 Derivadas de funções analíticas
    • 5.6.2 Desigualdade de Cauchy
    • 5.6.3 Teorema de Liouville
    • 5.6.4 O Teorema Fundamental da Álgebra
    • 5.6.5 O Teorema do Módulo Máximo
• 6 Séries complexas e resíduos
  • 6.1 Sequências e séries complexas*
    • 6.1.1 Séries geométricas
    • 6.1.2 Séries de potências
  • 6.2 Séries de Taylor
  • 6.3 Séries de Laurent
    • 6.3.1 Teorema de representação em séries de Laurent
    • 6.3.2 Singularidades isoladas
    • 6.3.3 Classificação de singularidades
  • 6.4 Resíduos
  • 6.5 Integrais reais impróprias
• 7 Soluções em séries para equações diferenciais ordinárias
  • 7.1 Equação de Euler
  • 7.2 Soluções em séries num ponto singular regular - o método de Frobenius
  • 7.3 Equação de Legendre
  • 7.4 Equação de Bessel
• 8 Equações diferenciais parciais
  • 8.1 Equação de Laplace
    • 8.1.1 Domínios retangulares
    • 8.1.2 Discos
  • 8.2 Equação da onda
  • 8.3 Identidades de Green e funções de Green
    • 8.3.1 Notações
    • 8.3.2 Primeira identidade de Green
• SUMÁRIO
  • 8.3.3 Segunda identidade de Green
  • 8.3.4 Fórmula de representação
  • 8.3.5 Funções de Green
  • 8.3.6 Função de Green no semi-espaço

Capítulo

Introdução

Este é um material elaborado para poder ser usado como base nas disciplinas de Cál- culo IV, ministradas pelos professores do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Santa Catarina.

6 Introdução

8 O corpo C dos números complexos e o plano complexo

(S3) Elemento neutro da soma: considere o elemento (0, 0) ∈ C e temos

(a 1 , b 1 ) + (0, 0) = (a 1 , b 1 ).

(S4) Elemento inverso da soma: para (a 1 , b 1 ) considere o elemento (−a 1 , −b 1 ) ∈ C e temos (a 1 , b 1 ) + (−a 1 , −b 1 ) = (0, 0). Denotamos (−a 1 , −b 1 ) por −(a 1 , b 1 ). (P1) Associatividade do produto:

[(a 1 , b 1 ) · (a 2 , b 2 )] · (a 3 , b 3 ) = (a 1 , b 1 ) · [(a 2 , b 2 ) · (a 3 , b 3 )].

(P2) Comutatividade do produto:

(a 1 , b 1 ) · (a 2 , b 2 ) = (a 2 , b 2 ) · (a 1 , b 1 ).

(P3) Elementro neutro do produto: considere o elemento (1, 0) ∈ C e temos

(a 1 , b 1 ) · (1, 0) = (a 1 , b 1 ).

(P4) Elemento inverso do produto:( para (a 1 , b 1 ) 6 = (0, 0) considere o elemento a 1 a^21 +b^21 ,^ −^ b 1 a^21 +b^21

e temos

(a 1 , b 1 ) ·

a 1 a^21 + b^21 ,^ −^

b 1 a^21 + b^21

Denotamos

( (^) a a^21 1 +b^21 ,^ −^

b 1 a^21 +b^21

por (a 1 , b 1 )−^1. (D) Distributividade

(a 1 , b 1 ) · [(a 2 , b 2 ) + (a 3 , b 3 )] = (a 1 , b 1 ) · (a 2 , b 2 ) + (a 1 , b 1 ) · (a 3 , b 3 ).

Essas propriedades listadas acima são o motivo pelo qual dizemos que (C, +, ·) é um corpo.

Exercício 2.1.2. Demonstre todas estas propriedades.

Daqui pra frente, omitiremos as operações e denotaremos o corpo dos números com- plexos simplesmente por C.

2.1 Definição e propriedades básicas 9

Exercício 2.1.3. Mostre as seguintes propriedades adicionais de C:

(a) Temos (a 1 , 0) + (a 2 , 0) = (a 1 + a 2 , 0) e (a 1 , 0) · (a 2 , 0) = (a 1 a 2 , 0). Também (0, b 1 ) = (0, 1) · (b 1 , 0).

(b) Para qualquer λ ∈ R temos

(λ, 0) · (a 1 , b 1 ) = (λa 1 , λb 1 ).

(c) Temos (0, 1) · (0, 1) = −(1, 0).

Vamos agora ver que essa definição que demos para o corpo dos números complexos coincide com a definição usual. Para isso, seja (a, b) ∈ C, e escrevemos com a ajuda do item (a) do exercício acima:

(a, b) = (a, 0) + (0, 1) · (b, 0).

Além disso, os itens (a) e (b) nos permitem identificar o par (a, 0) com o número real a, e definindo i = (0, 1) escrevemos (a, b) = a + ib,

e note que pelo item (c), temos i^2 = − 1. Assim, o corpo C dos números complexos pode ser visto como o conjunto

{z := a + ib : a, b ∈ R}, onde i^2 = − 1 ,

com as operações de soma e produto definidas anteriormente.

Exercício 2.1.4. Reintreprete a definição das operações de soma e produto, bem como suas propriedades, com a definição usual dos números complexos. Isto é, dados z 1 = a 1 + ib 1 e z 2 = a 2 + ib 2 em C, quem é z 1 + z 2? Quem é z 1 .z 2? Como ficam as propriedades da soma e produto agora?

Observação 2.1.5. Nestas novas notações, denotamos o inverso multiplicativo z−^1 de um número complexo z não-nulo também por (^1) z , que também é chamado de recíproco de z.

Para um número complexo z = a + ib, chamamos a de parte real de z e b de parte imaginária de z e denotamos por a = Re(z) e b = Imz, assim todo número complexo z

2.2 Geometria em C 11

• z

a

b

y

x

C

Figura 1: Representação coordenada e vetorial de z = a + ib.

Assim, o número complexo z pode ser visto tanto como o ponto coordenado (a, b) no plano ou como o vetor (a, b). Assim, podemos definir a distância entre dois números complexos z 1 e z 2 por |z 1 − z 2 |.

2.2.1 A desigualdade triangular

A norma complexa tem uma propriedade muito importante, que é a chamada desi- gualdade triangular, que enunciamos e demonstramos a seguir.

Proposição 2.2.3 (Desigualdade triangular). Sejam z 1 , z 2 ∈ C. Temos

|z 1 + z 2 | 6 |z 1 | + |z 2 |.

Demonstração: Sabemos que

|z 1 + z 2 |^2 = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 1 z 2 + z 2 z 2 = |z 1 |^2 + z 1 z 2 + z 1 z 2 + |z 2 |^2 = |z 1 |^2 + 2Re(z 1 z 2 ) + |z 2 |^2 6 |z 1 |^2 + 2|Re(z 1 z 2 )| + |z 2 |^2 6 |z 1 |^2 + 2|z 1 ||z 2 | + |z 2 |^2 = (|z 1 | + |z 2 |)^2 ,

o que mostra o resultado. Usando a desigualdade triangular, podemos ver também que |z 1 − z 2 | 6 |z 1 | + |z 2 |.

Proposição 2.2.4. Para quaisquer z 1 , z 2 ∈ C, temos |z 1 − z 2 | > ||z 1 | − |z 2 ||.

12 O corpo C dos números complexos e o plano complexo

Demonstração: Temos

|z 1 | = |z 1 − z 2 + z 2 | 6 |z 1 − z 2 | + |z 2 |,

utilizando o item (i) do exercício anterior. Assim

|z 1 | − |z 2 | 6 |z 1 − z 2 |.

Analogamente, obtemos |z 2 | − |z 1 | 6 |z 1 − z 2 |, e juntas estas desigualdades nos dão

|z 1 − z 2 | > ||z 1 | − |z 2 ||.

O exemplo abaixo ilustra um pouco da teoria de lugar geométrico, e será muito útil no Capítulo 4.

Exemplo 2.2.5. Mostre que se ρ > 0 e ρ 6 = 1, então o conjunto Γ dos pontos de C que satisfazem a equação

|z − z 0 | = ρ|z|, para um z 0 ∈ C fixado ,

é um círculo.

Solução: Vamos supor que ρ > 1 (o caso ρ < 1 é inteiramente análogo). Assim temos

|z − z 0 |^2 = ρ^2 |z|^2 ,

e assim temos |z|^2 − 2Re(zz 0 ) + |z 0 |^2 = ρ^2 |z|^2.

Usando que ρ > 1 podemos definir α = 1. −ρ^2 e reescrever a equação acima da seguinte maneira |z|^2 − (^) α^2 Re(zz 0 ) + α^1 |z 0 |^2 = 0,

o que, somando e subtraindo o termo |z α^02 |^2 nos dá

∣∣ ∣z^ −^ z 0 α

2 = |z|^2 − 2 α Re(zz 0 ) + |z^0 |

2 α^2 = ρ

2 α^2 |z 0 |^2 ,

que é a equação de um círculo de centro z α^0 e raio (^) |αρ| |z 0 |.

14 O corpo C dos números complexos e o plano complexo

Para a segunda parte, como z 1 6 = 0 temos r 1 = |z 1 | > 0 e ainda

z− 1 1 = z^1 |z 1 |^2

=^1

r^21 r 1 (cos θ − i sin θ)

= r− 1 1 (cos(−θ) + i sin(−θ)) = r 1 − 1 e−iθ.

Utilizando esta proposição indutivamente, obtemos a seguinte expressão para potên- cias de números complexos, cuja demonstração segue diretamente da proposição anterior.

Proposição 2.3.2. Para cada z = reiθ^ ∈ C e n ∈ Z∗ + temos

zn^ = rneinθ. (2.3.1)

Além disso, se z 6 = 0, esta expressão é válida para todo n ∈ Z.

Ainda, como consequência direta da expressão (2.3.1) obtemos a fórmula de de Moivre (isto mesmo, são dois ‘de’)

(eiθ^ )n^ = einθ, para todo n ∈ Z.

2.3.1 Igualdade de números complexos na representação polar

Sabemos como lidar com a igualdade de números complexos em coordenadas cartesi- anas, agora vamos ver como isto se comporta em coordenadas polares.

Proposição 2.3.3. Sejam z 1 = r 1 eiθ^1 e z 2 = r 2 eiθ^2 números complexos. Então z 1 = z 2 se, e somente se, r 1 = r 2 e θ 1 = θ 2 + 2mπ, para algum m ∈ Z.

Demonstração: Sabemos que

z 1 = r 1 cos θ 1 + ir 1 sin θ 1 e z 2 = r 2 cos θ 2 + i sin θ 2 ,

e da igualdade de números complexos, temos

r 1 cos θ 1 = r 2 cos θ 2 e r 1 sin θ 1 = r 2 sin θ 2 ,

logo, como r 1 = |z 1 | = |z 2 | = r 2 , temos r 1 = r 2 e

cos θ 1 = cos θ 2 e sin θ 1 = sin θ 2 ,

o que implica que existe m ∈ Z tal que θ 1 = θ 2 + 2mπ. A recíproca é trivial.

2.3 Representação polar em C 15

2.3.2 Raízes de números complexos

Suponhamos que temos n > 2 e w = reiθ^6 = 0 um número complexo dado. Quantas possíveis soluções a equação zn^ = w possui? Tendo em vista a expressão (2.3.1), sabemos que uma solução é dada por z = r 1 n^ ei^ nθ^. Mas esta claramente não é a única solução, e de fato, todos os números

zk = r n^1 ei^ θ+2^ nkπ^ , para 0 6 k 6 n − 1 (2.3.2)

são soluções de zn^ = w.

Proposição 2.3.4. Os números complexos dados em (2.3.2) são as únicas soluções da equação zn^ = w.

Demonstração: Já sabemos que todos os zk, k = 0, · · · , n − 1 são soluções da equação zn^ = w. Agora seja z 1 = r 1 eiθ^1 uma solução qualquer de zn^ = w. Temos que zn 1 = rn 1 einθ^1 e assim temos rn 1 = r e nθ 1 = θ + 2mπ, para algum m ∈ Z, portanto

z 1 = r n^1 ei^ θ+2^ nmπ^ ,

e claramente podemos tomar 0 6 m 6 n − 1 , o que conclui a demonstração.

Capítulo

Funções de uma variável complexa

Este capítulo é dedicado ao estudo das funções de variável complexa, que é muito mais rico do que simplesmente funções de R^2 a R^2 , como vamos a ver no que segue.

3.1 Definições básicas

No que segue vamos considerar G ⊆ C e f : G → C uma função. Dizemos então que f é uma função complexa de uma variável complexa, ou simplesmente, uma função complexa.

Exemplo 3.1.1.

1. Seja f : C → C dada por f (z) = z^2 + iz. Temos neste caso f (0) = 0, f (i) = i^2 + i · i = 2i^2 = − 2 , e assim por diante.
2. f : C → C dada por f (z) = i.
3. Fixe w ∈ C e considere f : C \ {w} → C dada por f (z) = (^) z−^1 w.

O conjunto G é chamado domínio de f , e o conjunto f (G) dos pontos {f (z) : z ∈ G} ⊆ C é chamado de imagem de G por f. Quando nada é especificado, assumimos que o domínio da função f é o maior subconjunto de C no qual f está bem definida. Por exemplo, considerando f (z) = (^) z 2 z+1 , o domínio de f é o C \ {i, −i}; uma vez que z^2 + 1 é 0 para z = ±i. Claramente, como R ⊆ C, toda função real pode ser vista como uma função complexa. Além disso, as funções complexas podem ser vistas como funções definidas no plano, da seguinte maneira: seja f : G → C uma função complexa. Se escrevemos z = x + iy e

18 Funções de uma variável complexa

f (z) = u + iv, podemos olhar a função f como uma função de duas variáveis, dada por

f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y).

A função u é chamada de parte real de f , enquanto a função v é chamada de parte imaginária de f

Exemplo 3.1.2. Encontre as partes real e imaginária da função f (z) = z^2 + iz. Escrevendo z = x+iy, temos f (x+iy) = (x+iy)^2 +i(x+iy) = x^2 −y^2 −y +i(2xy +x), logo temos u(x, y) = x^2 + y^2 − y e v(x, y) = 2xy − x.

3.1.1 A função exponencial

Consideremos a função f : C → C definida da seguinte maneira: escrevendo z = x+iy, definimos f (x + iy) = exeiy^ = ex(cos y + i sin y),

que denotamos por f (z) = ez^. Tal função é chamada de função exponencial complexa. Como ex^ > 0 para todo x ∈ R, vemos que ez^6 = 0, para todo z ∈ C. Ainda, suas partes real e imaginária são, respectivamente u(x, y) = ex^ cos y e v(x, y) = ex^ sin y. Temos também que |ez| = ex^ = eRe(z), para todo z ∈ C; logo |eiy| = 1 para todo y ∈ R.

Proposição 3.1.3. Para todos z 1 , z 2 ∈ C, temos

ez^1 +z^2 = ez^1 ez^2.

Demonstração: Escrevemos z 1 = x 1 + iy 1 e z 2 = x 2 + iy 2 , temos

ez^1 +z^2 = ex^1 +x^2 ei(y^1 +y^2 ) = ex^1 ex^2 eiy^1 eiy^2 = ex^1 eiy^1 ex^2 eiy^2 = ez^1 ez^2 ,

aonde utilizamos a propriedade da exponencial real e a Proposição 2.3.1. Uma curiosidade interessante a respeito da exponencial complexa é que ela é periódica, uma vez que ez+2iπ^ = ez^ , para todo z ∈ C. Logo ela é periódica com período imaginário puro 2 iπ.

3.2 Limites

Definição 3.2.1. Dizemos que o limite de uma função complexa f quando z tende a z 0 é L, e denotamos por

z^ lim→z 0 f^ (z) =^ L,