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Notas Teóricas
Tipologia: Notas de estudo
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Notas te´oricas
Patr´ıcia Santos
INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE COIMBRA DEPARTAMENTO DE F´ISICA E MATEM ATICA´
2014/
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Func¸ ˜oes cotangente, secante e cossecante: cot(x) = cos sin((xx)) ; sec(x) = (^) cos^1 (x) ; csc(x) = (^) sin^1 (x).
Propriedades da cotangente, secante e cossecante:
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Do c´ırculo trigonom´etrico deduz-se facilmente a f´ormula fundamental da trigonometria,
sin^2 (x) + cos^2 (x) = 1.
Dividindo a igualdade por um dos elementos cos^2 (x) ou sin^2 (x), obt´em-se, respetivamente:
tan^2 (x) + 1 = sec^2 (x) cot^2 (x) + 1 = csc^2 (x)
Angulos sim´^ ˆ etricos: As func¸ ˜oes seno e cosseno s˜ao, respetivamente, ´ımpar e par.
sin(−x) = − sin(x) cos(−x) = cos(x)
Angulos complementares:^ ˆ sin( π 2 − x) = cos(x) cos( π 2 − x) = sin(x)
Angulos suplementares:^ ˆ sin(π − x) = sin(x) cos(π − x) = − cos(x)
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F´ormulas da soma e da diferenc¸a de dois ˆangulos:
sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y) cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y) tan(x ± y) = 1 tan∓tan(x)(±x)tan tan((yy))
F´ormulas de duplicac¸ ˜ao dos ˆangulos:
sin( 2 x) = 2 sin(x) cos(x) cos( 2 x) = cos^2 (x) − sin^2 (x)
F´ormulas da bissecc¸ ˜ao: cos^2 (x) = 1 +cos 2 (^2 x) sin^2 (x) = 1 −cos 2 (^2 x).
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Seja f : A → B um func¸ ˜ao bijetiva (i.e. injetiva e sobrejetiva). Diz-se que a func¸ ˜ao g : B → A e´ inversa de f se verifica as condic¸ ˜oes:
A func¸ ˜ao inversa de f representa-se por f −^1. NOTA: f −^1 (x) ̸= 1 f (x)
Os gr´aficos de uma func¸ ˜ao e da sua inversa s˜ao sim´etricos relativamente `a bissectriz dos quadrantes ´ımpares y = x.
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As func¸ ˜oes trigonom´etricas s˜ao peri´odicas, de modo que n˜ao s˜ao injetivas. Para definir a func¸ ˜ao inversa de uma func¸ ˜ao trigonom´etrica ´e necess´ario restringi-la a um intervalo conveniente.
Geralmente s˜ao utilizadas as seguintes restric¸ ˜oes (principais):
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Considere-se a restric¸ ˜ao da func¸ ˜ao sin(x) ao intervalo I = [−π/ 2 , π/ 2 ]:
A func¸ ˜ao inversa de sin(x) em I arcsin : [− 1 , 1 ] −→ [−π/ 2 , π/ 2 ] x 7 −→ y = arcsin(x), tal que , y = arcsin(x) ⇔ sin(y) = x.
Da definic¸ ˜ao de func¸ ˜ao inversa obtˆem-se as seguintes igualdades:
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Determine a func¸ ˜ao inversa da restric¸ ˜ao de f (x) = 2 cos( 3 x) a um dom´ınio de injetividade, (neste contexto, dom´ınio de injetividade significa intervalo m´aximo de injetividade).
Resoluc¸ ˜ao
Portanto, a func¸ ˜ao inversa de g = f |D e´
g−^1 : [− 2 , 2 ] −→ [ 0 , π 3 ] y 7 −→ 13 arccos( y 2 ).
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Suponhamos a, b > 0 e a, b ̸= 1.
1 .. a^0 = 1 2 .. (ax)y^ = axy 3 .. axay^ = ax+y 4 .. a
x ay^ =^ a
x−y 5 .. axbx^ = (ab)x 6 .. a
x bx^ = (^
a b )
x
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f : IR+^ −→ IR x 7 −→ loga(x), com a > 0 ∧ a ̸= 1 , tal que, y = loga(x) ⇔ ay^ = x.
Figura: logxe− 1 , log 0. 5 (x) base 0 < a < 1 Figura: ln(x), log 2 (x)^ base^ a^ >^1
Propriedades da func¸ ˜ao logaritmo: dom´ınio IR+; contradom´ınio IR; injetiva; cont´ınua.
