Baixe Resolução de Sistemas Lineares: Método de Gauss-Seidel e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
Cal ulo Numeri o
Prova 02 { 01/10/1996 { www.ime.usp.br/~roma.
Quest~ao 1.
Deseja-se resolver o sistema linear
8 >> >> <
3 : 0 x 1 x 2 = 5
1 : 5 x 1 + 4 : 0 x 2 = 1
3 : 4 x 3 1 : 8 x 4 = 2
x 3 + 2 : 0 x 4 = 7
5 : 0 x 1 + 1 : 2 x 2 2 : 0 x 3 + x 4 x 5 = 4
p elo Meto do de Gauss-Seidel.
- Veri que se o sistema linear a ima satisfaz o Criterio das Linhas. Justi que.
- O sistema linear a ima satisfaz o Criterio de Sassenfeld? Justi que.
- Mostre, sem efetuar as itera~oes, que o Meto do de Gauss-Seidel apli ado ao sistema
linear a ima onverge.
- Efetue uma itera~ao do Meto do de Gauss-Seidel usando aritmeti a de tr^es algarismos
signi ativos e aproxima~ao ini ial da solu~ao X (0)^ = (0; 0 ; 0 ; 0 ; 0).
- Sem onhe er a solu~ao exata do sistema e sab endo ap enas que esta p erten e ao on-
junto [0; 2℄ [ 1 ; 0℄ [0; 2℄ [0; 3℄ [0; 1℄, delimite o erro ometido na segunda itera~ao
em ada uma das variaveis x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , resp e tivamente x
1 ,^ x
2 ,^ x
3 ,^ x
- Sem onhe er a solu~ao exata do sistema, mostre que o erro x
5 ometido^ na^ segunda itera~ao na variavel x 5 e tal que
j x
5 j^5 j^ x
1 j^ +1:^2 j^ x
2 j^ +2^ j^ x
3 j^ +^ j^ x
4 j^ :
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Solu~ao:
Es revendo o sistema dado utilizando matrizes temos:
0 B B B B 3 : 0 1 : 0 0 0 0
1 : 5 4 : 0 0 0 0
0 0 3 : 4 1 : 8 0
0 0 1 2 : 0 0
5 : 0 1 : 2 2 : 0 1 1
1 C C C C A
0 B B B B
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
1 C C C C A
0 B B B B
1 C C C C A
- Como aii 6 = 0, i=1,2,3,4,5, p o demos apli ar o Criterio das Linhas.
Veri quemos se
X^5
j = j 6 =i
jaij j < jaii j, i=1,2,3,4,5.
Para i=5, temos:
X^5
j = j 6 =i
jaij j > jaii j, p ois ja 51 j + ja 52 j + ja 53 j + a 54 j > ja 55 j
Portanto, o Criterio das Linhas n~ao e satisfeito
- O sistema dado n~ao satisfaz o Criterio de Sassenfeld, p ois:
1 =^
X^5
j =
ja 1 j j =
2 =^
h (^) X^1
j =
ja 2 j j (^) j +
X^5
j =
ja 2 j j
i
h (1:5)
i
3 =^
h (^) X^2
j =
ja 3 j j (^) j +
X^5
j =
ja 3 j j
i
=
h
(1:8) + 0 + 0 + 0
i
=
4 =^
h (^) X^3
j =
ja 4 j j (^) j +
X^5
j =
ja 4 j j
i
=
h
(1
i
=
5 =^
h (^) X^4
j =
ja 5 j j (^) j
i = 5
Portanto,
M = max 1 i 5
i =^
M > 1 e o Criterio de Sassenfeld n~ao e satisfeito.
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x
(k +1) n =^
ann
h b 2 a 21 x
(k +1) 1 ^ an^2 x
(k +1) 2 ^ ^ ^ ^ ^ an;n ^1 xn^ ^1
(k +1)
i
Assim:
x
1 =^
[5 x
2 ℄^ =^0 :333[5^ ^ 0℄^ =^1 :^67
x
2 =^
[ 1 1 : 5 x
1 ℄^ =^0 :250[ ^1 ^1 :5(1:67)℄^ =^ ^0 :^878
x
3 =^
[2 + 1 : 8 x
4 ℄^ =^0 :294(2^ +^1 :8(0))^ =^0 :^588
x
4 =^
[7 x
3 ℄^ =^ (0:5)(7^ ^0 :588)^ =^3 :^21
x
5 =^ [ ^4 +^5 :^0 x
1 +^1 :^2 x
2 ^2 :^0 x
3 +^ x
4 ℄^ =
= [ 4 + 5 :0(1:67) + 1 :2( 0 :878) 2 :0(0:588) + 3 :21℄ = 5 : 33
Apos uma itera~ao temos:
x(1)^ = (1: 67 ; 0 : 878 ; 0 : 588 ; 3 : 21 ; 5 :33)
- x
k + 1 =^
3 [5^ ^ x
(k ) 2 ℄;^ x^1 =^
3 [5^ ^ x^2 ℄ x
k + 2 =^
4 [ ^1 ^1 :^5 x
(k +1) 1 ℄;^ x^2 =^
4 [ ^1 ^1 :^5 x^1 ℄ xk 3 +1= 1 3 : 4
[2 + 1 : 8 x
(k ) 4 ℄;^ x^3 =^
[1 + 1 : 8 x 2 ℄
x
k + 4 =^
2 [7^ ^ x
(k +1) 3 ℄;^ x^4 =^
2 [7^ ^ x^3 ℄ x
k + 5 =^ [ ^4 +^5 x
k + 1 +^1 :^2 x
k + 2 ^2 x
k + 3 +^ x
k + 4 ℄ x 5 = [ 4 + 5 x 1 + 1 : 2 x 2 2 x 3 + x 4 ℄
x
(k ) i =^ xi^ ^ x
(k ) i
Para um sistema 2x2 tem-se que
x
(k +1) i =^
h a 12 a 21
a 11 a 22
i(k +1) x
i i^ =^1 ;^2 ;
Ent~ao trabalhando nos sistemas desa oplados, temos:
x
1 =^
h 1(1:5) 3 4
i (^2)
x
1 =^ (0:015625)(^ x^1 ^ x
1 );^ x^2 2 [0;^ 2℄;^ x
1 =^0
x
1 ^ (0:015625)(2^ ^ 0)^ =^0 :^03125
x
2 =^
h 1(1:5) 3 4
i (^2) x
2 =^ (0:015625)(^ x^2 ^ x
2 );^ x^2 2 [ ^1 ;^ 0℄;^ x
2 =^0
x
2 ^ (0:015625)(2^ ^ ( 1))^ =^0 :^015625
x
3 =^
h 1( 1 :8) 2(3:4)
i 2 x
3 =^ (0:070069)(^ x^3 ^ x
3 );^ x^3 2 [0;^ 2℄;^ x
3 =^0
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x
3 ^ (0:070069)(2^ ^ 0)^ =^0 :^140138
x
4 =^ (0:070069)(^ x^4 ^ x
4 );^ x^4 2 [0;^ 3℄;^ x
4 =^0
x
4 ^ (0:070069)(3^ ^ 0)^ =^0 :^210207
x
5 =^ 5x
1 +^1 :2x
2 +^ 2x
3 +^ x
Assim:
j x
5 j=j^ 5x
1 +^1 :2x
2 +^ 2x
3 +^ x
4 j
j x
5 j^5 j^ x
1 j^ +1:^2 j^ x
2 j^ +2^ j^ x
3 j^ +^ j^ x
4 j j x
5 j^5 ^0 :^03125 +^1 :^2 ^0 :^015625 +^2 ^0 :^140138 +^0 :^210207 =^0 :^6655467 Portanto,
j x
5 j^0 :^6655467
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Caso os elementos de r (0)^ n~ao estivessem em p onto utuante om 2 algarismos signi -
ativos, eles deveriam ser onvertidos para esta pre is~ao (pre is~ao simples).
Efetuando sobre r (0)^ as mesmas op era~oes empregadas na triangulariza~ao damatriz A,
ou seja, to das as tro as de linhas indi adas p or pi em seguida os al ulos usando os
multipli adores, temos:
r
p 1 = =)
p 2 = =)
multipli ador es da 1 a:^ etapa =)
multipli ador es da 2 a:^ etapa =)
E o sistema triangular A =r a ser resolvido e:
2
2 : 0 1 : 0 3 : 0 j 0 : 1
2 : 6 3 : 3 j 0 : 02
0 : 6 j 0 : 038
Portanto:
3 =^ ^0 :^06
2 =^ ^0 :^072
1 =^0 :^081
Isto e,
e a primeira solu~ao re nada e:
x
= x
Ou seja:
x(1)^ = (9: 5 ; 5 : 8 ; 4 :1)
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- As varia~oes relativas s~ao dadas p or:
v
(k ) i =^
x
(k ) i ^ x
(k 1) i
x
(k ) i
; se x
(k ) i 6 =^0
0 ; se x
(k ) i =^ x
(k 1) i =^0 1 ; se x
(k ) i =^0 e^ x
(k 1) i 6 =^0
Portanto,
v
1 =^
x
1 ^ x~^1
x
v
2 =^
x
2 ^ x~^2
x
v
3 =^
x
3 ^ x~^3
x
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Freq uen temente, existem varias formas de se resolver um mesmo exer io. As sugest~oes apresentadas
aqui foram elab oradas p or Olga Harumi Saito e Nelson Leonardo Vidaurre Navarrete, alunos de pos-
gradua~ao ins ritos no PAE, IME-USP, ob jetivando a lareza da exp osi~ao. Este gabarito p o de ser obtido
gratuitamente via Internet seguindo os links apropriados a partir de www.ime.usp.br/~roma. Junho/2000.
