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Cal ulo Numeri o
Prova 03 { 29/11/1999 { www.ime.usp.br/~roma.
Quest~ao 1 (3.0 p ontos):
Seja F (x) =
R
x
e
os(y )
dy.
a) Use o Meto do de n-trapezios para al ular os valores F (1), F (2) e F (3) om erro
menor que 10
(justi que a es olha dos valores de n). (Dado: o erro na integra~ao
p or n-trapezios e limitado p or max x 2 [a;b℄
(b a)
12 n
jf
(x)j).
b) Determine o p olin^omio interp olador (de grau menor ou igual a 3) de F nos p ontos 0,
1, 2 e 3 (usando os valores al ulados no tem a)).
Solu~ao:
a) Sab emos que o erro na integra~ao p elo Meto do dos n-Trapezios e limitado p or
jE T
j
(b a)
12 n
max
x 2 [a;b℄
jf
(x)j:
Vamos a har uma delimita~ao para esse erro. Temos
f (x) = e
os (y )
=) f
(x) = sin(x)e
os (x)
=) f
(x) = (sin
(x) os(x))e
os (x)
= (1 os(x) os
(x))e
os (x)
=) jf
(x)j =
os(x) +
e
os(x)
=) max
x 2 [a;b℄
jf
(x)j max
x 2 [a;b℄
os (x) +
: max
x 2 [a;b℄
e
os (x)
e:
Logo,
jE T
j
5(b a)
48 n
e:
Temos 3 asos.
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i) b = 1.
48 n
e 0 : 01 =) 5 : 32 n =) n = 6 :
Apli ando o Meto do dos n-Trapezios para f , om n = 6, temos que
F (1) =
Z
e
os(y )
dy
h
f 0
X
i=
f i
om h =
; f i
= f (x i
); x i
= ih; i = 0 ; ; 6.
ii) b = 2.
48 n
8 e 0 : 01 =) 15 : 05 n =) n = 16 :
Apli ando o Meto do dos n-Trapezios para f , om n = 16, temos que
F (2) =
Z
e
os (y )
dy
h
f 0
X
i=
f i
om h =
; f i = f (x i ); x i = ih; i = 0 ; ; 16.
iii) b = 3.
48 n
27 e 0 : 01 =) 27 : 65 n =) n = 28 :
Apli ando o Meto do dos n-Trapezios para f , om n = 28, temos que
F (3) =
Z
e
os (y )
dy
h
f 0
X
i=
f i
om h =
; f i
= f (x i
); x i
= ih; i = 0 ; ; 28.
b) onsiderando os dados do tem a), montamos a tab ela de diferenas divididas
i x i
F (x i
Logo, o p olin^omio interp olador de F nos p ontos 0, 1, 2 e 3 e
p 3
(x) = 2 : 33824 x 0 : 611445 x(x 1) + 0 : 0965267 x(x 1)(x 2):
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3(x 1
B
B
0 h 2 h 3 h
h
0 0 2 h
6 h
h
0 0 0 6 h
h
C
C
A
Resolvendo o sistema, temos
a 1
; a 2
; a 3
; a 4
No aso geral, onsideremos p 2 P 3
, ent~ao
p(x) =
X
k =
k
p k
(x); k
2 R ; k = 0 ; 1 ; 2 ; 3 :
Logo, temos
p
x 2
x 2
x 2
x 2
(a 1
(a 1
x 1
x 2
x 3
x 4
(a 1
x
x
x
x
(a 1
x
x
x
x
= a 1
x 1
x
x
| {z }
p(x 1
x 2
x
x
| {z }
p(x 2
a 3
x 3
x
x
| {z }
p(x 3
x 4
x
x
| {z }
p(x 4
X
i=
a i p(x i
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Quest~ao 3 (2.5 p ontos):
No al ulo de
R
b
a
f (x)dx om o Meto do de 1-trapezio obtemos o valor
, om o Meto do de
2-trapezios obtemos o valor
e om 4-trapezios
. Determine que valores se obtem ao se
al ular a integral p elos meto dos de Simpson e 2-Simpsons.
Solu~ao:
Temos os seguintes dados
1-Trapezio:
f 0
(4h) =
=) f 0
3 h
2-Trapezios:
f 0
(2h) =
=) f 2
4 h
4-Trapezios:
f 0
h =
=) f 1
420 h
Por 1-Simpson, temos
Z
b
a
f (x)dx
(2h)
(f 0
2 h
3 h
h
Por 2-Simpsons, temos
Z
b
a
f (x)dx
(h)
(f 0
h
3 h
420 h
4 h
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Freq uen temente, existem varias formas de se resolver um mesmo exer io. As sugest~oes apresentadas
aqui foram elab oradas p or Olga Harumi Saito e Nelson Leonardo Vidaurre Navarrete, alunos de pos-
gradua~ao ins ritos no PAE, IME-USP, ob jetivando a lareza da exp osi~ao. Este gabarito p o de ser obtido
gratuitamente via Internet seguindo os links apropriados a partir de www.ime.usp.br/~roma. Junho/2000.
