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Quest˜oes Do Sucesso
Setembro 2019
Este conjunto de quest˜oes, tem por objetivo ajudar vocˆes a compreenderem melhor a escrita matem´atica e a resolu¸c˜ao de alguns exerc´ıcios importantes a serem estudados, estarei a disposi¸c˜ao de vocˆes para ajudar e tirar qualquer duvida a respeito desses e de outros mais.
- Mostre que 12 + 2^2 + · · · + n^2 =
n(n + 1)(2n + 1) 6 para todo n ∈ N RESOLUC¸ AO:˜ Provaremos isso usando o principio de indu¸c˜ao finita, desta forma devemos primeiramente provar que a propriedade ´e valida para n = 1, isto ´e:
Agora suponha que a propriedade ´e valida para algum k ∈ N, ou seja:
12 + 2^2 + · · · + k^2 = k(k + 1)(2k + 1) 6
hip´otese de indu¸c˜ao(H.I)
Usando a H.I provemos que a propriedade ´e valida para k + 1, para isto iremos desenvolver um lado da igualdade e chegar no outro:
12 + 2^2 + · · · + k^2 + (k + 1)^2
k(k + 1)(2k + 1) 6
k(k + 1)(2k + 1) 6
(^2) · 6 6 =
k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)^2 · 6 6
(k + 1)[k(2k + 1) + (k + 1)6] 6
(k + 1)[2k^2 + 7k + 6] 6
fazer Bhaskara :)
(k + 1)(k + 2)(2k + 3) 6
Portanto pelo P.F.I provamos o que quer´ıamos demonstrar.
- Seja p um n´umero primo, provemos que
p ´e um n´umero irracional. RESOLUC¸ AO:˜ Iremos desenvolver essa demonstra¸c˜ao por absurdo, para isto suponha que √ p ´e um numero racional, ou seja,
p =
k q
, onde k,q ∈ Z e k,q s˜ao n˜ao nulos e mdc(k,q)=1, ent˜ao:
√ p =
k q
elevando ambos os lados ao quadrado
fazendo meio pelos extremos
p =
k^2 q^2
p · q^2 = k^2 (1)
Usando as propriedades vistas em aula sabemos que se p · q^2 = k^2 ent˜ao existe j ∈ Z tal que j · p = k, em outras palavras se p divide k^2 ent˜ao p
Observe que temos como hip´otese que x^2 = y^2 ent˜ao usemos isso para provar o que queremos.
x^2 = y^2 x^2 − y^2 = 0 (x − y)(x + y) = 0 como Z ´e dom´ınio de integridade temos que x − y = 0 x + y = 0 x = y x = −y
Assim demonstramos o que quer´ıamos.
- Mostre que 0 (zero) ´e o ´unico n´umero inteiro que seu sim´etrico ´e ele mesmo.
RESOLUC¸ AO:˜ Primeiro provemos que zero ´e sim´etrico de si mesmo:
0 + a = 0 onde a ´e o sim´etrico de 0 a = 0 portanto o sim´etrico de zero ´e ele mesmo
Agora provemos que ele ´e o ´unico com esta propriedade, para isto suponha por absurdo que existe um elemento a ∈ Z e a 6 = 0, tal que a ´e sim´etrico de si mesmo, ent˜ao:
a + a = 0 2 a = 0 como Z ´e dom´ınio de integridade a = 0 ou 2 = 0
O que ´e um absurdo, portanto 0 ´e ´unico elemento em Z tal que ´e sim´etrico dele mesmo.
- sejam a,b,c e d n´umeros inteiros positivos. Mostre que :
(A) Se
a b
c d ent˜ao
d b
c a (B) Se existe p ∈ Z com p > 0 tal que
a b
a + p b + p
ent˜ao a = b
RESOLUC¸ AO:˜
(A)
sabemos que a b
c d
ent˜ao pela compatibilidade
do produto multiplique ambos os lados por
d a a · d b · a
c · d d · a
d b
c a
portanto provamos o que quer´ıamos
(B)
sabemos que
a b
a + p b + p
ent˜ao pela compatibilidade
do produto multiplique ambos os lados por b · (b + p)
a · b · (b + p) b
b · (b + p) · (a + p) (b + p)
a · b + a · p = a · b + a · p
usando lei do corte da soma e depois do produto(p > 0) a = b
portanto provamos o que quer´ıamos
- Seja m, n n´umeros naturais maior tais que m > 1. Use o princ´ıpio da boa ordena¸c˜ao para provar que se n < m ent˜ao n + 1 ≤ m RESOLUC¸ AO:˜ Construiremos esta demonstra¸c˜ao usando o Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao (P.B.O), para isto construa o conjunto S = {h ∈ N : n < h}, agora observe que S 6 = ∅ pois m ∈ S, essa informa¸c˜ao foi dada pela quest˜ao, da´ı pelo P.B.O existe um menor elemento de S,note que esse menor elemento ´e n + 1 pois n˜ao existe n´umero natural k tal que n < k < n + 1(demonstrem
Agora notem que o que queremos ´e:
(1 + x)k+1^ ≥ (1 + kx + x)
Usando e desenvolvendo a hip´otese de indu¸c˜ao sabemos que:
(1 + x)k^ ≥ (1 + kx)
multiplicando (1+x) em ambos os lados, temos:
(1 + x)k+1^ ≥ (1 + kx + x + kx^2 )
Observe que kx^2 > 0, logo (1+kx+x+kx^2 ) ≥ (1+kx+x). Sabendo disso ((1 + x)k+1^ ≥ (1 + kx + x + kx^2 ) ≥ (1 + kx + x)) temos por transitividade que (1 + x)k+1^ ≥ (1 + kx + x) como quer´ıamos demonstrar.
- Racionalize as express˜oes abaixo.
(A)
(B)
RESOLUC¸ AO:˜
(Observa¸c˜ao para o leitor: eu estou cansado por isso n˜ao irei escrever muito nesta quest˜ao pois trata-se de uma quest˜ao de fazer as contas) Para racionalizar basta encontrar o n´umero (sempre ser´a o n´umero 1 es- crito de uma maneira inteligente) que eu multiplico para aparecer um n´umero inteiro e n˜ao nulo no numerador. (A)
multiplicando por
temos :
E esta ´e a racionaliza¸c˜ao.
(B)
multiplicando por
temos :
simplificando chegamos em
4(
E esta ´e a racionaliza¸c˜ao.
Bom pessoal esta lista tem muito suor, lagrimas e esperan¸ca por favor estudem ela, mas fa¸cam mais alguns exerc´ıcios da lista para treinar, desde j´a agrade¸co e amo todos vocˆes :3.
