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1.1 ConstruÁ„o Axiom·tica do Corpo R
Devido ‡ sua import‚ncia fundamental, faremos aqui breves referÍncias a algumas idÈias que con- duziram ‡ construÁ„o dos n˙meros reais. Dentre as v·rias formas de construÁ„o do corpo R, preferimos ‡quela que invoca o PrincÌpio do Encaixe. O ponto de partida È o conjunto dos n˙meros naturais N = f 1 ; 2 ; 3 ; : : :g e as operaÁıes funda- mentais de adiÁ„o e multiplicaÁ„o destes n˙meros, cuja caracterizaÁ„o È estabelecida do seguinte modo axiom·tico: Axioma 1: existe uma funÁ„o injetiva s : N! N. O n˙mero natural s (n) È o sucessor de n; Axioma 2: existe um ˙nico n˙mero natural 1 2 N tal que 1 6 = s (n) ; 8 n 2 N; Axioma 3: Se um conjunto X N È tal que 1 2 X e n 2 X =) s (n) 2 X, ent„o X = N: O Axioma 3 È conhecido como PrincÌpio de InduÁ„o Finita, de larga aplicaÁ„o em matem·tica. Por exemplo, desejamos provar que:
2 + 4 + 6 + : : : + 2n = n (n + 1) ; 8 n 2 N.
Denotando essa sentenÁa por P (n), construimos o conjunto X = fn 2 N; P (n) ocorreg e com auxÌlio do Axioma 3 deduziremos que X = N. De fato: (i) P (1) È simplesmente 2 = 2 que È verdadeira! (ii) admitindo que P (n) ocorre, teremos:
2 + 4 + 6 +| {z : : : + 2n} usar P (n)
- 2 (n + 1) = n (n + 1) + 2 (n + 1) = (n + 1) (n + 2)
e isto mostra que P (n + 1) tambÈm ocorre. As operaÁıes de adiÁ„o e multiplicaÁ„o em N ser„o, agora, caractrizadas pelas sentenÁas: (i) n + 1 = s (n) ; (ii) n + s (m) = s (m + n) ; (iii) n1 = n; (iv) m (n + 1) = m n + m: A necessidade da operaÁ„o inversa da adiÁ„o conduz ‡ introduÁ„o do n˙mero zero e dos n˙meros negativos. Representamos por Z o conjunto dos inteiros
Z = f: : : ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; : : :g
ii AN¡LISE NA RETA MARIVALDO P MATOS
e este conjunto com a operaÁ„o de adiÁ„o, isto È, o par fZ; +g possui estrutura de Grupo Abeliano. Isso signiÖca que a operaÁ„o adiÁ„o "+"goza das seguintes propriedades: (i) a operaÁ„o soma (+) È associativa: (x + y) + z = x + (y + z) e comutativa: x + y = y + x, 8 x; y; z 2 Z; (ii) existe em Z um elemento neutro, isto È, um elemento 0 tal que 0 + x = x; 8 x 2 Z; (iii) todo elemento de Z tem inverso, isto È, dado x 2 Z, existe y 2 Z, tal que y + x = 0: A operaÁ„o multiplicaÁ„o () deÖnida em N estende-se de forma natural ao grupo Z. Este con- junto com as operaÁıes de adiÁ„o e multiplicaÁ„o possui estrutura de Anel Abeliano com Unidade, isto È, o terno fZ; +; g È tal que: (i) fZ; +g È um grupo abeliano; (ii) a operaÁ„o ""tem um elemento neutro, isto È, existe um elemento 1 2 Z tal que x 1 = x, 8 x 2 Z; (iii) a operaÁ„o ""È associativa: x (y z) = (x y) z e comutativa: x y = y x 8 x; y; z 2 Z; (iv) vale a lei distributiva: (x + y) z = x z + y z: A necessidade de deÖnir a operaÁ„o inversa do produto em Z leva ao aparecimento dos n˙meros racionais ou fraÁıes, cuja totalidade È representada pela letra Q. Este conjunto, equipado das operaÁıes de adiÁ„o "+"e multiplicaÁ„o "", dadas por:
a b +^
c d =^
ad + bc bd e^
a b ^
c d =^
a c bd
possui estrutura de Corpo NumÈrico, isto È, o terno fQ; +; g È um anel abeliano com unidade e o par fQn f 0 g ; g um grupo. No corpo algÈbrico Q, È sempre possÌvel dividir um elemento qualquer b por outro elemento a 6 = 0; devido ‡ equaÁ„o ax = b ter soluÁ„o x = ba ^1 , onde a ^1 representa o inverso multiplicativo de a: Notamos, ainda, que no corpo Q n„o se pode dividir por zero, porque a equaÁ„o 0 x = b È impossÌvel, no caso em que b 6 = 0 (isso È consequÍncia do fato 0 x = 0; 8 x 2 Q): Para ordenar o corpo Q, consideremos em Q um subconjunto Q+, denominado conjunto dos elementos positivos de Q, o qual goza das propriedades: (i) se x; y 2 Q+, ent„o x + y e x y 2 Q+; (ii) dado x 2 Q, ocorre apenas uma das alternativas: ou x = 0 ou x 2 Q+^ ou x 2 Q+: ( x representa o inverso aditivo (simÈtrico) de x e a soma x + ( y) anota-se x y, que È a diferenÁa entre x e y:
iv AN¡LISE NA RETA MARIVALDO P MATOS
superiormente e inferiormente. Nesse caso, È claro, inf X sup X:
1.1.1 Exemplo Fundamental
O conjunto N dos n˙meros naturais È limitado inferiormente em Q, tendo o n˙mero 1 como mÌnimo. Ali·s, qualquer parte n„o vazia X N possui mÌnimo, ao qual nos referimos como primeiro elemento. Para mostrar que N n„o È limitado superiormente em Q, mostremos que dado p=q 2 Q existe n 2 N tal que n > p=q. Se p=q 0 , consideramos n = 1; se p=q > 0 ; n„o h· perda de generalidades em admitir p; q > 0 e, neste caso, consideramos n = p + 1 e obtemos:
p q <
p + 1 q ^ p^ + 1 =^ n: O fato de ser N n„o limitado superiormente em Q È uma propriedade intrÌnseca do corpo Q. Existem corpos ordenados mais gerais onde N È limitado superiormente. Por exemplo, consideremos o corpo Q (t) das funÁıes racionais com coeÖcientes inteiros e denominador n„o identicamente nulo, onde deÖnimos os elementos positivos de Q (t) como aquelas funÁıes racionais p (t) =q (t) tais que o coeÖciente do termo de maior grau do polinÙmio p (t) q (t) È positivo. O elemento p (t) = t È um majorante do conjunto N, uma vez que, p (t) n = t n È uma funÁ„o racional positiva. Com o exemplo fundamental estabelecemos uma propriedade adicional do corpo Q, denomi- nada propriedade arquimediana: dados x; y 2 Q+, existe n 2 N tal que nx > y: Essa propriedade È facilmente comprovada, tendo em vista que N n„o È limitado superiormente em Q. … oportuno observar que o corpo ordenado Q (t) referido acima e noqual N È limitadao superiormente n„o È arquimediano. O corpo Q, alÈm de ordenado e arquuimediano, possui a propriedade de densidade, isto È, dados a; b 2 Q com a < b, existe c 2 Q tal que a < c < b. De fato, sendo a < b, ent„o:
a + a < a + b < b + b =) (1 + 1) a < a + b < (1 + 1) b =) a < a 1 + 1^ +^ b < b:
Esta propriedade de densidade permite escolher em Q elementos t„o prÛximos quanto desejarmos de outro elemento previamente escolhido e, assim, deÖnir a mais importante noÁ„o da An·lise Matem·tica, a noÁ„o de limite na sua forma mais simpliÖcada, que È a de limite de sequÍncia.
A medida da diagonal de um quadrado de lado 1. Ao que se sabe, foi Pit·goras quem primeiro abordou a quest„o de determinar um n˙mero x tal que x^2 = 2. Prove que esta equaÁ„o
N⁄MEROS REAIS VER√O 2009 v
n„o tem soluÁ„o em Q. A inexistÍncia de uma fraÁ„o p=q tal que (p=q)^2 = 2 deve-se ‡ propriedade de densidade do corpo Q. Embora Q contenha uma inÖnidade de pontos (n˙meros) n„o contÈm o suÖciente para medir a diagonal de um quadrado de lado 1. … necess·rio ampliar o conjunto dos racionais Q, ou seja, tapar os buracos da reta, para que esta possa servir de rÈgua graduada capaz de medir qualquer comprimento com rigor.
Assim, suporemos a existÍncia de um corpo ordenado arquimediano R, contendo Q, onde È v·lido o PrincÌpio do Encaixe, utilizado em algumas literaturas para a caracterizaÁ„o axiom·tica dos n˙meros reais. A propriedade arquimediana do corpo R È decisiva na comprovaÁ„o de que 1 =n torna-se arbitrariamente prÛximo de zero, ‡ medida que o n˙mero natural n cresce. Traduzimos isto escrevendo 1 =n! 0 , com n! 1: O mesmo raciocÌnio se aplica a outras sucessıes a exemplo da sucess„o x= 2 n: Esta noÁ„o de convergÍncia (proximidade) ser· tratada mais tarde com bastante rigor. No momento enfatizamos o seguinte: (i) se an an+1 e bn bn+1, seja qual for n 2 N, e se bn an! 0 , ent„o para todo x 2 [an; bn] tem-se an se aproxima de x pela esquerda (anota-se: an! x ) e bn se aproxima de x pela direita (anota-se: bn! x+) (ii) se an y e an! x, percebe-se que x y:
1.1.2 Valor Absoluto e Intervalos
Dado x 2 R deÖnimos o valor absoluto ou mÛdulo de x como sendo o n˙mero real jxj = max fx; xg. … claro que jxj = x, se x 0 e jxj = x, no caso em que x < 0 : Existe uma classe importante de subconjuntos de R; denominados intervalos, com notaÁ„o e caracteÌsticas especÌÖcas. Se a e b s„o dois n˙meros reais e a < b, deÖnimos os intervalos:
[a; b] = fx 2 R; a x bg (a; + 1 ) = fx 2 R; x > ag [a; b) = fx 2 R; a x < bg [a; + 1 ) = fx 2 R; x ag (a; b] = fx 2 R; a < x bg ( 1; b] = fx 2 R; x bg (a; b) = fx 2 R; a < x < bg ( 1; b) = fx 2 R; x < bg :
Dado um intervalo limitado I com extremos a e b, o comprimento de I È o n˙mero real jb aj, que representaremos por m (I) : Um intervalo pode ser caracterizado da seguinte forma (veja o ExercÌcio 1.20): um conjunto I R È um intervalo se, e somente se, cumpre a seguinte condiÁ„o: se a; b 2 I e a < x < b, ent„o x 2 I:
N⁄MEROS REAIS VER√O 2009 vii
Corol·rio. Toda raiz racional da equaÁ„o xn^ + pn 1 xn ^1 + : : : + p 1 x + p 0 = 0, onde pk 2 Z; È necessariamente um n˙mero inteiro.
Corol·rio. p 2 n„o È um n˙mero racional.
Um n˙mero x 2 R que n„o È racional È denominado irracional e a totalidade desses n˙meros È indicada por RnQ, o conjunto dos n˙meros irracionais. Os conceitos e notaÁıes sobre cotas, supremo e ÌnÖmo estabelecikdos para um subconjunto X Q se repetem para subconjuntos do corpo R dos n˙meros reais. Assim, se X R È um subconjunto limitado superiormente, o menor dos majorantes de X È o supremo de X e È anotado sup X:
PrincÌpio do Supremo. Uma parte X R n„o vazia, limitada superiormente, tem supremo. DemonstraÁ„o. Fixemos x 2 X e seja b um majorante de X: Consideremos o intervalo I = [a; b], sendo a < x, de modo que a n„o È majorante de X: Um dos intervalos a; a+ 2 b^ ^ ou ^ a+ 2 b; b tem as mesmas caracterÌsticas do intervalo I, isto È, a extremidade superior È um majorante de X e a extremidade inferior n„o. Denotemos por I 1 = [a 1 ; b 1 ] tal intervalo. Repetindo o processo com o intervalo I 1 no lugar do intervalo I, produzimos um intervalo I 2 nas condiÁıes de I 1 e assim sucessivamente. Dessa forma, obtemos uma famÌlia de intervalos encaixados
I I 1 I 2 : : : In : : : ;
onde In = [an; bn] È tal que: (i) bn an = b 2 na! 0 e (ii) bn È majorante de X e an n„o È. Se s o ˙nico ponto comum a todos os intervalos In, ent„o an! s e bn! s e aÖrmamos que s = sup X: De fato: (a) dado x 2 X, ent„o x bn; 8 n; e fazendo n! 1, encontramos x s; (b) se s^0 for um majorante de X tem-se an s^0 ; 8 n, e fazendo n! 1, encontramos s s^0 :
PrincÌpio do ÕnÖmo. Uma parte X R n„o vazia, limitada inferiormente, tem ÌnÖmo.
CaracterizaÁ„o dos n˙meros inf X e sup X:
- Com relaÁ„o a uma cota superior de X R, as aÖrmaÁıes abaixo s„o equivalentes: (a) = sup X; (b) Dado " > 0 , existe x 2 X tal que " < x:
viii AN¡LISE NA RETA MARIVALDO P MATOS
- Com relaÁ„o a uma cota inferior de X R, as aÖrmaÁıes abaixo s„o equivalentes: (a) = inf X; (b) Dado " > 0 , existe x 2 X tal que + " > x:
Conjunto Denso. Um subconjunto X R diz-se denso em R se, dados a; b 2 R com a < b, existe c 2 X tal que a < c < b: Por exemplo, Q È denso em R. Com efeito, dados a; b 2 R com a < b, existe, pela propriedade arquimediana, um n 2 N tal que n (b a) > 1 , isto È, 1 =n < b a. Marcando na reta real os pontos da forma k (^) n^1 ; k 2 Z, a reta Öca subdividida em intervalos de comprimento (^1) n < b a e necessariamente ao menos um ponto da forma kn Öcar· entre a e b: Da mesma forma, o conjunto RnQ dos n˙meros irracionais tambÈm È denso em R. Nesse caso, consideramos n 2 N tal que
p 2 n < b^ ^ a^ e marcam-se na reta os pontos da forma k
p 2 n , com^ k^2 Zn f^0 g.^ Toda reta, exceto o intervalo^
p 2 =n; p 2 =n (^) ; Öca dividida em intervalos
de comprimento p 2 =n < b a e, por Öm, adicionamos os irracionais p 2 = 2 n: Agora, aplicamos o raciocÌcio anterior.
1.1.3 ExistÍncia da raiz n-Èsima
Dados um n˙mero real a > 0 e n 2 N, existe um ˙nico b > 0 tal que bn^ = a. O n˙mero b È denominado raiz n-Èsima positiva de a e anota-se b = pna. A comprovaÁ„o desse fato È estabelecida por etapas e comeÁamos enfatizando duas relaÁıes que ser„o utillizadas:
Desigualdade de Bernoulli: Se x 1 , ent„o (1 + x)n^ 1 + nx; 8 n 2 N; Se b > 0 e bn^ < a, ent„o (b + )n^ < a, para suÖcientemente pequeno.
Agora, consideremos os subconjuntos:
X = fx 2 R; x 0 e xn^ < ag e Y = fy 2 R; y > 0 e yn^ > ag :
Temos que X 6 = ?, porque 0 2 X e X È limitado, porque 0 x max f 1 ; ag ; 8 x 2 X. Seja b = sup X: (i) b = 2 X De fato: suponhamos que b esteja em X e Öxemos > 0 tal que (b + )n^ < a e, portanto, b + 2 X, contradizendo a deÖniÁ„o de b:
x AN¡LISE NA RETA MARIVALDO P MATOS
podemos deÖnir uma bijeÁ„o ' : N! Z pondo ' (1) = 0; ' (2) = 1 ; ' (3) = 1; ' (4) = 2 ,.... etc, seguindo as setas. A seguir estabeleceremos algumas consequÍncias da deÖniÁ„o.
Todo subconjunto X N È enumer·vel. Suponhamos que X seja inÖnito e seja x 1 = inf X o primeiro elemento de X. Selecionados os elementos x 1 < x 2 < : : : < xn de X, deÖnimos os conjuntos An = Xn fx 1 ; x 2 ; : : : ; xng, de modo que: (i) An 6 = ?, porque X È inÖnito; (ii) An È limitado inferiormente, porque An N: Denotemos por xn+1 o primeiro elemento de An, isto È, xn+1 = inf An. Temos que X = fx 1 ; x 2 ; : : : ; xn; xn+1 : : :g porque se existisse em X um ponto x 6 = xn; 8 n; ent„o x estaria em cada subconjunto An e, portanto, x = sup X, contradizendo o fato de X ser inÖnito (n„o limitado superiormente). A aplicaÁ„o n 7! xn deÖne uma bijeÁ„o de N! X: Se f : X! N È injetiva, ent„o X È enumer·vel. Como f (X) È enumer·vel, existe uma bijeÁ„o ' : N! f (X) e a composiÁ„o = ' f estabelece uma bijeÁ„o entre X e N. Se g : N! X È sobrejetiva, ent„o X È enumer·vel. Dado x em X, escolha nx 2 N tal que g (nx) = x. A aplicaÁ„o f : X! N dada por f (x) = nx È injetiva e o resultado anterior assegura a enumerabilidade de X: Se X R È inÖnito, ent„o X possui um subconjunto inÖnito enumer·vel. Vamos deÖnir indutivamente uma aplicaÁ„o injetiva f : N! X assim: f (1) = x 1 È um elemento es- colhido em X. Supondo deÖnidos f (1) ; f (2) ; : : : ; f (n) escrevemos An = Xn ff (1) ; f (2) ; : : : ; f (n)g e deÖ-nimos f (n + 1) = xn+1 um elemento escolhido em An. Note que An 6 = ?, porque X È inÖnito, e que a aplicaÁ„o f assim deÖnida È injetiva. De fato, se m < n s„o n˙meros naturais, ent„o f (m) 2 ff (1) ; f (2) ; : : : ; f (n 1)g e f (n) 2 Xn ff (1) ; f (2) ; : : : ; f (n 1)g. … claro que f (N) È um subconjunto de X inÖnito enumer·vel. X = NN È enumer·vel. Em primeiro lugar, lembramos que a representaÁ„o de um n˙mero natural em fatores primos È ˙nica. A funÁ„o : N N! N deÖnida por (m; n) = 2n^ 3 m estabelece uma injeÁ„o entre N N e N. Uma decomposiÁ„o interessante do conjunto N. Vamos decompor o conjunto N em uma uni„o inÖnita N = N 1 [ N 2 [ : : : [ Nn [ : : : de subconjuntos inÖnitos dois a dois disjuntos. ComeÁamos exibindo uma bijeÁ„o entre N e N N. De fato, deÖnamos ' : N! N N por:
N⁄MEROS REAIS VER√O 2009 xi
' (2n 1) = (1; n) e ' (2m^ (2n 1)) = (m + 1; n). Agora, seja : N N! N dada por (m; n) = n e consideremos Nk = [ '] ^1 (k) : Dado n 2 N, ent„o n 2 Nk, se n = 2k 1 ou n 2 Np, se n = 2m^ (2p 1) e, portanto, N = N 1 [ N 2 [ : : : [ Nn [ : : :. … claro que cada Nk È inÖnito e se n 2 Np \ Nq, ent„o p = q = (' (n)), de modo que a uni„o È disjunta. Note que:
N 1 = 1 ; 2 ; 22 ; 23 ; : : : ; N 2 = 3 ; 3 2 ; 3 22 ; 3 23 ; : : : ; N 3 = 5 ; 5 2 ; 5 22 ; 5 23 ; : : :
Se X 1 ; X 2 ; X 3 ; : : : Xn; : : : s„o enumer·veis, ent„o X =
[^1
n=
Xn È enumer·vel. Para cada n seja fn : N! Xn uma bijeÁ„o. A aplicaÁ„o : N N !X deÖnida por (i; j) = fi (j) È sobrejetiva e, dos fatos j· estabelecidos, deduzimos que X È enumer·vel.
Se X e Y s„o enumer·veis, ent„o o produto X Y È enumer·vel. A partir das bijeÁıes ' : N! X e : N! Y deÖnimos uma bijeÁ„o : N N! X Y pondo (m; n) = (' (m) ; (n)). O conjunto Q dos n˙meros racionais È enumer·vel. Note que Z = N [ f 0 g [ ( N) È enumer·vel e a aplicaÁ„o : Z (Zn f 0 g)! Q dada por (m; n) = m=n È sobrejetiva.
Teorema. O corpo R dos n˙meros reais È n„o enumer·vel. DemonstraÁ„o. Provaremos que uma funÁ„o f : N! R n„o pode ser sobrejetiva. Com efeito, seja I 1 = [a 1 ; b 1 ] tal que f (1) < a 1 , de modo que f (1) 2 = I 1. Se f (2) 2 = I 1 , escolhamos I 2 = I 1. Se f (2) 2 I 1 , isto È, a 1 f (2) b 1 , ent„o ou f (2) > a 1 ou f (2) < b 1 e, ocorrendo a primeira
opÁ„o, consideramos I 2 = [a 2 ; b 2 ], com a 2 = a 1 e b 2 = a^1 + 2 f (2)(como seria I 2 caso ocorresse a segunda opÁ„o?). Dessa forma, construÌmos, indutivamente, uma sucess„o de intervalos encaixados
I 1 I 2 I 3 : : : In : : : com f (n) 2 = In = [an; bn] ; 8 n. Se c 2
^1
n=
In, n„o existe n 2 N tal que
f (n) = c:
Corol·rio. O conjunto RnQ dos n˙meros irracionais È n„o enumer·vel DemonstraÁ„o. Se fosse, ent„o R = Q [ (RnQ) seria enumer·vel.
Corol·rio. O intervalo aberto ( 1 ; 1) È n„o enumer·vel
N⁄MEROS REAIS VER√O 2009 xiii
(o) se a e b s„o n˙meros reais quaisquer, ent„o 2 ab a^2 +b^2. Se a e b forem n„o negativos, ent„o pab 1 2 (a^ +^ b)^ e ocorre a igualdade se, e somente se,^ a^ =^ b:^ GeneralizaÁ„o: se^ x^1 ; x^2 ; x^3 ; : : : ; xn s„o n˙meros reais n„o negativos, ent„o:
(x 1 x 2 x 3 : : : xn)^1 =n^ x^1 +^ x^2 +^ x n^3 +^ : : :^ +^ xn;
(p) se n 2 N e x 1 ; x 2 ; x 3 ; : : : ; xn e y 1 ; y 2 ; y 3 ; : : : ; yn s„o n˙meros reais, demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz: (x 1 y 1 + x 2 y 2 + : : : + xnyn)^2 x^21 + x^22 + : : : + x^2 n^ y^21 + y 22 + : : : + y n^2 ^ (sug. note que Pnk=1 (xk tyk)^2 0 ; 8 t). (q) mostre que Pnk=1 akbk 12 Pnk=1 a^2 k + Pnk=1 b^2 k^ . Em particular, xy 12 x^2 + y^2 ^ :
1.2 Se 0 < a < b e 0 < c < d, mostre que 0 < ac < bd:
1.3 Se a e b s„o n˙meros reais, mostre que a^2 + b^2 = 0 se, e somente se, a = 0 e b = 0:
1.4 Determine todos os n˙meros reais x que atendem ‡ desigualdade: (a) x^2 > 3 x + 4 (b) 1 =x < x (c) 1 =x < x^2 (d) x x^ + 1^1 > 0 (c) max fx 1 ; 5 xg < 3 :
1.5 Se 0 < c < 1 ; mostre que 0 < c^2 < c < 1 : Se c > 1 ; ent„o 1 < c < c^2 : Usando a desigualdade de Bernoulli, deduza que para c 1 tem-se cn^ c; 8 n 2 N:
1.6 Seja c um n˙mero real. (a) Se c > 1 ; mostre que cm^ > cn^ () m > n; (b) Se 0 < c < 1 , mostre que cn^ c 8 n 2 N; (c) Se 0 < c < 1 , mostre que cm^ < cn^ () m > n.
1.7 Mostre que ja bj jaj + jbj e que jjaj jbjj ja bj : Como consequÍncia, deduza que ja bj < " ) jaj < jbj + ":
1.8 Mostre que janj = jajn^ ; 8 n 2 N e que pa^2 = jaj :
1.9 Mostre que ja + bj = jaj + jbj se, e somente se, ab 0 :
1.10 Dados trÍs n˙meros reais x; y e z, mostre que jx yj+jy zj jx zj. Se x < z; mostre que x y z se, e somente se, jx yj+jy zj = jx zj. Interprete os resultados geometricamente.
xiv AN¡LISE NA RETA MARIVALDO P MATOS
1.11 Mostre que jx aj < , a < x < a + :
1.12 Se x; y 2 (a; b) ; mostre que jx yj < b a: Interprete o resultado geometricamente.
1.13 Esboce o conjunto dos pares (x; y) do produto cartesiano R R que satisfazem: (a) jxj = jyj (b) jxj + jyj = 1 (c) jxj jyj (d) jxj + jyj 1 : 1.14 Dados r; s 2 Q, com 0 < 2 r < s, mostre que = rp 2 r + s= 2 È irracional e que r < < s:
1.15 Sejam b 1 ; b 2 ; : : : ; bn n˙meros reais n„o nulos e de mesmo sinal. Se a bk k 2 ( ; ), k =
1 ; 2 ; 3 ; : : : ; n, mostre que a b^11 ++^ ab^22 ++^ ^ ++^ bann 2 ( ; ) :
1.16 Sejam a 0 ; a 1 ; a 2 ; : : : ; an 2 Z e x uma soluÁ„o da equaÁ„o xn^ + an 1 xn ^1 + a 1 x + a 0. Se x = 2 Z, mostre que x È irracional. Como consequÍncia deduza que p^35 È irracional.
1.17 IdentiÖque o erro no seguinte argumento: se x = y, ent„o:
x^2 = xy ) x^2 y^2 = xy y^2 ) (x + y) (x y) = (x y) y ) x + y = y ) 2 y = y ) 2 = 1:
1.18 A respeito de um conjunto X R, mostre que as seguintes aÖrmaÁıes s„o equivalentes: (a) Existem constantes m e M tais que m x M; 8 x 2 X; (b) Existe uma constatnte C > 0 ; tal que jxj C; 8 x 2 X:
1.19 Seja " > 0 um n˙mero real dado. Construa uma famÌlia inÖnita fIng de intervalos abertos com as seguintes propriedades: (i) cada intervalo In contÈm o n˙mero natural n; (ii) a soma dos comprimentos de todos os intervalos da famÌlia È ":
1.20 Prove que um conjunto I R È um intervalo se, e somente se, cumpre a seguinte condiÁ„o: se a; b 2 I e a < x < b; ent„o x 2 I:
1.21 Denote por a _ b (resp. a ^ b) o maior (resp. o menor) entre os n˙meros a e b: Mostre que a _ b = a^ +^ b^ + 2 ja^ ^ bj e a ^ b = a^ +^ b^ j 2 a^ ^ bj:
xvi AN¡LISE NA RETA MARIVALDO P MATOS
1.31 Sejam A e B dois subconjuntos de R com a seguinte propriedade: se x 2 A e y 2 B, ent„o x y. Mostre que sup A inf B e ocorre a igualdade se, e somente se, dado " > 0 existem x 2 A e y 2 B com y x < ":
1.32 Mostre que o supremo do conjunto S = x 2 R+; x^2 < 2 È igual a p 2 : (sug. Em primeiro lugar observe que p 2 È uma cota superior de S. Para concluir que p 2 È a menor cota superior de S, considere 0 < a < p 2 e um n˙mero real x tal que 0 < x < min 1 ; 2 a^2 ^ = 2 a + 1 : Este n˙mero x est· em S e x > a):
1.33 FunÁ„o Limitada. Uma funÁ„o f : D! R È limitada quando sua imagem f (D) for um subconjunto limitado de R. Neste caso, deÖnimos o supremo e o ÌnÖmo da funÁ„o f como sendo os n˙meros reais sup (f ) e inf (f ) iguais ao supremo e ao ÌnÖmo do conjunto f (D), respectivamente. Calcule o sup e o inf das funÁıes f; g :]0; 1[! R deÖnidas por f (x) = x^2 e g (x) = x. Agora, considere duas funÁıes limitadas f; g : D! R. (a) Se f (x) g (x) ; 8 x 2 D; mostre que sup (f ) sup (g) ; (b) Se f (x) g (y) ; 8 x; y 2 D; mostre que sup (f ) inf (g) : VeriÖque com um exemplo que este resultado n„o È v·lido com as hipÛteses do Ìtem (a). (c) DÍ exemplos para mostrar que as desigualdades em (a) e (b) podem ser estritas.
1.34 Sejam f; g : D! R duas funÁıes limitadas. Mostre que
sup (f + g) sup f + sup g e inf (f + g) inf + inf g:
1.35 Sejam f; g : D! R+^ funÁıes reais limitadas superiormente. Mostre que a funÁ„o produto f g : D! R+^ e a funÁ„o quadrado f 2 : D! R+^ s„o limitadas e valem as relaÁıes: (i) sup (f g) sup f sup g (ii) sup f 2 ^ = (sup f )^2 (iii) inf (f g) inf f inf g (iv) inf f 2 ^ = (inf f )^2 1.36 Aspectos TopolÛgicos da Reta R: Dados um subconjunto X R e um ponto x 2 R; a posiÁ„o relativa do ponto x com respeito ao conjunto X pode ser caracterizada por:
Existe um raio r > 0 tal que Vr (x) X: Nesse caso, dizemos que o ponto x È interior ao conjunto X e anotamos x 2 int (X) ;
N⁄MEROS REAIS VER√O 2009 xvii
Existe um raio r > 0 tal que Vr (x) Xc: Nesse caso, dizemos que o ponto x È exterior ao conjunto X e anotamos x 2 ext (X);
para qualquer raio r > 0 ; a vizinhanÁa Vr (x) contÈm pontos do conjunto X e pontos do complementar de X. Nesse caso, dizemos que x È um ponto de fronteira do conjunto X e anotamos x 2 @X:
… claro que qualquer conjunto contÈm o seu interior, isto È, int (X) X: Um subconjunto A R È denominado conjunto aberto quando A = int (A), isto È, todo ponto do conjunto A È ponto interior. Qualquer intervalo aberto È um conjunto aberto. (a) Se A R È um conjunto aberto, mostre que A \ @A = ?; (b) Um subconjunto F R È dito fechado quando @F F: Mostre que F È fechado se, e somente se, RnF È aberto. Qualquer intervalo fechado È um conjunto fechado; (c) O fÍcho de um subconjunto X de R È, por deÖniÁ„o, o conjunto X = X [ @X. Mostre que X È um conjunto fechado, o qual coincide com a interseÁ„o de todos os subconjuntos fechados da reta que contÈm X. Mostre que F È fechado se, e somente se, F = F. Qual a relaÁ„o entre A [ B e A [ B? (d) Mostre que x 2 X se, e somente se, x È limite de alguma sequÍncia de pontos do conjunto X: Usando esta caracterizaÁ„o e o exercÌcio precedente conclua o seguinte fato: F R È um conjunto fechado se, e somente se, cumpre a seguinte condiÁ„o: se fxng È uma sequÍncia em F com limite x, ent„o x 2 F: (e) Determine o fÍcho dos seguintes subconjuntos da reta: N, Z, RnQ, Q, [0; 1] ; f 1 =n; n 2 Ng e ]0; 1[: Qual desses subconjuntos È fechado? Qual deles È limitado? (f) Um subconjunto K R fechado e limitado È denominado compacto. Estude a compacidade dos subconjuntos do item (e). DÍ exemplo de um subconjunto da reta inÖnito, enumer·vel e compacto; (g) Um subconjunto D R È denominado denso (em R) quando D = R. Mostre que x 2 D se, e somente se, toda "-vizinhanÁa de x contÈm algum ponto de D e usando este fato deduza que os conjuntos RnQ e Q s„o densos em R; (h) Um subconjunto C R È dito convexo quando atender ‡ seguinte condiÁ„o: se x e y s„o dois pontos de C e 0 1 ; ent„o (1 ) x + y 2 C: Mostre que qualquer intervalo da reta
