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Atividade 9 a) Represente graficamente, sobre a reta, o conjunto solução da inequação: i) | x 3| < 5 ii) | x 1| 1 b) determine uma inequação envolvendo módulo que seja representada graficamente pelo conjunto de pontos destacado a seguir.
Desafio: Sejam x , y +. Mostre que xy x 2^ y. (A justificativa desta desigualdade é
uma técnica muito útil para vários exercícios de Matemática – dica: 0 ( a + b )^2 .)
Raiz n -ésima – a solução da equação xn^ = a
Outra vantagem na construção dos números reais é saber que sempre existe uma solução para equações do tipo xn^ = a , quando a > 0 e n *. Vamos, a seguir, dar uma ideia de porque este fato é verdadeiro. Entenda, leitor, que é apenas uma ideia. Os argumentos apresentados aqui não são argumentos matemáticos, propriamente dito, e um trabalho assim necessitaria de uma melhor fundamentação sobre o conjunto dos números reais (o que é feito na disciplina de Análise). Isto aqui é apenas uma ideia do porque os números reais devem incluir as raízes. É fato que sempre existe um número real, b , tal que bn^ < a. Por exemplo, se b =
10 p
(^1) então bn (^) = np
n p (^) 10
= 0,000...01 (com np casas decimais). Ou seja, se p é
um número grande, muito grande, bn^ vai ser um número pequeno, muito pequeno (tão pequeno quanto queiramos, é só pegar p suficientemente grande). Assim, escolhendo p adequado podemos ter bn^ < a. Procedendo de forma análoga, podemos afirmar que existe um número real, c , tal que a < cn^ (por exemplo, fazendo c = 10 p , com p bem grande). Temos que existe um número real, b , tal que bn^ < a e que existe um número real, c , tal que a < cn. Note também que, quando x , y > 0, temos xn^ < yn^ x < y (consequência da propriedade ( k ) sobre desigualdades).
Sejam X = { x : xn^ < a } e Y = { y : yn^ > a }. Pelo que acabamos de ver, X e Y são conjuntos diferentes de vazio e todos os elementos de X são menores do que todos os elementos de Y , vice-versa. Veja, no desenho, como estes conjuntos podem estar na reta.
Caso houvesse um espaço entre os conjuntos X e Y , como no desenho, poderíamos pegar um elemento z > 0 tal que z X e z Y. Isto significa que não temos zn^ < a , nem zn^ > a. O que resta para zn? Pela propriedade (O2), só resta zn^ = a e, assim, encontramos a solução da equação. E se não existe o espaço entre os conjuntos X e Y? Neste caso, temos +^ = X Y. Note que X e Y devem ser intervalos e X deve ser um intervalo limitado. Podemos ter X = (0, d ] e Y = ( d , +) ou X = (0, d ) e Y = [ d , +). Para se continuar esta linha de argumentação, não tem como deixar de ser técnico. O máximo de intuitivo que podemos ser segue agora. Se X é da forma (0, d ] então d X , donde dn^ < a. Agora, se pegarmos um número só um pouco maior do que b , com uma diferença muito pequena, digamos, d + , ainda pode se esperar que ( d + ) n < a. (a explicação técnica para isto é obtida a partir da conhecida desigualdade de Bernoulli, (1 + x ) n^ 1 + nx ). Vamos ficar com só com esta pequena ideia intuitiva. Continuando, vimos que ( d + ) n^ < a , o que significa que d + X , o que é absurdo, pois d era o maior elemento do conjunto X. Logo, só podemos ter X = (0, d ). De modo análogo, pode-se deduzir que Y tem que ser da forma Y = ( d , +). Neste caso, temos que d X e d Y. Ou seja, temos que ter um espaço entre os conjuntos X e Y. Pelo que já foi analisado, fica garantido que existe uma solução para a equação xn^ = a , quando a > 0 e n *.
Se o leitor observar o argumento anterior, verá que garantimos a existência de solução para a equação xn^ = a , quando a > 0 e n *, e que esta solução é positiva. Na verdade, podemos facilmente verificar que a solução positiva encontrada é única (veremos isto na unidade 7). Em resumo, dada uma equação xn^ = a , com a > 0 e n *, existe um único número b +^ (isto é, b é real e b > 0) que satisfaz tal equação. Em
X Y
Analogamente, ( 3) 3. Para obtermos os segmentos e , observe a figura a seguir.
Atividade 4: Soluções: a) 3( 2 ) ⏟ )
)
)
)
)
)
b) ) (^ )^ ⁄
ii) 3 3 2 3 2 3 3 (^3 )3 2 2 2
c)
Média =
4.^21 ^3.^1012 ^3.^28 ^2.^33
^3 (^4.^7 ^1012 ^28 ^2.^11 )^2 (^14 ^54 ^14 ^11 )^14 ^142 ^16 7 7 8 22
d) 2 2 ( ) 2 2
e) e.
Atividade 5: Solução: a) Nada podemos afirmar. Se a > 0 então – a < 0. Mas, se a < 0 então – a > 0. b)
- 2 x + 1 x + 6 2 x x 6 1 x 5. Assim, S = { x | x 5}.
- 2 3 x x + 14 x 3 x 14 2 4 x 12 x (^) ^124 x 3. Assim, S = { x | x 3}.
- (^) x 2 x 31 2 x x 3 ^1 3 x 2 x 2 x 2. Assim, S = { x | x 2}.
- 2( x + 3) > 3(1 x ) 2 x + 6 > 3 – 3 x 5 x > 3 x >3/5. Assim, S = { x | x >3/5}.
- 3(1 2 x ) < 2( x + 1) + x 7 3 6 x < 2 x + 2 + x 7 9 x < 8 x >
9
x > 9
Assim, S = { x | x > 8/9}.
- 2 2 ( 2 ) ( ) ( ) , (note que a mudança de sinal ocorreu porque 2 < ). Assim, { |
c) Temos que 3^ x 9 17 3^ x < 8 x < 24. Assim, o maior número inteiro que é
solução da inequação 3^ x 9 17 é o maior número inteiro x tal que x < 24. Ou seja, x = 23. No entanto, não existe um maior número real no interior do intervalo ( , 24), que seja solução desta desigualdade. (Isso é uma curiosidade, por enquanto. Em outras disciplinas mais para frente do curso você irá ver o porquê. É consequência de uma propriedade do conjunto dos números
b) A afirmação é verdadeira. Bom, isto considerando o caso em que a interseção é diferente do conjunto vazio, é claro. Neste caso, a interseção de intervalos ( a , b ) e ( c , d ) é o intervalo ( m , n ), onde m = máximo{ a , c } e n = mínimo{ b , d }. Faça um desenho para ilustrar o narrado aqui. Para os outros tipos de intervalos a afirmativa também é verdadeira. Faça esboços. Esta afirmação é falsa. Por exemplo, a união de (2, 0) e (1, 5) não é um intervalo. Verifique isto com um desenho.
c) Basta fazer X = (, 0) (0, +).
Desafio: Solução: Considerando o intervalo ( a , b ), está implícito que a < b. Assim, 2
2 , logo dividindo por 2 obtemos que.
Atividade 7: Solução:
2. (- ,-3]
3. [-2, + )
Atividade 8: Solução:
- 2 3 e 3 3. Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos ( 3 ( 3 ) ( 3 3
- 2 e 3 2. Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos ( 2 ) 2
- 2 e 2 3 2 3. Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos ( ( 3 ( 3.
demonstração acima, veja que a igualdade só vale quando a=b , isto é quando (^) √ , donde quando x=y.
