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Relat´orio Final
Projeto de Inicia¸c˜ao Cient´ıf ica
O Grupo Fundamental do C´ırculo
Tauan Lucas Amaral Brand˜ao∗
Orientador: Prof. Germ´an Gomero Ferrer
Programa: PROIC
Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC,
Rodovia Ilh´eus/Itabuna, km 16, Ilh´eus
45650-000 Bahia – BA, Brasil
5 de maio de 2010
Resumo Neste trabalho de Inicia¸c˜ao Cient´ıfica se estudaram os conceitos de grupo, topolo- gia e homotopia, culminando com a defini¸c˜ao de grupo fundamental e o c´alculo deste grupo no caso n˜ao trivial mais simples, o caso do c´ırculo. O trabalho foi conduzido atrav´es de semin´arios e discuss˜oes dos conceitos envolvidos. Como resultado do tra- balho realizamos o c´alculo do grupo fundamental do c´ırculo usando elementos da teoria de espa¸cos de recobrimento.
Palavras chave: Homotopia, Grupo Fundamental.
∗e-mail: [email protected]
1 Introdu¸c˜ao
O c´alculo de invariantes topol´ogicos permite identificar quando diversas representa¸c˜oes topol´ogicas correspondem a distintos espa¸cos topol´ogicos. Entre os invariantes mais simples de serem definidos se encontram os grupos de homotopia, sendo o primeiro grupo de homo- topia, tamb´em chamado de grupo fundamental, o mais simples de ser calculado. De fato, `a diferen¸ca dos grupos de homotopia de ordem superior, existem v´arios m´etodos para calcular sistematicamente o grupo fundamental. Um dos m´etodos mais utilizados para o c´alculo de grupos fundamentais ´e baseado na teoria de recobrimentos universais. Esta teoria ´e bastante elaborada, mas o c´alculo do grupo fundamental do c´ırculo usando estas id´eias pode ser usado como uma introdu¸c˜ao que ilustra, num exemplo simples, v´arias das id´eias que s˜ao utilizadas para c´alculos em espa¸cos mais complexos. Por este motivo, o processo de calcular o grupo fundamental do c´ırculo ´e uma etapa essencial a ser preenchida por qualquer pessoa que queira se familiarizar com as t´ecnicas mais avan¸cadas da Topologia Alg´ebrica. Ap´os apresentar na Se¸c˜ao 2 a metodologia utilizada ao longo do projeto, na Se¸c˜ao 3 apresentamos uma breve introdu¸c˜ao aos conceitos elementares de homotopia, essenciais para a compreens˜ao do c´alculo do grupo fundamental do c´ırculo. Este c´alculo ´e apresentado na Se¸c˜ao 5, mais especificamente no Teorema 5.3, ap´os uma apresenta¸c˜ao dos resultados preliminares necess´arios sobre espa¸cos de recobrimento adaptados ao caso do c´ırculo na Se¸c˜ao 4. Na Se¸c˜ao 6 discutimos os resultados do projeto, assim como justificamos o motivo pelo qual n˜ao incluimos os aspectos computacionais mencionados no projeto original.
2 Metodologia
Nesta se¸c˜ao entendemos o termo metodologia em dois sentidos completamente diferentes. No primeiro sentido, metodologia se refere ao tipo de atividades realizadas para levar adiante o projeto. Este ´e o sentido usado nas Ciˆencias Naturais e Sociais, onde via de regra um trabalho de pesquisa cont´em uma fase de coleta de dados que consiste na realiza¸c˜ao de observa¸c˜oes ou de experimentos, e uma outra fase de processamento destes dados. Este n˜ao ´e o caso num trabalho de Matem´atica Pura, onde o trabalho intelectual ´e essencialmente l´ogico–dedutivo. No entanto, fizemos um esfor¸co para descrever os procedimentos utilizados para realizar a nossa tarefa. Neste primeiro sentido, ent˜ao, a metodologia utilizada foi a metodologia utilizada generi- camente em qualquer trabalho de Matem´atica Pura, e consistiu alternativamente de momen- tos de estudo individual e de reuni˜oes de discuss˜ao. Nos momentos de estudo individual, o aluno faz um esfor¸co individual para entender os conte´udos necess´arios para a apreens˜ao da demonstra¸c˜ao do teorema objeto de estudo. Nas reuni˜oes de discuss˜ao o aluno apresenta ao orientador os avan¸cos realizados. Na troca de id´eias que se segue, o aluno resolve gradual- mente as d´uvidas que surgem naturalmente durante os momentos de estudo individual. Por ´ultimo, as reuni˜oes de discuss˜ao s˜ao tamb´em aproveitadas para definir os t´opicos espec´ıficos que devem ser estudados a seguir. No segundo sentido, metodologia se refere `a descri¸c˜ao das teorias e t´ecnicas matem´aticas utilizadas na demonstra¸c˜ao do teorema objeto de estudo. Neste sentido, a metodologia
As fun¸c˜oes que mais interessam no estudo dos grupos fundamentais s˜ao os caminhos. Um caminho em X n˜ao ´e mais que uma fun¸c˜ao cont´ınua λ : I → X. Os extremos de λ s˜ao os pontos p = λ(0) e q = λ(1), ambos em X. Dizemos que λ ´e um caminho que vai de p a q, chamados tamb´em de extremos inicial e final. Um la¸co ´e um caminho λ : I → X no qual os extremos coincidem, ou seja tal que λ(0) = λ(1). Este extremo ´e tamb´em conhecido como ponto base do la¸co. O conjunto dos la¸cos em X com base p ∈ X ´e denotado por Λ(X, p).
Defini¸c˜ao 3.5 Dados dois caminhos λ, μ : I → X, com λ(1) = μ(0), a concatena¸c˜ao λ · μ : I → X ´e
λ · μ(t) =
λ(2t) se 0 ≤ t ≤ 1 / 2
μ(2t − 1) se 1/ 2 ≤ t ≤ 1
Claramente, o caminho λ · μ ´e cont´ınuo, come¸ca em λ(0) e termina em μ(1). Observe tamb´em que dois la¸cos λ, μ ∈ Λ(X, p) s˜ao sempre concaten´aveis, de modo que temos uma opera¸c˜ao bin´aria em Λ(X, p). Ao investigar a estrutura alg´ebrica em Λ(X, p) devido a esta opera¸c˜ao bin´aria n˜ao se encontra nenhuma estrutura relevante. A situa¸c˜ao muda se usamos classes de caminhos homot´opicos relativamente aos extremos 0 , 1 ∈ I. A seguinte defini¸c˜ao ´e uma simples adapta¸c˜ao da defini¸c˜ao de homotopia relativa dada no in´ıcio desta se¸c˜ao. Observe que, embora enunciemos o conceito como sendo de caminhos homot´opicos, estamos falando de homotopia relativa.
Defini¸c˜ao 3.6 Dois caminhos λ, μ : I → X com os mesmos extremos, ou seja tais que λ(0) = μ(0) e λ(1) = μ(1), s˜ao homot´opicos se existe entre eles uma homotopia relativa ao conjunto A = { 0 , 1 } ⊆ I.
O seguinte teorema nos permite concatenar classes de caminhos homot´opicos, passo essen- cial para poder construir o grupo fundamental.
Teorema 3.7 Sejam λ 1 , λ 2 , μ 1 , μ 2 : I → X caminhos tais que λ 1 (1) = λ 2 (1) = μ 1 (0) = μ 2 (0). Se λ 1 ' λ 2 e μ 1 ' μ 2 ent˜ao λ 1 · μ 1 ' λ 2 · μ 2.
O conjunto das classes de equivalˆencia de la¸cos com base p ∈ X ´e o conjunto quociente π 1 (X, p) = Λ(X, p)/ '. Pelo teorema anterior, este quociente possui a seguinte opera¸c˜ao bin´aria. Para quaisquer duas classes [λ], [μ] ∈ π 1 (X, p), temos
[λ] · [μ] = [λ · μ]. (1)
Esta opera¸c˜ao mune o conjunto das classes de la¸cos homot´opicos, π 1 (X, p), com uma estru- tura de grupo. Este ´e o conte´udo do seguinte teorema.
Teorema 3.8 O conjunto das classes de homotopia de la¸cos com base em p ∈ X, junto com a opera¸c˜ao de concatena¸c˜ao definida por (1), forma um grupo.
O grupo constru´ıdo deste modo ´e chamado de grupo fundamental de X com base p ∈ X. O objetivo deste projeto ´e calcular este grupo quando X ´e o c´ırculo. Por constru¸c˜ao, o grupo fundamental de um espa¸co topol´ogico depende do ponto de base dos la¸cos. O pr´oximo teorema nos fornece grande liberdade para escolher este ponto base. Como consequˆencia, nos casos de interesse, a dependˆencia do grupo fundamental com o ponto base ´e irrelevante.
Teorema 3.9 Se p, q ∈ X est˜ao na mesma componente conexa por caminhos ent˜ao os grupos fundamentais π 1 (X, p) e π 1 (X, q) s˜ao isomorfos.
O interesse topol´ogico no grupo fundamental se segue das seguintes considera¸c˜oes. Dada uma fun¸c˜ao cont´ınua f : X → Y , para cada caminho λ : I → X existe um caminho f ◦ λ : I → Y.
Teorema 3.10 Dado p ∈ X e uma fun¸c˜ao cont´ınua f : X → Y , a fun¸c˜ao
f∗ : π 1 (X, p) → π 1 (Y, f (p)) [λ] 7 → [f ◦ λ]
´e um homomorfismo.
O homomorfismo dado pelo teorema anterior ´e chamado de homomorfismo induzido. Devido a existˆencia deste homomorfismo induzido o grupo fundamental ´e um invariante topol´ogico. De fato, temos o seguinte corol´ario.
Corol´ario 3.11 Se f : X → Y ´e um homeomorfismo ent˜ao f∗ : π 1 (X, p) → π 1 (Y, f (p)) ´e um isomorfismo.
Deste modo, espa¸cos topol´ogicos com grupos fundamentais diferentes s˜ao espa¸cos difer- entes. Esta afirma¸c˜ao pode parecer trivial, no entanto descreve um m´etodo muito poderoso para distinguir entre duas representa¸c˜oes topol´ogicas, que consiste em transformar um prob- lema topol´ogico num problema alg´ebrico de complexidade menor. De fato, s˜ao frequentes as ocasi˜oes em que nos encontramos na posse de duas descri¸c˜oes topol´ogicas e queremos saber se elas representam o mesmo espa¸co. Calculando os correspon- dentes grupos fundamentais e provando que eles n˜ao s˜ao isomorfos pode–se concluir que as duas descri¸c˜oes representam espa¸cos topol´ogicos diferentes. A vantagem do procedimento consiste em que o problema alg´ebrico resultante ´e frequentemente muito mais simples de resolver que o problema topol´ogico original. A Topologia Alg´ebrica ´e justamente a ´area da Topologia que desenvolve e estuda os procedimentos que permitem transformar problemas topol´ogicos em problemas alg´ebricos. O c´alculo de grupos fundamentais ´e apenas um dos problemas alg´ebricos, o mais simples de todos, que surgem destes procedimentos. Para encerrar esta se¸c˜ao, apresentamos um tipo de espa¸co topol´ogico aparentemente trivial, mas teoricamente interessante. Um espa¸co topol´ogico X ´e simplesmente conexo se seu grupo fundamental π 1 (X, p) ´e trivial. O principal interesse em espa¸cos simplesmente conexos vem do seguinte fato.
Teorema 3.12 Num espa¸co simplesmente conexo quaisquer dois caminhos com os mesmos extremos s˜ao homot´opicos.
O seguinte fato ´e de particular interesse para nosso problema.
Teorema 3.13 A reta real R ´e simplesmente conexa.
Defini¸c˜ao 4.4 Uma fun¸c˜ao cont´ınua F˜ : Y → R ´e um levantamento de F : Y → S^1 se p ◦ F˜ = F.
Lema 4.5 Se existe um levantamento de F : I → S^1 tal que F˜ (0) = x ∈ R, ent˜ao ele ´e ´unico.
Prova. Suponha que F˜ 1 e F˜ 2 s˜ao dois levantamentos de F : I → S^1 tais que F˜ 1 (0) = F˜ 2 (0).
- Seja U uma cobertura de abertos admiss´ıveis de S^1 e J = {Jt / t ∈ I} uma cobertura aberta de I tal que para todo t ∈ I, vale F (Jt) ⊆ A ∈ U. Por compacidade, h´a uma subcobertura finita J 0 = {Jk / k = 1, 2 ,... , n}, com n ∈ N, e portanto podemos escolher uma parti¸c˜ao de I, 0 = t 0 < · · · < tn = 1, tal que para cada k = 1, 2 ,... , n temos F ([tk− 1 , tk]) ⊆ Ak ∈ U.
- Assumimos indutivamente que F˜ 1 = F˜ 2 sobre [0, tk]. Como o intervalo [tk, tk+1] ´e conexo, temos que F˜ 1 ([tk, tk+1]) tamb´em ´e conexo, e portanto est´a em alguma compo- nente conexa A˜k+1 ⊆ p−^1 (Ak+1). O mesmo vale para F˜ 2 ([tk, tk+1]). Na verdade, temos F^ ˜ 1 ([tk, tk+1]) = F˜ 2 ([tk, tk+1]) pois F˜ 1 (tk) = F˜ 2 (tk).
- Como a proje¸c˜ao p ´e injetiva sobre A˜k+1, e p ◦ F˜ 1 = p ◦ F˜ 2 , segue–se que F˜ 1 = F˜ 2 sobre [tk, tk+1], e portanto sobre [0, tk+1].
- Depois de um n´umero finito de passos temos que F˜ 1 = F˜ 2.
Isto conclui a prova.
Dada duas fun¸c˜oes ϕ : Y → R e F : Y × I → S^1 , o lema anterior implica que se existe um levantamento F˜ : Y × I → R de F tal que ϕ = F˜ |Y ×{ 0 }, ent˜ao ele ´e ´unico. O pr´oximo lema estabelece uma condi¸c˜ao fraca para a existˆencia deste levantamento. Esta condi¸c˜ao ´e a existˆencia de um levantamento para a restri¸c˜ao F |Y ×{ 0 } : Y → S^1.
Lema 4.6 Dados uma fun¸c˜ao F : Y × I → S^1 e um levantamento F˜ 0 : Y → R da restri¸c˜ao
F |Y ×{ 0 }, h´a um ´unico levantamento F˜ : Y × I → R de F tal que F˜ |Y ×{ 0 } = F˜ 0.
Prova. Procedemos a provar o lema em duas etapas. Na primeira estabelecemos a existˆencia local do levantamento, isto ´e a existˆencia do levantamento em alguma vizinhan¸ca N de um ponto y 0 ∈ Y. Na segunda etapa estendemos este resultado para todo Y.
- Dada N uma vizinhan¸ca aberta de algum ponto y 0 ∈ Y , construimos primeiro um levantamento ΦN : N × I → R da restri¸c˜ao F |N ×I : N × I → S^1. Pelo Lema 4. este levantamento ser´a ´unico. Para construir este levantamento considere a proje¸c˜ao de recobrimento canˆonica p : R → S^1 , e uma fam´ılia de abertos admiss´ıveis U.
(a) Seja T = {Nt × Jt / t ∈ I} uma cobertura aberta de {y 0 } × I em Y × I tal que para todo t ∈ I, vale F (Nt × Jt) ⊆ A ∈ U. Ou seja, para todo t ∈ I, Nt ´e uma vizinhan¸ca aberta de y 0 ∈ Y e a fam´ılia {Jt / t ∈ I} ´e uma cobertura aberta de I.
(b) Por compacidade, h´a uma subcobertura finita T 0 = {Nk × Jk / k = 1, 2 ,... , n}, com n ∈ N, e portanto podemos escolher uma parti¸c˜ao de I, 0 = t 0 < · · · < tn = 1, tal que para cada k = 1, 2 ,... , n temos F (N × [tk− 1 , tk]) ⊆ Ak ∈ U, onde
N =
⋂^ n
k=
Nk.
(c) Procedemos por indu¸c˜ao. Como F (N × [0, t 1 ]) ⊆ A 1 ∈ U, definimos Φ 1 = p−^1 |A 1 ◦ F |N ×[0,t 1 ] : N × [0, t 1 ] → R ,
pois p−^1 |A 1 : A 1 → A˜ 1 ´e um homeomorfismo, onde A˜ 1 ⊆ R ´e a componente conexa de p−^1 (A 1 ) que cont´em F˜ 0 (y 0 , 0). Claramente temos p ◦ Φ 1 = F |N ×[0,t 1 ].
(d) Suponha que j´a foi constru´ıda uma fun¸c˜ao Φk : N × [0, tk] → R , tal que p ◦ Φk = F |N ×[0,tk ]. Temos que F (N × [tk, tk+1]) ⊂ Ak+1 ∈ U. Pelo Lema 4.2 existe A˜k+1 ∈ R homeomorfo a Ak+1 e contendo o ponto F˜ (y 0 , tk). Temos ent˜ao F˜ (N, tk) ⊆ Ak+1. (e) Definimos Ψk+1 = p−^1 |Ak+1 ◦ F |N ×[tk ,tk+1] : N × [tk, tk+1] → R ,
pois p−^1 |Ak+1 : Ak+1 → A˜k+1 ´e um homeomorfismo. Claramente temos
p ◦ Ψk+1 = F |N ×[tk ,tk+1].
Para todo (y, t) ∈ N × [0, tk+1] definimos
Φk+1(y, t) =
Φk(y, t) se t ∈ [0, tk]
Ψk+1(y, t) se t ∈ [tk, tk+1]
Temos p ◦ Φk+1 = F |N ×[0,tk+1].
(f) Ap´os um n´umero finito de etapas obtemos um levantamento ΦN : N × I → R para alguma vizinhan¸ca N de y 0.
- Observe agora que dadas duas vizinhan¸cas de y 0 ∈ Y , N 1 e N 2 , pela unicidade do levantamento pontual (Lema 4.5) temos ΦN 1 |N 1 ∩N 2 = ΦN 2 |N 1 ∩N 2. Assim obtemos um ´unico levantamento bem definido sobre Y × I dado por F^ ˜ (y, t) = ΦN (y, t) se y ∈ N. A continuidade de F˜ se segue da continuidade de cada ΦN.
Isto conclui a prova.
- Para verificar que φ ´e um homomorfismo, dado m ∈ Z, considere a transla¸c˜ao
τm : R → R x 7 → x + m.
Temos ent˜ao que
˜ωm · (τm ◦ ˜ωn)(t) =
˜ωm(2t) se 0 ≤ t ≤ 1 / 2 τm ◦ ˜ωn(2t − 1) se 1 / 2 ≤ t ≤ 1
˜ωm(2t) se 0 ≤ t ≤ 1 / 2 ˜ωn(2t − 1) + m se 1 / 2 ≤ t ≤ 1
ou seja, ˜ωm · (τm ◦ ˜ωn) ´e um caminho em R que come¸ca em 0 e termina em m + n. Agora, como R ´e simplesmente conexo, temos
˜ωm+n ' ˜ωm · (τm ◦ ω˜n) ,
e portanto
φ(m + n) = [ωm+n] = [ωm · ωn] = [ωm] · [ωn] = φ(m) · φ(n) ,
ou seja, φ(m + n) ´e a classe de homotopia de la¸cos em S^1 que ´e imagem deste caminho sobre p.
- Para demonstrar que φ ´e sobrejetiva, seja λ : I → S^1 um la¸co baseado no ponto 1 ∈ S^1 representando um dado elemento de π 1 (S^1 ). Pelo Lema 5.1 h´a um levantamento ˜λ come¸cando em 0. Este caminho ˜λ termina em algum inteiro n j´a que
p ◦ ˜λ(1) = λ(1) = 1 ,
e portanto λ˜ ' ω˜n. Temos ent˜ao
φ(n) = [p ◦ ˜ωn] = [p ◦ ˜λ] = [λ] ,
e portanto φ ´e sobrejetiva.
- Para demonstrar que φ ´e injetiva, suponhamos φ(m) = φ(n), ou seja ωm ' ωn. Seja Ht uma homotopia de ωm = H 0 para ωn = H 1. Pelo Lema 5.2 esta homotopia levanta para uma homotopia H˜t de caminhos come¸cando em 0. A unicidade do Lema 5.1 implica que H˜ 0 = ˜ωm e H˜ 1 = ω˜n. J´a que H˜t ´e uma homotopia de caminhos, o ponto final H^ ˜t(1) ´e independente de t. Como H˜ 0 (1) = m e H˜ 1 (1) = n, temos m = n.
Isto conclui a prova.
6 Discuss˜ao de resultados
O orientador atual do projeto, professor Germ´an Gomero, assumiu a orienta¸c˜ao do estu- dante Tauan Lucas a partir do segundo semestre do ano de 2009 devido a sa´ıda do orientador inicial, professor Eduardo Palmeira, para realizar estudos de Doutorado. O t´opico espec´ıfico do projeto ´e muito familiar ao professor Germ´an Gomero pois durante muitos anos ele utili- zou e calculou grupos fundamentais como parte de v´arios trabalhos de pesquisa. No entanto, mesmo a pesar desta experiˆencia, n˜ao lhe foi poss´ıvel estabelecer a viabilidade do aspecto computacional do projeto inicial. O resultado final deste relat´orio ´e o Teorema 5.3. Neste teorema se estabelece que o grupo fundamental do c´ırculo ´e o grupo aditivo dos n´umeros inteiros Z. A prova do teorema fornece tamb´em uma interpreta¸c˜ao deste resultado. O la¸co λ : I → S^1 est´a na classe de homotopia [ωn] se e somente se λ realiza n voltas entorno do c´ırculo. Se n for positivo as voltas s˜ao realizadas no sentido anti–hor´ario. Se n for negativo, no sentido hor´ario. Em outras palavras, o c´alculo do grupo fundamental informa que o c´ırculo possui um buraco entorno do qual podemos dar voltas. Toda a informa¸c˜ao geom´etrica que pode ser extra´ıda sobre o c´ırculo usando o grupo fundamental se resume a isso. Em vista da inviabilidade de utilizar o computador para extrair informa¸c˜ao geom´etrica do c´ırculo usando o grupo fundamental, decidiu–se continuar apenas com a parte te´orica do projeto que consistia, em ´ultima instˆancia, na prova do Teorema 5.3. S´o este objetivo j´a ´e bastante ambicioso para um projeto de Inicia¸c˜ao Cient´ıfica devidoa amplitude e a complexidade dos conceitos envolvidos, assim como `a experiˆencia e conhecimentos adquiridos pelo estudante durante sua realiza¸c˜ao. De fato, o dom´ınio de v´arios conceitos e t´ecnicas de Topologia Geral ´e um requisito essencial para todo este trabalho, mas esta disciplina s´o ´e oferecida no pen´ultimo semestre do curso de Bacharelado em Matem´atica. Por este motivo, o estudante Tauan teve que aprender estes t´opicos antecipadamente mediante estudo individual. Todos os conceitos de homotopia apresentados neste relat´orio, que s˜ao t´opicos que se estudam em cursos de Mestrado ou Doutorado, foram tamb´em objeto de estudo individual. Assim, este trabalho preparou o estudante Tauan para continuar estudos mais avan¸cados nesta ´area da Matem´atica. A seguir mencionamos algumas das possibilidades. A metodologia seguida neste trabalho para calcular o grupo fundamental do c´ırculo pode ser generalizada para outros espa¸cos desde que os Lemas 4.2, 4.5 e 4.6 sejam convenien- temente adaptados. Esta adapta¸c˜ao existe e ´e conhecida como a Teoria dos Espa¸cos de Recobrimento, que ´e uma das t´ecnicas usadas para calcular grupos fundamentais. As desvan- tagens deste m´etodo s˜ao (i) que n˜ao possui adapta¸c˜oes adequadas para o c´alculo de grupos de homotopia de ordem superior, e (ii) n˜ao se conhece uma adapta¸c˜ao do m´etodo que aborde aspectos computacionais. Um outro m´etodo de c´alculo de grupos fundamentais ´e baseado no teorema de Seifert–van Kampen. Este m´etodo resolve os dois problemas do m´etodo anterior, (i) pode ser general- izado para o c´alculo de grupos de homotopia de ordem superior, e (ii) se ajusta muito bem para estudar aspectos computacionais da teoria. Este m´etodo, por´em, precisa de maior bagagem te´orica. De fato, o Teorema de Seifert–van Kampen baseia–se na Teoria Combi- nat´oria de Grupos, uma formula¸c˜ao da Teoria de Grupos que foi desenhada especificamente para abordar problemas computacionais desta teoria.
