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Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 20, no.^ 2, junho, 1998 117
O Problema de Dois Corp os:
Aplicac~oes Pouco Discutidas nos Cursos de Mec^anica
Ro drigo Dias Tarsia
Observatorio Astron^omico Departamento de Fsica, ICEx - UFMG Caixa Postal 702, 30161 - 970 - Belo Horizonte
Trabalho recebido em 29 de marco de 1997
Neste artigo discute-se o problema de dois corp os p erturbado p ela presenca de uma ter- ceira partcula, sup ondo existir a interac~ao gravitacional m utua entre elas. O formalismo matematico simples e aplicado numa discuss~ao semiquantitativa de alguns casos tais como estabilidade de satelites e mares o ce^anicas.
- Intro duc~ao
O problema de dois corp os tem imp ort^ancia funda- mental em Fsica, sendo estudado em to dos os textos de Mec^anica. Entretanto ele e sempre tratado com as duas partculas isoladas do resto do Universo, hipotese usada para colo car em evid^encia as caractersticas prin- cipais do movimento. O caso geral e aquele em que cada uma das partculas sofre ac~ao de uma forca re- sultante externa ao sistema. Dep endendo desta forca o problema p o de se tornar complicado, passando a ser didaticamente desinteressante. Neste artigo apresenta- mos algumas aplicac~oes do caso geral, sup ondo existir a interac~ao gravitacional m utua entre as partculas e entre elas e uma terceira. O formalismo matematico e simples e aplicavel a casos p ouco discutidos nos livros de Mec^anica, mas que enriquecem o estudo do prob- lema.
- O problema geral
Sejam tr^es partculas de massas m 1 , m 2 e m 3 , inter- agindo gravitacionalmente. Estamos interessados em descrever o movimento de m 2 em relac~ao a m 1 , na pre- senca de m 3. As equac~oes de movimento de m 1 e m 2 em relac~ao a um referencial inercial com origem em um p onto O do espaco s~ao:
m 1 ~r 1 = F~ 21 (i) + F~ 31 (e) (1)
m 2 ~r 2 = F~ 12 (i) + F~ 32 (e) (2)
em que os ndices (i) e (e) s~ao usados para reforcar o que s~ao consideradas forcas internas e externas ao problema de dois corp os. Seja agora a mudanca de co ordenadas:
R^ ~ = m^1 ~r^1 +^ m^2 ~r^2 m 1 + m 2
~r 21 = ~r 2 ~r 1 e as transformac~oes inversas:
~r 1 = R~ (^) mm^2 1 +^ m 2
~r 21
~r 2 = R~ + (^) mm^1 1 +^ m 2
~r 21
em que R~ e o vetor-p osic~ao do centro de massa do sis- tema (m 1 ; m 2 ) em relac~ao a O e ~r 21 , o vetor-p osic~ao de m 2 em relac~ao a m 1. Com essas express~oes e com a terceira lei de New- ton, F~ 21 (i) = F~ 12 (i) , as equac~oes (1) e (2) p o dem ser transformadas em:
(m 1 + m 2 ) R~ = F~ 31 (e )+ F~ 32 (e) (3)
~r 21 = F~ 12 (i) + F~ 32 (e) m 2 ^
F~ 31 (e) m 1
com = (^) mm^1 m^2 1 +^ m 2 A primeira equac~ao descreve o movimento do cen- tro de massa do sistema (m 1 ; m 2 ) em relac~ao a O; a segunda, o movimento de uma partcula de massa re- duzida em relac~ao a m 1. Assim, o movimento da
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partcula m 2 , visto p or m 1 , e o mesmo que se m 1 fosse xa e m 2 tivesse massa . Se as forcas que atuam sobre as partculas s~ao de origem gravitacional, a equac~ao acima ca escrita:
~r 21 = G(m^1 +^ m^2 ) r 221 u^ ^^21 +^ Gm^3
u^ 32 r 322 ^
^u 31 r (^231)
em que ^uj k e o vetor unitario na direc~ao e sentido de ~rj k. Esta equac~ao nos da a acelerac~ao de m 2 em relac~ao a m 1. O primeiro termo e o do movimento kepleriano (descrito p elas leis de Kepler) de m 2 em relac~ao a m 1. O segundo termo, que chamaremos de acelerac~ao difer- encial, representa a in u^encia de m 3 sobre o movimento relativo de m 2. Ele e a diferenca entre as acelerac~oes de m 2 e m 1 , sob a ac~ao de m 3. Normalmente n~ao con- siderado nos livros, e o resp onsavel p elas aplicac~oes a serem discutidas a seguir. Notemos que os casos de nosso interesse s~ao aqueles em que a acelerac~ao diferen- cial e p equena em relac~ao a kepleriana; caso contrario, o problema passa a ser de tr^es corp os.
- O sistema Terra-Lua
A Lua descreve uma orbita kepleriana elptica em torno da Terra, cuja excentricidade e 0,055. O p ero do do movimento e de 27,32 dias; a dist^ancia media da Lua a Terra e de cerca de 384000 km. O plano da orbita lunar faz um ^angulo de 5,1 graus com o da orbita da Terra em torno do Sol (a Eclptica). Tanto o Sol como os outros planetas in uenciam no movimento da Lua em relac~ao a Terra atraves do termo n~ao keple- riano da equac~ao (5), mas o Sol, p or sua massa, e o que tem maior imp ort^ancia. Calculemos ent~ao a acel- erac~ao diferencial para o caso de m 3 ser o Sol. De- sprezando a inclinac~ao do plano orbital da Lua em relac~ao a Eclptica, p o demos ver que o valor maximo deste termo o corre com a Lua, a Terra e o Sol alinhados, quando u^ 32 = u^ 31. Nesse caso, r 31 = r = 1 ; 496 1011 m (dist^ancia media Terra-Sol), r 21 = d = 3 ; 84 108 m e r 32 = r d. Ent~ao:
ad = (^) (rGM dS) 2 GM r 2 S' 2 GMr 3 S^ d
p ois d << r. Portanto, a in u^encia do Sol e inver- samente prop orcional ao cub o da sua dist^ancia a Lua. Assim a acelerac~ao diferencial (ad ) p o de ser consider- ada como o efeito de uma p erturbac~ao ao movimento kepleriano puro. O valor desta acelerac~ao, em relac~ao
a pro duzida p ela atrac~ao gravitacional da Terra sobre a Lua (ag ) e dado p or:
ad ag^ =^
2 MS
(MT + ML )
d
r
com ML =MT = 0 ; 0123, MS = 1 ; 99 1030 kg e MT = 5 ; 98 1024 kg. Ap esar de p equeno, este termo e facilmente men- suravel. Ent~ao, quando os tr^es corp os est~ao alinhados, o Sol tende a afastar a Lua da Terra e quando a direc~ao Terra-Lua faz um ^angulo reto com a direc~ao Terra-Sol, o efeito e o de aproximar a Lua da Terra. Em qualquer caso, o Sol mo di ca a forma da orbita lunar em torno da Terra.
- Limite de estabilidade
Um outro efeito da presenca da acelerac~ao diferen- cial e o fato de que passa a existir um limite para a estabilidade do movimento de m 2 em relac~ao a m 1 , na presenca de m 3. Com efeito, se d e a dist^ancia entre m 1 e m 2 e r a entre m 3 e m 1 , a acelerac~ao diferencial maxima de m 2 , devida a presenca de m 3 e:
ad = (^) (rGm d^3 ) 2 Gm r 23 Quando esta acelerac~ao se iguala a kepleriana, temos:
r 3 (2d r ) = m^1 m+^ m^2 3
(d r )^2 d^2 Esta equac~ao da a maior dist^ancia d a que m 2 p o de car de m 1 de mo do que ainda p ermaneca gravitando em torno de m 1. Quando m 2 << m 1 e m 1 << m 3 , ela se reduz a:
d =
m
1 2 m 3
r
No caso do sistema Terra-Lua com a presenca do Sol, r = 1 ; 7 109 m, valor que e 4,8 vezes a dist^ancia Terra - Lua. Logo a Lua e estavel em sua orbita em torno da Terra.
- Mares o ce^anicas
O mesmo formalismo p o de ser aplicado para se ter uma explicac~ao simples sobre as mares o ce^anicas. As forcas de mare o correm to da vez que um corp o de di- mens~ao nita se acelera como um to do sob ac~ao de uma forca que varia ao longo da dimens~ao deste corp o. De- vido ao fato da Terra n~ao ser in nitamente p equena
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p elas aguas; a onda de mare encontra formas de litoral diferentes e complexas, b em como fundos de mar difer- entes. Isso pro duz atrito e em consequ^encia, o maximo de mare em um p onto da Terra, n~ao coincide com o momento de culminac~ao da Lua neste p onto, p o dendo haver atrasos de ate 6 horas. Da mesma forma, a altura da mare n~ao e a mesma em to dos os lugares.
- Limite de Ro che
Em 1880, Edouard Ro che mostrou que se um satelite se aproximar de um planeta alem de uma dist^ancia mnima, forcas de mare p o dem destru-lo. Emb ora a determinac~ao rigorosa desta dist^ancia seja complicada, o formalismo descrito e aplicado acima p o de ser usado para termos uma b oa aproximac~ao. Seja um satelite de massa m e raio r , orbitando em torno de um planeta de massa M >> m, a uma dist^ancia d. A acelerac~ao gravitacional pro duzida p elo planeta sobre o satelite, e GM =d^2. A acelerac~ao difer- encial que atua em um p onto da sup erfcie do satelite, sobre a linha que une os centros do planeta e do satelite, e dada p or:
ad = (^) (dGM r ) 2 GMd 2 ' 2 Gmrd 3
A acelerac~ao angular do centro do satelite e:
GM
d^3
e a acelerac~ao diferencial centrp eta entre a sup erfcie do satelite e seu centro e:
a 1 = w 2 (d r ) w 2 d = w 2 r = Gmrd 3
Para que o satelite n~ao se fragmente e necessario que a combinac~ao a 1 + ad seja igual a acelerac~ao auto- gravitacional do satelite, Gm=r 2 , o que da:
d =
3 M
m
r
A dist^ancia d e a menor dist^ancia que o satelite p o de car do planeta sem ser destruido p elos efeitos de mare. Em termos de densidades,
d =
M m
R ' 1 ; 44
M m
R
em que M e m s~ao as densidades volumetricas do planeta e do satelite e R, o raio do planeta. Os calculos completos resultam em que, para corp os solidos ou gelo, de raio maior que 20 km, o co e cien- te numerico da equac~ao acima e 1,38; para um corp o caindo diretamente sobre um planeta, o co e ciente e 1,19. Para o sistema Terra-Lua, d ' 2 ; 9 RT = 18500 km. Devemos notar que os satelites do sistema solar est~ao alem do limite de Ro che; ja os aneis de Saturno, que se lo calizam entre 80000 Km e 136000 km do centro do planeta, o limite de Ro che e 150000 km. O mesmo acontece com os aneis de J upiter, Urano e Netuno.
Ap^endice
A Figura 2 mostra o p onto P do o ceano sujeito a forca de atrac~ao gravitacional da Terra e da Lua.
A acelerac~ao de P , devido a atrac~ao gravitacional da Terra e:
g 0 = GMR 2 T A acelerac~ao diferencial a que esta sujeito P e
~ad = f~ ~gL = Gmr 2 u^r GmR 2 u^x em que M e a massa da Terra e m, a da Lua. Como r 2 = R^2 + R^2 T 2 RRT cos , o segundo termo da acelerac~ao diferencial ca:
f^ ~ =
GM
R^2
u^
r 1 2(RT =R)cos + (RT =R)^2 Como tambem (RT =R) << 1 a express~ao acima p o de ser desenvolvida e, em primeira ordem em (RT =R), temos:
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f^ ~ =
GM
R^2
f 1 + 2(RT =R)cos g ^u 1 g
Tambem em primeira ordem,
sen ' (RT =R)sen ; cos ' 1 Com isso, a express~ao da acelerac~ao diferencial do p onto P ca:
~ad =
GM RT
R^3
(2cos u^x sen u^y )
e a acelerac~ao total do p onto P e:
~ge = ~g 0 + ~ad A acelerac~ao diferencial e maxima para = 0, com direc~ao e sentido para Lua, havendo ent~ao uma diminuic~ao de ~ge no p onto sub-lunar (em que nosso satelite esta no z^enite). Quando = = 2 (na direc~ao p erp endicular a da Lua), a acelerac~ao diferencial e
mnima e ap onta para o centro da Terra; a acelerac~ao total e maxima. Entre esses dois p ontos, ~ge n~ao tem a direc~ao do centro da Terra; como a agua n~ao su- p orta forcas tangenciais, o envelop e aquoso se distorce de mo do tal que ~ge seja normal a sup er cie da agua. A massa o ce^anica tende ent~ao a se deslo car para as regi~oes da Terra situadas ao longo da reta que une os centros da Terra e da Lua, em amb os os lados da Terra.
Bibliogra a
D.L. Boulet,Methods of Orbit Determinations for the Microcomputer Willmann-Bell inc., Richmond, Vir- ginia, 1991. E.M. Rogers, Physics for the Inquiring Mind - Prince- ton University Press, Princeton, N.J. 1960. K.R. Simon, Mechanics 2rd Ed. - Addison Wesley Pub- lishing Co., 1960.
