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Tipologia: Exercícios
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Universidade Fedral da Bahia Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Estatística
Elaborada pelas professoras: Giovana Silva, Lia Moraes, Rosana Castro e Rosemeire Fiaccone
Revisada em 2011.1 - Monitora: Tatiana Felix da Matta Revisada em 2013.1 - Profas Gecynalda Gomes e Silvia Regina Revisada em 2016.1 - Monitor: Jackson Revisada em 2019.2 - Profas Giovana Silva e Verônica Lima
Salvador-BA, 5 de agosto de 2019.
Para muitos a Estatística não passa de conjuntos de tabelas de dados numéricos. Mas será que a estatística é só isso? A Estatística originou-se com a coleta e construção de tabelas de dados para o governo. A coleta de dados entretanto, representa apenas um dos aspectos da Estatística. Atualmente, podemos adotar a seguinte definição para a Estatística:
A Estatística constitui-se num conjunto de técnicas e métodos científicos que tratam da coleta, análise e interpretação de informações numéricas, cujo objetivo principal é auxiliar na tomada de decisões ou tirar conclusões em situações de incerteza, a partir de informações numéricas.
A Teoria Estatística moderna se divide em dois grandes campos:
Estatística Descritiva - consiste num conjunto de métodos que ensinam a reduzir uma quan- tidade de dados bastante numerosa por um número pequeno de medidas, substitutas e repre- sentantes daquela massa de dados. Estatística Indutiva ou Inferência Estatística - consiste em inferir (deduzir ou tirar con- clusões a respeito das) propriedades de um universo a partir de uma amostra. O processo de generalização, que é característico do método indutivo, está associado a uma margem de incerteza. A medida da incerteza é tratada mediante técnicas e métodos que se fundamentam na Teoria das Probabilidades.
A Estatística Descritiva abrange métodos gráficos e numéricos, utilizados para resumir dados de maneira que características importantes da amostra possam ser observadas. A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de métodos computacionais mais eficientes revigorou a área da Estatística denominada “Estatística Descritiva”. Na maioria das vezes não podemos investigar o fenômeno que estamos interessados em estudar para todos os elementos da população pois além do custo ser muito alto, o levantamento dos dados poderia levar muito tempo. Para resolver este problema devemos trabalhar com um
subconjunto da população, chamado de AMOSTRA. Se selecionarmos os elementos da amostra de acordo com critérios estatísticos, podemos conhecer as informações relativas à população através da amostra. A inferência estatística procura com base nos dados amostrais tirar conclusões sobre a população. Considere o exemplo abaixo para ilustrar as definições dadas.
Exemplo: (Notas de Aula da Disciplina MAT116 - USP) Numa pesquisa eleitoral um Instituto de Pesquisa procura com base nos resultados de um levantamento aplicado a uma amostra da população prever o resultado da eleição. Considere o candidato “A”:
a) Denomine por p a proporção de pessoas que votarão em “A” na eleição. b) Denomine por ˆp a proporção de pessoas no levantamento de opinião (amostra) que expressam intenção de voto em “A”. Podemos usar o valor de ˆp para estimar a proporção p da população.
O esquema a seguir resume as etapas de um trabalho estatístico:
Quase toda atividade e experiência humana envolvem coleta e análise de algum tipo de informação (dados). Na coleta de dados relativos ao comportamento ou outras características de um grupo de indivíduos, amostras aleatórias de um processo ou resultados de repetitivas medições, sempre envolvem variação.
Os empregados de uma empresa devem tornar-se mais familiarizados com estatística. Eles devem entender e conhecer as técnicas estatísticas disponíveis, e adaptação de dados de experi- mentos para a análise estatística. Um profissional treinado em Estatística terá maior facilidade em identificar um problema em sua área de atuação, determinar os tipos de dados que irão contribuir para a sua análise, coletar estes dados e a seguir estabelecer conclusões e determinar um plano de ação para a solução do problema detectado. Qualquer um que derive informações a partir de dados está agindo como um estatístico. Veja algumas aplicações de Estatística na solução de problemas práticos nos artigos a seguir:
Diz–se geralmente que a teoria da probabilidade originou-se com Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665), devido à curiosidade de um cavalheiro Chevalier de Meré, jogador apaixonado, que em cartas discutiu com Pascal problemas relativos à probabilidade de ganhar em jogos de cartas. Despertado pelo assunto Pascal discutiu com Fermat sobre o que hoje chamaríamos de probabilidades finitas. Mas em verdade a teoria elementar das probabilidades já tinha sido objeto de atenção bem antes, uma vez que os jogos de azar sempre exerceram fascínio sobre os homens. A primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades é o livro De Ludo Aleae (So- bre os jogos de azar) de Girolamo Cardano (1501-1576), publicado em 1663. Também Galileu (1564-1642) preocupou-se com as probabilidades, estudando os jogos de dados para responder a pergunta de um amigo. A teoria das probabilidades passou a desenvolver-se de maneira mais organizada a partir do século XVII e importantes contribuições de ilustres matemáticos devem ser registradas. No famoso livro, Ars Cnjectandi de Jaime Bernoulli (1654-1705) encontramos um teorema de im- portância decisiva para a teoria das probabilidades, conhecido como a Lei dos Grandes Números , nome que lhe foi dado pelo matemático francês Siméon Poisson (1781-1840). Poderíamos citar muitos outros com importantes contribuições, mas certamente o matemático que mais contri- buiu para a teoria das probabilidades foi Laplace (1749-1827). Seus inúmeros trabalhos sobre as probabilidades foram incorporados em seu monumental Tratado Analítico das Probabilidades. Atualmente as teorias das probabilidades têm extrema importância nas mais diversas áreas desde a engenharia, medicina, epidemiologia, demografia, economia, administração, meteoro- logia, fotografias de satélites, marketing, predição de desastres naturais, ciências sociais entre outras. Além das muitas aplicações formais, o conceito de probabilidade está no nosso dia a dia. Sempre ouvimos e falamos frases como: “Provavelmente vai chover amanhã”, “É provável que o avião se atrase”, “Há boas chances de que eu possa comparecer”. Cada uma desta expressões
Modelo probabilístico é definido por: a) Um espaço amostral (Ω); b) Uma probabilidade, P( · ), para cada ponto amostral.
Espaço amostral ( Ω ): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos de experimentos aleatórios e seus respectivos espaços amostrais: E 1 : Jogar uma moeda e observar a face superior. Ω 1 = { Cara, Coroa } E 2 : Jogar um dado e observar a face superior. Ω 2 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } E 3 : Determinar o tempo de vida útil de uma lâmpada. Ω 3 = { t ∈ ℜ / t ≥ 0 }
Espaços amostrais podem ser finitos ou infinitos.
Evento: Qualquer subconjunto de um espaço amostral. Representado pelas letras latinas maiúsculas A, B, C,...
Exemplo 2: No lançamento de um dado consideremos o evento “ocorrer um número par”. A: ocorrer um número par, em que Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {2, 4, 6} ⊂ Ω
Exemplo 3: Vai chover no litoral baiano no fim de semana? Ω = {chove, não chove} Em geral, temos interesse em eventos particulares do experimento. O evento A pode representar a ocorrência de chuva A = {chove} ⊂ Ω
Os conjuntos Ω e φ também são eventos: Ω é o evento certo φ é o evento impossível
Exercício de fixação:
Respostas:
a) Resp.: Ω={0,1,2,...,N} em que N é o número máximo de peças que podem ser produzidas no período de 1 hora. b) Resp.: Ω={ t ∈ ℜ / 0 ≤ t ≤ t 0 } em que t 0 é o tempo máximo de duração da lâmpada acesa, até que ela se queime ou Ω={ t ∈ ℜ / t ≥ 0 }. c) Resp.: Ω={ (ca, ca, ca); (ca, ca, co); (ca, co, ca); (co, ca, ca); (ca, co, co); (co, ca, co); (co, co, ca); (co, co, co)}. d) Resp.: Ω={ ( x, y ) ∈ ℜ^2 ; x^2 + y^2 ≤ 1 }.
Ao realizar um experimento aleatório diz-se que o evento A ocorreu se o resultado observado for um elemento do subconjunto A. Dados dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral:
Exemplo 4: Lançamento de um dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento B: representa sair face par => B = {2, 4, 6} Evento C: representa sair uma face ímpar => C = {1, 3, 5} Evento D: representa sair uma face maior que 3 => D = {4, 5, 6}
Um espaço amostral é equiprovável quando todos os elementos têm a mesma probabilidade de ocorrer, isto é, todos os seus elementos são igualmente prováveis.
Definição clássica: Seja A um evento associado ao espaço amostral finito Ω, no qual todos os resultados são igualmente possíveis (ou equiprováveis). Vamos definir a probabilidade do evento A, P(A) como o quociente entre o número de elementos em A e o número de elementos em Ω: P ( A ) = # #Ω A ,
isto é, a razão entre os casos favoráveis ao evento e o total de casos possíveis. Limitações:
Exemplo 5: Qual a probabilidade de obter um número par no lançamento de um dado? Ω = {1,2,3,4,5,6} A = número par = {2, 4, 6} P ( A ) =^36
Obs.: Para calcular probabilidade utilizando a definição clássica, em geral utilizam-se os méto- dos de enumeração: combinações, arranjos e permutações (ver Apêndice).
As limitações da definição clássica de probabilidade, que só se aplica a espaços amostrais finitos e equiprováveis, levaram a considerar outra forma de calcular probabilidade de um evento partindo da frequência relativa do evento ao se repetir o experimento, n vezes, sob as mesmas condições. Em linguagem matemática, quando n cresce, o limite da frequência relativa de ocorrência de A é igual a P(A), isto é,
n lim→∞ fn ( A ) = lim n →∞^ #de repetições que A ocorre n =^ P^ ( A )
Exemplo 11: Suponha que vamos realizar um experimento de lançar 20 vezes uma moeda e observar o número de caras. A cada lançamento vamos considerar o número de caras que até então ocorreram (na) dividido pelo número de lançamentos (n) , ou seja, a frequência relativa de caras. Os resultados referentes a esse experimento encontram-se na tabela abaixo:
n na fa = n na N na fa = n na 1 1 1 11 6 116 2 1 12 12 7 127 3 2 23 13 7 137 4 3 34 14 8 148 5 3 35 15 8 158 6 3 36 16 8 168 7 3 37 17 8 178 8 4 48 18 8 188 9 5 59 19 9 199 10 5 105 20 9 209 Vejamos o comportamento das frequências relativas por meio do gráfico a seguir:
A partir desta Figura vemos que a medida que aumenta o número de lançamentos, a frequên- cia relativa se aproxima de 0,5. Em linguagem matemática dizemos que a frequência relativa
Exemplo 12: Se P ( A ∩ Bc ) = 0 , 2 e P ( Bc ) = 0 , 7. Achar P ( A ∪ B )? (Use diagrama de Veen) P ( A ∩ Bc ) = P ( A ) − P ( A ∩ B ) ⇒ 0 , 2 = P ( A ) − P ( A ∩ B ) ⇒ P ( A ) = 0 , 2 + P ( A ∩ B ) P ( Bc ) = 1 − P ( B ) ⇒ 0 , 7 = 1 − P ( B ) ⇒ P ( B ) = 0 , 3 P ( A ∪ B ) = 0 , 2 + 0 , 3 = 0 , 5
Exercício de fixação:
b) a peça não tenha defeito? Resp.:0,625.
c) a peça seja boa ou tenha defeito grave? Resp.:0,75.
Considere o exemplo abaixo: Dados do Censo Demográfico de 91 publicado pelo IBGE relativos aos habitantes de Sergipe, na faixa etária entre 20 e 24 anos com relação às variáveis Sexo e Leitura.
Sexo Lê Não Lê Total Masculino 39.577 8.672 48. Feminino 46.304 7.297 53. Total 85.881 15.969 101. E: Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe.
Eventos de interesse:
Podemos obter algumas probabilidades:
P ( L ) = n
o (^) de jovens que sabem ler no^ de jovens de Ω =^
P ( M ) = n
o (^) de jovens do sexo masculino no^ de jovens de Ω =^
P ( F ) = P ( Mc ) = 1 − P ( M ) = 1 − 0 , 473 = 0 , 527
P ( M ∩ L ) = n
o (^) de jovens do sexo masculino e que sabem ler no^ de jovens de Ω =^
No exemplo anterior, se soubermos que o jovem sorteado é do sexo masculino, qual é a pro- babilidade de que saiba ler? Temos uma informação parcial: o jovem é do sexo masculino. Vamos designar a probabilidade de que o jovem sabe ler quando se sabe que o jovem é do sexo masculino por P (L|M) e denominá-la probabilidade condicional de L dado M. É natural atribuirmos:
P ( L | M ) = n
o (^) de jovens que sabem ler dentre aqueles do sexo masculino no^ total de jovens do sexo masculino =
Note que:
no^ de jovens do sexo masculino e que sabem ler no^ total de jovens no^ de jovens do sexo masculino no^ total de jovens
P ( M | L ) = P^ ( PM ( M^ ∩^ ) L )
Por exemplo, a probabilidade de ser do sexo masculino dado que lê é dada por:
são retiradas, uma a uma, sem reposição até que ambas defeituosas sejam encontradas. Qual a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio?
Solução: Evento A: sair uma válvula defeituosa ⇒ P ( A ) =^24 Evento B: a última válvula é defeituosa Evento B|A: sair a última válvula defeituosa | saiu uma válvula defeituosa ⇒ P ( B | A ) =^13 Pelo teorema do produto temos que,
P ( A ∩ B ) = P ( B | A ) .P ( A ) =^24_._^13 = 122 De modo geral, considere 3 eventos A, B e C, tem-se que:
P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( C | A ∩ B ) .P ( A ∩ B ) = P ( C | A ∩ B ) P ( B | A ) P ( A ) Esta relação pode ser estendida para um número finito qualquer de eventos.
Exercício de fixação:
b) De ocorrer A e não B? Resp.:0,0002.
Sejam A e B dois eventos de um experimento qualquer. Há duas maneiras de B ocorrer, considerando a ocorrência ou não do evento A: ou A e B ocorrem ( A ∩ B ) ou Ac^ e B ocorrem ( Ac^ ∩ B ). Deste modo, B = ( A ∩ B ) ∪ ( Ac^ ∩ B ), em que A ∩ B e Ac^ ∩ B são conjuntos disjuntos.
Então, P ( B ) = P ( A ∩ B ) + P ( Ac^ ∩ B ). Pela regra do produto P ( B ) = P ( A ) .P ( B | A ) + P ( Ac ) P ( B | Ac )
Tem-se uma partição de um espaço amostral em um número finito de eventos Ai ( i = 1,2,...,n) se:
⋂^ n i =
Ai = Ω, isto é, os eventos A são exaustivos. Regra da Probabilidade Total: se a sequência de eventos aleatórios A 1 1, A 2 ,..., An formar uma partição de Ω, então:
P ( B ) = ∑^ n i
P ( Ai ∩ B ) = ∑^ n i
P ( Ai ) P ( B | Ai )
