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GUÍA DE EJERCICIOS Nº5 DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
Rubén Hernán Bustillos Borja
TEMA : TECNICAS DE CONTEO Y EXPERIMENTO ALEATORIO
1. Para cada uno de los siguientes experimentos describa el ESPACIO MUESTRAL y los elementos del Evento “A”.
a) : Lanzar un dado legal. A: El resultado es mayor que cuatro
b) : Se observa la durabilidad de un artefacto eléctrico. Se registra el tiempo “t” (en horas) de buen funcionamiento. A: El tiempo hasta la falla es mayor de 1000 horas
c) : Observar el número de piezas defectuosas en un proceso de fabricación. A: Por lo menos 5 piezas defectuosas.
d) : Temperatura de trabajo en grados (ºC) de un artículo electrodoméstico. A: Se trabaja a una temperatura bajo cero.
e) : Lanzar una moneda legal y observar el lado que cae hacia arriba A: Al lanzar la moneda sale cara.
f) : Lanzar tres veces una moneda legal y observar el número total de caras A: El total de caras es mayor que uno
g) : Lanzar un par de dados y observar los números que resultan. A: La suma de los lanzamientos es siete.
2. Si una prueba se compone de 12 preguntas de verdadero-falso, a ). ¿de cuántas maneras diferentes un estudiante puede dar una respuesta para cada pregunta?, b ) Si de antemano el maestro le dice que la primera pregunta es verdadera, ¿cuántas maneras tiene de contestar esta prueba? R. a.4,096 b.2,048 maneras 3. Un inspector de construcciones tiene que revisar el cableado de un nuevo departamento, ya sea el lunes, el martes, miércoles o jueves, a las 8 a.m., a las 10 a.m. o a las 2 p.m, a) ¿cuántas maneras tiene este inspector de hacer las revisiones del cableado?, b ) Obtenga las maneras en que el inspector puede realizar las revisiones del cableado, haciendo uso ahora de un diagrama de árbol. a y b. R=12 maneras 4. Una computadora de propósito especial contiene cuatro conmutadores, cada uno de los cuáles puede instalarse de tres maneras diferentes. ¿De cuantas maneras diferentes puede instalarse el banco de conmutadores de la computadora? R=81 maneras 5. Determine el número de maneras en las que un fabricante puede seleccionar dos de las veinte ubicaciones para un almacén R=190 maneras 6. El departamento de suministros tiene ocho diferentes motores eléctricos y cinco diferentes interruptores de arranque. ¿De cuantas maneras pueden seleccionarse dos motores y dos conmutadores para un experimento de una antena de rastreo?, R= 7. A los participantes de una convención se les ofrecen 6 recorridos por día para visitar lugares de interés durante los tres días de duración del evento. ¿En cuántas formas puede una persona acomodarse para hacer alguno de ellos? R=18 formas
TEMA : PROBABILIDADES
8. Se elige dos carta de una baraja, ¿cuál es la probabilidad de que sea una a) reina? b) jota? c) reina o una jota? d) Un diamante? 9. La probabilidad de que haya una llovizna el 22 de agosto en Pasco es 0,20 ; de que truene es 0,06 y de que llovizne y truene es 0,04. ¿cuál es la probabilidad de que llovizne o truene en ese día en Pasco? 10. En cierta comunidad, la probabilidad de que una familia tenga televisor es 0,85; una lavadora es 0,60 y de que tenga ambos es 0,45. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga televisor o lavadora o ambos artefactos? 11. Una caja contiene 100 tubos de televisión. La probabilidad de que haya al menos un tubo defectuoso es 0,05 y de que haya al menos dos tubos defectuosos es 0,01. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga a) Ningún tubo defectuoso? b) exactamente un tubo defectuoso? c) a lo más un tubo defectuoso? 12. De los estudiantes de una universidad, 40% son varones y 6% son varones que estudian arte. Si se elige un estudiante al azar y éste resulta ser un varón, ¿cuál es la probabilidad de que estudie arte? 13. Una urna contiene 4 bolitas blancas y 5 rojas. a) Si se sacan dos bolitas sin restitución, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean blancas?. b) Si se sacan dos bolitas con restitución, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean blancas? 14. La urna A contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas, la urna B contiene 2 blancas y 5 rojas y la C 3 blancas y 6 rojas. Se saca una bolita de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean las tres del mismo color? 15. Se sacan dos cartas, sin restitución, de una baraja de 52 cartas. Cuál es la probabilidad de que: a) la primera carta sea una reina y la segunda un rey? b) se obtenga una reina y un rey? c) Ninguna de las dos cartas sea reina d) Ninguna de las dos cartas sea reina ni rey? 16. Se sacan cinco cartas sin restitución de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Las primeras tres cartas sean reinas y las dos últimas reyes? b) Sólo las tres primeras cartas sean reinas? c) Las tres primeras cartas sean reinas? 17. Se extraen cartas sucesivamente y sin restitución de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) la primera reina aparezca en la tercera extracción. b) aparezca una reina en la tercera extracción. 18. Se sacan tres cartas sin restitución de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que haya por lo menos un rey entre las tres cartas? 19. Se lanza un dado tres veces, ¿cuál es la probabilidad de: a) no obtener tres “seis” consecutivos? b) Que aparezca la misma cara las tres veces? 20. Un dado tiene una cara pintada de rojo, dos de verde y el resto de negro. Se lanza el dado cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) las tres primeras veces se obtenga rojo y la última verde? b) sólo las tres primeras veces se obtenga rojo? c) Las tres primeras veces se obtenga rojo? 21. Un cazador dispara 7 balas sucesivas a un tigre enfurecido. Si la probabilidad de que una bala mate es 0,6. ¿Cuál es la probabilidad de que el cazador esté todavía vivo? 22. Un lote de 100 fusibles contiene 2 fusibles defectuosos. Si se prueban los fusibles uno por uno, ¿cuál es la probabilidad de que el último fusible defectuoso sea detectado en la tercera prueba? 23. La urna A contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas y la urna B contiene 2 blancas y 5 rojas. Se lanza un dado no cargado. Si resulta 1 ó 2, se sacan 2 bolitas sin restitución de la urna A ; si resulta 3,4,5 ó 6 se sacan 2 bolitas sin restitución de la urna B. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolitas resulten ser blancas? b) Dado que las dos bolitas son blancas, ¿cuál es la probabilidad de que se haya elegido la urna A?
34. Una empresa distribuidora de CD’s ha sufrido recientemente una inundación sus almacenes. Los CD’s habían sido empaquetados en cajas especiales a prueba de agua y por lo tanto no ha sido dañado. Sin embargo, las etiquetas de identificación han sido deteriorados completamente por el agua y la compañía no es capaz de decir qué cajas contienen CD’s de alta, mediana o baja calidad. De la experiencia pasada la compañía determinó que el número de letras impresas defectuosamente en la marca del CD de cada una de las tres calidades es tal como se muestra en la sgte tabla: EVENTO # DE LETRAS DEFECTUOSOS
CALIDAD DE LOS CD
Alta Meddiana Baja D 0 0 0.95 0.90 0. D 1 1 0.03 0.05 0. D 2 2 0.01 0.03 0. D 3 3 0.01 0.02 0.
TOTAL 1.00 1.00 1. Se sabe también que el 50% de los CD’s almacenados era de alta calidad, 30% de calidad media y 20% de calidad baja. La empaquetada se hizo de 30 CD por caja, siendo los Cd’s de una misma calidad. Si una caja es seleccionada al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que la caja sea de calidad alta, si el primer CD probado tuvo tres letras impresos defectuosamente?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la caja sea de calidad alta, sino se encontraron letras defectuosas en el primer disquete probado? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un CD tenga tres letras defectuosas si es tomado de una caja de CD de alta calidad?.
35. Demostrar las siguientes propiedades:
a) P 0 b) Si A B P A P B
c) P Ac 1 P A d) P A B P A P B P AB
e) Si A 1 , A ,........., 2 An son eventos mutuamente excluyentes, entonces
n n
i i i (^) i
P A P A (^)
36. Demuéstrese que para dos eventos A y B cualesquiera, la probabilidad de que ocurra exactamente uno de
ellos es P A P B 2. P AB
37. Sea A 1 (^) , A ,........., 2 An , ....... cualquier sucesión infinita de eventos y sea otra sucesión infinita
B 1 (^) , B ,........., 2 Bn , ....... tales que B 1 (^) A 1 , B 2 (^) A A 1 2 ; B 3 (^) A 1 (^) A 2 (^) A 3 ; B 4 (^) A 1 (^) A 2 (^) A 3 (^) A 4 , .......
Demostrar que
n n
i i i (^) i
P A P B (^)
, para todo n 1,2,3,..........
38. Si A y B son eventos independientes, entonces también son independientes:
a. A y
c B b) B y
c A c)
c A y
c B
39. Si A y B son eventos cualesquiera tal que P B 0 .Demostrar que P A / B satisface los axiomas de
probabilidad.
40. Si B 1 (^) , B 2, (^) B 3 ......., Bn son eventos mutuamente excluyentes y A un evento cualesquiera tal que
P A 0^. Demostrar que:
n (^) n
i i i i
P B A P B A
41. Sea A , B y C eventos cualesquiera tales que P A 0.
Demostrar que: P B C / A P B / A P C / A P BC / A
42. Supóngase que A y B son eventos tales que P A P B 1 3 y P A B P B A 2 3.
Calcular P Ac Bc
43. La probabilidad de elegir la urna Ui ( i 1 ) del conjunto de urnas U 1 (^) , U 2 (^) , U 3 ,......... es
1
2 i
veces la
probabilidad de seleccionar la urna U 1 i 1 , la urna Ui contiene 4 i bolas de las cuales i bolas son blancas y las restantes son negras. Se elige una urna al azar y de ella se extrae también al azar una bola. Si se obtiene una bola blanca ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la urna U 1 ?.
44. Una urna contiene r bolas rojas y b bolas blancas. Se extrae una bola al azar y se observa el color y se
devuelve la bola a la urna introduciéndose también k bolas adicionales del mismo color. Se extrae aleatoriamente una segunda bola, se observa el color y se devuelve junto con k bolas adicionales del mismo color. Cada vez que se extrae una bola se repite este proceso. Si se extraen cuatro bolas ¿cuál es la probabilidad de que las tres primeras bolas sean rojas y la cuarta.
45. Si en la población del Colegio de Ingenieros del Perú, el 10% son lambayecanos. La probabilidad que un ingeniero colegiado paisano de Federico Villarreal (nacido en 1850 en Tucume - Lambayeque ) sea docente universitario es (^) 100^ m ; mientras que si el colegiado ingeniero no es de Lambayeque, la probabilidad que sea
docente universitario es^250 m. Además se sabe que el (80+ m )% de los ingenieros peruanos están colegiados. a) Si elegimos al azar a un ingeniero colegiado peruano ¿Cuál es la probabilidad que sea de Lambayeque, si se sabe que dicha persona afirma ser docente universitario? b) Si elegimos a la azar un peruano ingeniero al azar ¿ Cual es la probabilidad que dicha persona sea un ingeniero que no está colegiado?
Nota. Dé las condiciones de m para que las probabilidades a plantearse para este problema estén bien definidas.
