Obmep banco 2012, Notas de estudo de Matemática

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Banco de Questões 2012 Copyright© 2012 by IMPA

Direitos reservados, 2012 pela Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada – IMPA Estrada Dona Castorina, 110 – Rio de Janeiro – 22460-

Impresso no Brasil/Printed in Brazil Primeira edição e impressão

Capa: Rogério Kaiser

IMPA/OBMEP Banco de Questões 2012 Rio de Janeiro, IMPA, 2012 144 páginas ISBN 978-85-244-0336-

Distribuição IMPA/OBMEP Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail: [email protected] www.obmep.org.br

Apresentação

Desde da sua primeira edição em 2005, a OBMEP oferece a todas as escolas públicas do país um Banco de Questões com problemas e desafios de matemática para alunos e professores. O Banco pretende despertar o prazer pela matemática, estimular o aluno interessado com perguntas instigantes e proporcionar um treinamento para as provas da OBMEP. O Banco de Questões deste ano apresenta uma coletânea de problemas de antigas provas da OBMEP, tanto da primeira quanto da segunda fase, organizada por assuntos pelos professores Adriana Neu- mann de Oliveira (UFRGS), Marcelo Richard Hilário (UFMG) e Tertuliano Franco (UFBA). Algumas das soluções aparecem pela primeira vez neste volume. Foram escolhidos problemas que requerem, mais do que qualquer conhecimento prévio, imaginação e raciocínio. O que não quer dizer que sejam simples, havendo uma gama variada de complexidade. Ainda que este seja um conceito relativo, tentou-se ao máximo apresentá-los em uma ordem crescente de dificuldade. As soluções, revisadas e até transformadas, são basicamente oriundas das soluções apresentadas na página da OBMEP. Com o objetivo de facilitar o uso do material, as questões foram classificadas por níveis e por temas, Aritmética, Combinatória e Geometria, embora muitos problemas envolvam mais de um tema e pertençam a níveis diferentes. Aproveito a oportunidade para agradecer ao coordenador do Comitê de Provas da OBMEP, e a todos os demais membros, presentes e passados, do comitê pelo excelente trabalho realizado nestes últimos anos na elaboração de problemas originais e instigantes. A qualidade das provas, um motivo de orgulho para a OBMEP, baseada em problemas que não exigem um conhecimento profundo em matemática, mas apenas raciocínio, capacidade de abstração e alguma criatividade, permite todo ano revelar jovens de escolas públicas com especial talento para a matemática. A edição deste ano do Banco de Questões e todas as edições anteriores estão disponíveis na página www.obmep.org.br, assim como as apostilas e o material didático utilizado no Programa de Iniciação Científica Junior. Se você, leitor, encontrar uma solução para algum problema diferente da solução apresentada ao final do Banco de Questões, nao deixe de mandá-la para [email protected], pois ela poderá ser publicada na página da OBMEP.

Boa diversão, Claudio Landim Coordenador Geral da OBMEP

“A educação é um ato de amor, por isso, um ato de coragem. Não pode temer o debate. A análise da realidade. Não pode fugir à discussão criadora, sob pena de ser uma farsa.”

Paulo Freire (1921-1997), educador e filósofo brasileiro

10 OBMEP – Banco de Questões 2012

b) Mariazinha disse “setenta e seis” para o matemágico. Qual é o número e a cor do cartão que ela escolheu? c) Após escolher um cartão, Pedrinho disse “sessenta e um” e o matemágico respondeu “Você errou alguma conta”. Explique como o matemágico pôde saber isso.

5 Somando no lugar certo

Colocando sinais de adição entre alguns dos algarismos do número 123456789 podemos obter várias somas. Por exemplo, podemos obter 279 com quatro sinais de adição: 123+ 4 + 56 + 7 + 89 = 279. Quantos sinais de adição são necessários para que se obtenha assim o número 54?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

6 Jogando com números

Ana e Cristina estão jogando contra Beatriz e Diana. No início de cada partida, elas embaralham nove cartões numerados de 1 a 9 e cada uma pega dois cartões, sobrando sempre um cartão na mesa. Cada menina calcula seus pontos somando os números de seus cartões e o número de pontos da dupla é a soma dos pontos das duas parceiras. Vence a dupla que fizer o maior número de pontos. Veja um exemplo de uma partida na tabela:

Ana Cristina Beatriz Diana Cartões retirados 1 e 4 5 e 7 2 e 9 3 e 6 Pontos de cada menina 1 + 4 = 5 5 + 7 = 12 2 + 9 = 11 3 + 6 = 9 Pontos da dupla 5 + 12 = 17 11 + 9 = 20 Resultado Beatriz e Diana ganham, pois 20 é maior que 17

a) Numa partida, Ana e Cristina tiraram somente cartões com números ímpares, e sobrou o cartão de número 7. Qual foi o resultado da partida? Por quê? b) Uma partida pode terminar empatada se sobrar o cartão de número 8? Por quê? c) Uma partida pode terminar empatada se sobrar o cartão de número 5? Por quê? d) Em outra partida, uma das meninas tirou o cartão de número 3. Ana fez um ponto a menos que Beatriz, que fez um ponto a menos que Cristina, que fez um ponto a menos que Diana. Quantos pontos fez a dupla que ganhou?

7 Números e palitos de fósforo

Com palitos de fósforo formamos algarismos, conforme a figura. Deste modo, para escrever o número 188, usamos 16 palitos.

Nível 1 – Aritmética 11

César escreveu o maior número que é possível escrever com exatamente 13 palitos. Qual é a soma dos algarismos do número que César escreveu?

A) 8 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15

8 Chegando ao 1

Numa aula de Matemática, a professora inicia uma brincadeira escrevendo, no quadro-negro, um número. Para continuar a brincadeira, os alunos devem escrever outro número, seguindo as regras abaixo:

• Se o número escrito só tiver um algarismo, ele deve ser multiplicado por 2.
• Se o número escrito tiver mais de um algarismo, os alunos podem escolher entre apagar o algarismo das unidades ou multiplicar esse número por 2. Depois que os alunos escrevem um novo número, a brincadeira continua com este número, sempre com as mesmas regras. Veja a seguir dois exemplos desta brincadeira, um começando com 203 e o outro com 4197:

dobra −−−−−−−−−→ 406

apaga −−−−−−−−−→ 40

apaga −−−−−−−−−→ 4...

apaga −−−−−−−−−→ 419

dobra −−−−−−−−−→ 838

apaga −−−−−−−−−→ 83...

a) Comece a brincadeira com o número 45 e mostre uma maneira de prosseguir até chegar ao número 1. b) Comece agora a brincadeira com o número 345 e mostre uma maneira de prosseguir até chegar ao número 1. c) Explique como chegar ao número 1 começando a brincadeira com qualquer número natural diferente de zero.

9 Resumindo

Para obter o resumo de um número de até 9 algarismos, deve-se escrever quantos são seus algarismos, depois quantos são seus algarismos ímpares e finalmente quantos são seus algarismos pares. Por exemplo, o número 9103405 tem 7 algarismos, sendo 4 ímpares e 3 pares, logo seu resumo é 743.

a) Encontre um número cujo resumo seja 523. b) Encontre um número que seja igual ao seu próprio resumo. c) Para qualquer número de até 9 algarismos, podemos calcular o resumo do resumo de seu resumo. Mostre que esse procedimento leva sempre a um mesmo resultado, qualquer que seja o número inicial.

10 Casais especiais

Dois números naturais formam um casal quando eles têm o mesmo número de algarismos e em sua soma aparece apenas o algarismo 9. Por exemplo, 225 e 774 formam um casal, pois ambos têm três algarismos e 225 + 774 = 999.

a) Qual é o número que forma um casal com 2010? b) Quantos são os casais formados por números de dois algarismos?

Casais especiais são casais em que os dois números têm os mesmos algarismos e que, em cada número, os algarismos são distintos. Por exemplo, 36 e 63 formam um casal especial, mas 277 e 722 não.

c) Dê um exemplo de casal especial com números de quatro algarismos. d) Explique por que não existem casais especiais com números de três algarismos.

11 Supernúmeros

Um número A de dois algarismos é um supernúmero se é possível encontrar dois números B e C, ambos também de dois algarismos, tais que:

Combinatória 13

Assunto Combinatória

14 Dado no papelão

Num dado comum, a soma dos pontos de duas faces opostas é sempre 7. É possível construir um dado comum dobrando e colando uma das peças de papelão a seguir. Que peça é essa?

15 Sacas de arroz e sacas de milho

A caminhonete do Tio Barnabé pode carregar até 2000 quilos. Ele aceita um serviço para transportar uma carga de 150 sacas de arroz de 60 quilos cada e 100 sacas de milho de 25 quilos cada.

a) Você acha possível que o Tio Barnabé faça esse serviço em cinco viagens? Por quê? b) Descreva uma maneira de fazer o serviço em seis viagens.

16 Com pés e cabeças

Um fazendeiro perguntou ao seu filho: Quantos pés eu posso contar quando eu estou tirando leite de uma vaca? O menino respondeu: São 6, sendo 4 da vaca e 2 seus. O pai então disse: Na verdade são 9, porque você esqueceu de contar os 3 do banquinho em que eu fico sentado. A seguir, o pai propôs outro problema ao seu filho: Num curral há algumas pessoas, vacas e banquinhos, pelo menos um de cada. O número total de pés é 22 e o de cabeças é 5. Quantas vacas há no curral? O menino resolveu o problema corretamente. Qual foi sua resposta?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

17 Pedrinho escreve números

Pedrinho escreveu todos os números inteiros compreendidos entre 100 e 999 cuja soma dos algarismos é 12. Por exemplo, os números 129 e 750 aparecem entre os números escritos.

a) Quantos números escritos têm apenas dois algarismos iguais? b) Quantos números escritos são formados apenas por algarismos ímpares?

14 OBMEP – Banco de Questões 2012

18 Quantos foram os empates?

Quatro times disputaram um torneio de futebol em que cada um jogou uma vez contra cada um dos outros. Quando uma partida terminava empatada, cada time ganhava um ponto; caso contrário, o vencedor ganhava três pontos e o perdedor, zero. A tabela mostra a pontuação final do torneio. Quantos foram os empates?

Time Pontos Cruzínthians 5 Flameiras 3 Nauritiba 3 Greminense 2

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

19 Futebol matemático

Os times A, B, C, D e E disputaram, entre si, um torneio de futebol com as seguintes regras:

• o vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha nada;
• em caso de empate, cada um dos times ganha 1 ponto;
• cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros. O campeão do torneio foi o time A, seguido na classificação por B, C, D e E, nessa ordem. Além disso:
• o time A não empatou nenhuma partida;
• o time B não perdeu nenhuma partida;
• todos os times terminaram o torneio com números diferentes de pontos.

a) O time A ganhou, perdeu ou empatou sua partida contra o time B? Por quê? b) Com quantos pontos o time A terminou o torneio? Por quê? c) Explique porque o time B obteve um número par de pontos nesse torneio. d) Na tabela, cada coluna representa uma partida. Sabendo que ocorreram exatamente 5 empates nesse torneio, desenhe, em cada coluna da tabela, um círculo em volta do nome do time ganhador ou em volta do ×, em caso de empate.

20 Ímpar soma, par divide

Começando com qualquer número natural não nulo é sempre possível formar uma sequência de números que termina em 1, seguindo repetidamente as instruções abaixo:

• se o número for ímpar, soma-se 1;
• se o número for par, divide-se por 2. Por exemplo, começando com o número 21, forma-se a seguinte sequência:

21 → 22 → 11 → 12 → 6 → 3 → 4 → 2 → 1

Nessa sequência aparecem nove números; por isso, dizemos que ela tem comprimento 9. Além disso, como ela começa com um número ímpar, dizemos que ela é uma sequência ímpar.

a) Escreva a sequência que começa com 37. b) Existem três sequências de comprimento 5, sendo duas pares e uma ímpar. Escreva essas sequências. c) Quantas são as sequências pares e quantas são as sequências ímpares de comprimento 6? E de comprimento 7? d) Existem ao todo 377 sequências de comprimento 15, sendo 233 pares e 144 ímpares. Quantas são as sequências de comprimento 16? Dessas, quantas são pares? Não se esqueça de justificar sua resposta.

16 OBMEP – Banco de Questões 2012

23 Troca-inverte

O troca-inverte é uma brincadeira com números em que há dois tipos de movimentos:

• troca: separar o número em dois grupos e trocar a ordem desses grupos;
• inverte: escrever o número na ordem inversa. Por exemplo, começando com 35421 podemos obter 31245, como mostrado abaixo.

a) Brincando com o troca-inverte e começando com 123456, como podemos obter 165432? b) Brincando com o troca-inverte e começando com 123, como podemos obter todos os outros cinco números de três algarismos diferentes que podem ser escritos com 1, 2 e 3? c) Por que, no troca-inverte, começando com 123456 é impossível obter 243156?

24 Um bom preenchimento

Os círculos da figura abaixo foram preenchidos com os números de 1 a 7, de modo que todas as flechas apontam de um número menor para um maior. Neste caso, dizemos que a figura foi bem preenchida.

a) Complete a figura abaixo com os números de 1 a 9 de modo que ela fique bem preenchida.

b) De quantas maneiras a figura abaixo pode ser bem preenchida com os números de 1 a 5?

c) De quantas maneiras a figura abaixo pode ser bem preenchida com os números de 1 a 7?

Nível 1 – Combinatória 17

25 Troca-cor

No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1ª linha são numeradas com os números ímpares e as da 2ª linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa, então, essa casa e as casas vizinhas mudam de cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos de partidas completas (os números acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada):

Tabuleiro Partida completa

1 3 5 2 4 6

Jogadas

2x

2x

1 e 6

1, 2, 4 e 3

a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros abaixo.

Tabuleiro Jogadas

b) Explique como jogar uma partida completa no tabuleiro 2 × 100. c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 × 101. d) Explique por que não é possível jogar uma partida completa com menos de 51 jogadas no tabuleiro 2 × 101.

26 As torres de Caroba

Caroba tem várias peças em forma de cilindro, de três tipos: brancas de 2cm de altura, cinzas de 3cm de altura e pretas de 4cm de altura. Com essas peças ela pode montar torres de 10cm de altura de várias maneiras diferentes, algumas delas ilustradas na figura. Descrevemos cada torre listando as alturas de suas peças, de baixo para cima; por exemplo, as torres abaixo são descritas por (2, 2 , 4 , 2), (2, 4 , 2 , 2), (3, 2 , 3 , 2) e (2, 2 , 2 , 2 , 2).

Nível 1 – Geometria 19

29 Reforma no Sítio do Picapau Amarelo

Dona Benta dividiu o Sítio do Picapau Amarelo entre seis personagens, mantendo uma parte do Sítio como reserva florestal. A divisão está indicada na figura, onde a área de cada personagem é dada em hectares e a área sombreada é a reserva florestal. O Sítio tem formato retangular e AB é uma diagonal.

a) Qual é a área da reserva florestal? b) Para preparar os terrenos para o plantio, cada um dos seis personagens gastou uma quantia propor- cional à área de seu terreno. O Quindim e a Cuca gastaram, juntos, R2.420,00. Quanto foi que o Saci gastou?

30 Figuras no vazio

Joãozinho dobrou duas vezes uma folha de papel quadrada, branca de um lado e cinza do outro, e depois recortou um quadradinho, como na figura.

Qual das figuras abaixo ele encontrou quando desdobrou completamente a folha?

20 OBMEP – Banco de Questões 2012

31 Cartolina vira cubo

Para montar um cubo, Guilherme recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de cinza algumas partes, como na figura ao lado. Qual das figuras abaixo representa o cubo construído por Guilherme?

32 Quantas cores?

Mário montou um cubo com doze varetas iguais e quer pintá-las de modo que em nenhum vértice se encontrem varetas de cores iguais. Qual é o menor número de cores que ele precisa usar?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

33 Cubo sobre cubo

Pedro gasta 1mL de tinta cinza para pintar 100cm^2 de superfície.

a) O sólido da figura abaixo foi feito colando uma face de um cubo de aresta 10cm em uma face de um cubo de aresta 20cm. Quantos mililitros de tinta Pedro precisa para pintar esse sólido?

b) Pedro gastou 54mL de tinta para pintar um cubo e depois dividiu esse cubo pintado em dois blocos retangulares iguais, como na próxima figura abaixo. Quantos mililitros a mais de tinta ele gastará para acabar de pintar esses dois blocos?

c) Pedro gastou 54mL de tinta para pintar outro cubo. Depois de pintado, esse cubo foi dividido em cubinhos iguais, e Pedro gastou mais 216mL de tinta para pintar todas as faces dos cubinhos que não estavam pintadas. Em quantos cubinhos ele dividiu o cubo?