Osciladores Harmónicos, Resumos de Matemática

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Aplicações aos

osciladores

harmónicos

Introdução

Desde o ano anterior, com o estudo das funções trigonométricas, foste trabalhando com funções, por exemplo, do tipo. Nota: Faz sentido, agora, fazer uma interpretação física dos vários parâmetros envolvidos. Uma função definida por uma expressão do tipo toma valores entre e (inclusive), pois: Se , tem-se que: Vamos estudar o movimento harmónico simples , que é um caso particular de movimento periódico oscilatório em que a partícula executa movimentos de ida e de volta em torno de uma mesma posição.

Osciladores harmónicos: amplitude, pulsação,

período, frequência e fase

Exemplo: é um oscilador harmónico cuja amplitude é 4, a pulsação é , e a fase é. 𝑥 ( 𝑡 ) = 4 cos

𝜋 3 𝑡 + 𝜋

O gráfico de obtém-se a partir do gráfico da função cosseno, segundo: Seja um ponto que se desloca numa reta numérica em determinado intervalo de tempo , de tal forma que a respetiva abcissa, em função de , é dada pela seguinte expressão:

 (^) uma contração horizontal segundo fator ;  (^) uma translação horizontal associada ao vetor ;  (^) uma dilatação vertical segundo fator.

Osciladores harmónicos: amplitude, pulsação,

período, frequência e fase

De um modo geral, o gráfico da função obtém-se a partir do gráfico da função cosseno segundo:  (^) uma dilatação/contração horizontal segundo fator ;  (^) uma translação horizontal associada ao vetor ;  (^) uma dilatação vertical segundo fator. Seja , e.

Osciladores harmónicos: amplitude, pulsação,

período, frequência e fase

O gráfico de repete-se em intervalos de comprimento , que é o período da função. 4 cos

𝜋 3 𝑡 + 𝜋

1 𝑇 = 1 6 O inverso aritmético do período, , designa-se por frequência, dado que representa o número de oscilações completas por unidade de tempo.

Exercício 1 Um ponto desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo (medido em segundos), de tal forma que a respetiva abcissa, como função de , é dada pela expressão: Sugestão de resolução: 𝑥 ( 𝑡 ) = 5 cos

𝜋 2 𝑡 + 𝜋

a) Indica a abcissa do ponto nos instantes e. a) A abcissa do ponto no instante é dada por. ¿ 5 cos ( 𝜋 2 × 0 + 𝜋 )¿^5 cos^ (^ 𝜋^ ¿)^5 × (^ −^^1 )¿^ −^5 Por sua vez, a abcissa do ponto no instante é dada por. ¿ 5 cos ( 𝜋 2 × 3 + 𝜋 ) ¿ 5 cos ( 5 𝜋 2 ) ¿ 5 × 0 ¿ 0

Exercício 1 Um ponto desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo (medido em segundos), de tal forma que a respetiva abcissa, como função de , é dada pela expressão: Sugestão de resolução: 𝑥 ( 𝑡 ) = 5 cos

𝜋 2 𝑡 + 𝜋

d) Determina os valores de para os quais a abcissa do ponto dista da origem unidades. d) Pretende-se determinar os valores de que satisfazem a seguinte condição:. Assim, ¿ 𝑥 ( 𝑡 )∨¿ 2,5 ⟺^ 𝑥^ (^ 𝑡 )^ =2,5^ ∨^ 𝑥^ (^ 𝑡 )= − 2, ⟺ 5 cos

𝜋 2 𝑡 + 𝜋

=2,5 ∨ 5 cos

𝜋 2 𝑡 + 𝜋

= − 2, ⟺ cos

𝜋 2 𝑡 + 𝜋

= 1 2 ∨ cos

𝜋 2 𝑡 + 𝜋

= − 1 2

Exercício 1 Sugestão de resolução (continuação): , cos

𝜋 2 𝑡 + 𝜋

= 1 2 ∨ cos

𝜋 2 𝑡 + 𝜋

= − 1 2

Como , para , vem que:

Exercício 1 Sugestão de resolução (continuação): Agora, pretende-se determinar os instantes em que o ponto dista da origem unidades, isto é, os valores de que satisfazem a condição. ¿ 𝑥 ( 𝑡 )∨¿ 5 ⟺^ 𝑥^ (^ 𝑡 )^ =^5 ∨^ 𝑥^ ( 𝑡^ )= −^^5 ⟺ 5 cos

𝜋 2 𝑡 + 𝜋

= 5 ∨ 5 cos

𝜋 2 𝑡 + 𝜋

= − 5 ⟺ cos

𝜋 2 𝑡 + 𝜋

= 1 ∨ cos

𝜋 2 𝑡 + 𝜋

= − 1 , ⟺ 𝜋 2 𝑡 + 𝜋 = 𝑘 𝜋 , ⟺ 𝜋 2 𝑡 = − 𝜋 + 𝑘 𝜋 ⟺ , 𝑡 = − 2 + 2 𝑘 Como , vem que e (para, respetivamente, e ).

Exercício 2 Uma mola está suspensa por uma extremidade, tendo na outra extremidade um corpo. Após ter sido alongada na vertical, a mola inicia um movimento oscilatório no instante. Sugestão de resolução: 𝐷 ( 𝑡 ) = 4 + 3 cos

𝜋 2 𝑡 + 𝜋

A distância ao solo do corpo (em metros) é dada em cada instante (em segundos) pela expressão seguinte: a) É necessário determinar o contradomínio da função , para. , para. a) Determina a distância máxima e mínima do corpo ao solo. − 1 ≤ cos ( 𝜋 2 𝑡 + 𝜋 ) ⟺≤ 1 − 3 ≤ 3 cos ( 𝜋 2 𝑡 + 𝜋 ) ≤ 3 ⟺ 1 ≤ 𝐷 ( 𝑡 ) ≤ 7 ⟺ 4 +( − 3 ) ≤ 4 + 3 cos ( 𝜋 2 𝑡 + 𝜋 ) ≤ 4 + 3 A distância máxima e mínima do corpo ao solo é metros e metro, respetivamente.

Exercício 2 Sugestão de resolução: 𝐷 ( 𝑡 ) = 4 + 3 cos

𝜋 2 𝑡 + 𝜋

e) Pretende-se determinar as soluções da equação ,. , para. e) Determina os instantes em que o corpo está à distância de metros do solo. 𝐷 ( 𝑡 ) = 4 ⟺^^4 +^3 cos( 𝜋 2 𝑡 + 𝜋 ) = 4 ⟺ 3 cos ( 𝜋 2 𝑡 + 𝜋 ) = 0 ⟺ cos ( 𝜋 2 𝑡 + 𝜋 ) = 0

, + 𝑘^ 𝜋

, −^ 𝜋^ + 𝑘^ 𝜋

, +^ 𝑘^ 𝜋

⟺ 𝑡 =, − 1 + 2 𝑘 Assim, o corpo está à distância de metros do solo nos instantes , , e.  (^) (para )  (^) (para )  (^) (para )  (^) (para )

Definição: Chama-se equação diferencial a uma equação cuja incógnita é uma função e onde figura pelo menos uma das derivadas dessa função. Equação diferencial Exemplo: Considera a equação diferencial. A função definida por é uma solução da equação diferencial. De facto, 𝑓 ’ ( 𝑥 ) − 2 = 𝑥 2 ⟺ ( 𝑥 3 3

• 2 𝑥 ) ′ − 2 = 𝑥 2

2

2

2

2 Repara que, qualquer função do tipo , com constante, também é solução desta equação diferencial.

Se o ponto material se deslocar para a esquerda, a mola é comprimida unidades de comprimento, como se observa na figura abaixo: Mola comprimida Dado um ponto material , de massa , colocado na extremidade de uma mola cuja outra extremidade se encontra fixa e tomando por origem da reta numérica em que se desloca o respetivo ponto de equilíbrio, tem-se que a abcissa da posição de no instante satisfaz a equação:

Osciladores harmónicos como soluções de equações

diferenciais da forma

A igualdade é uma consequência da lei de Hooke e da segunda lei de Newton.

Segundo a lei de Hooke , a força exercida pela mola, , é igual ao produto de uma constante, , (onde representa a rigidez da mola) pelo deslocamento efetuado pelo ponto , isto é: Isto leva-nos a interpretar o termo , na equação , como a força exercida pela mola sobre.

Osciladores harmónicos como soluções de equações

diferenciais da forma

De acordo com a segunda lei de Newton , a força exercida pela mola, , é igual ao produto da massa do ponto material pela sua aceleração, ou seja: Conjugando as duas leis, obtém-se: 𝒎 𝒙

( 𝒕 ) = – 𝜶 𝒙 ( 𝒕 )