Baixe P2 - Probabilidade e Estatística e outras Provas em PDF para Probabilidade e Estatistica, somente na Docsity!
- Questão De acordo com a Organização Mundial da Saúde, a proporção de pessoas que sofrem de ansiedade no Brasil é de 11%. Se uma amostra piloto de 100 brasileiros for selecionada de forma aleatória, qual a probabilidade de que a proporção de brasileiros ansiosos na amostra seja menor que 12%? (a) 0. (b) 0. (c) 0. (d) 0. (e) 0. Solução Inicialmente, observe que a distribuição da proporção amostral é normal de parâmetros μ = 0.11 e σ =
0.11×0. 100 = 0.0313, temos que
P ( ˆp < 0.12) = P
( (^) pˆ − 0. 0.0313 <^
= P (Z < 0.32) = 0.6255.
(a) Verdadeiro (b) Falso (c) Falso (d) Falso (e) Falso
- Questão A função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas X e Y é dada por p(x, y) = (x + 2y)/48, onde x e y podem assumir valores inteiros tal que 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, e p(x, y) = 0 em outro caso. Encontre P(X ≥ 1 |Y ≤ 2). (a) 0. (b) 0. (c) 0. (d) 0. (e) 0. Solução
Veja que P(Y = y) = ∑ x p(x, y) e que
P(X ≥ 1 |Y ≤ 2) = P(X P^ ≥(Y^ 1, ≤^ Y 2)^ ≤ 2)=
x=
∑^ y=0^ p(x,^ y) 2 y=0 P(Y^ =^ y)^
(a) Falso (b) Verdadeiro (c) Falso (d) Falso (e) Falso
X \Y 1 2
- Questão Em uma determinada empresa foram registradas duas variáveis: X referente ao número de faltas e Y referente ao desempenho que é avaliado internamente. A distribuição de probabilidades conjunta de X e Y é dada por: Sabendo que E(X ) = 1.92, E
X 2
= 5.44, E(Y ) = 1.66 e E
Y 2
= 2.98, assinale a alternativa correspondente à correlação entre as variáveis X e Y. (a) −0. (b) −0. (c) 0. (d) −0. (e) −0. Solução
Primeiramente devemos completar a tabela com as probabilidades marginais de X e Y :
X \Y 1 2 P(X=x) 1 0 0.64 0. 2 0.07 0.01 0. 4 0.27 0.01 0. P(Y=y) 0.34 0.66 1
Em seguida, calculamos Var(X ) = E
X 2
− [E(X )]^2 = 5.44 − (1.92)^2 = 1.
Var(Y ) = E
Y 2
− [E(Y )]^2 = 2.98 − (1.66)^2 = 0.
A distribuição do produto é dada por k 1 2 4 8 P(XY = k) 0 0.71 0.28 0.
De modo que E(XY ) = 1 × 0 + 2 × 0.71 + 4 × 0.28 + 8 × 0.01 = 2. e, portanto,
Corr(X , Y ) = √ Cov(X^ ,^ Y^ ) Var(X )
Var(Y )
= E √(XY^ )^ −^ E(X^ )E(Y^ )
Var(X )
Var(Y )
(a) Falso (b) Falso (c) Falso (d) Verdadeiro
Pelas propriedades das funções de densidade, temos que 1 =
−∞
f (x)dx
=
−∞
0 dx +
0
Cxdx +
20(1 − x)dx +
1
0 dx
= C
0
xdx + 20
(1 − x)dx
= C
[ (^) x 2 2
]0.
0
[
x − x
2 2
] 1
= C 0.81 2 + 20
= 0.405C + 0.1.
Resolvendo-se em C, obtemos C = 2.22. (a) Falso (b) Falso (c) Falso (d) Falso (e) Verdadeiro
- Questão Suponha que a duração (em horas) de certa válvula seja uma variável aleatória X com função densidade f (x) = 24x−^4 para x > 2, e zero caso contrário. Qual é o tempo de vida esperado (em horas) dessa válvula? (a) 12. (b) 1. (c) 5. (d) 3. (e) 8. Solução Pela definição de Esperança matemática, E(X ) =
−∞
xf (x)dx = 24
2
x−^3 dx = 3 horas.
(a) Falso (b) Falso (c) Falso (d) Verdadeiro (e) Falso
- Questão A temperatura com que um meteorito atinge o solo é uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
F (x) =
0, x < 0, x^3 , 0 ≤ x < 1, 1, x ≥ 1.
Segundo esse modelo, qual é a proporção de meteoritos que atingem o solo com temper- atura entre 0.5 e 1.5? (a) 0. (b) 0. (c) 0. (d) 0. (e) 0. Solução Basta observar que tal proporção é dada por P(0.5 ≤ X ≤ 1.5) = F (1.5) − F (0.5) = 0.875. (a) Falso (b) Falso (c) Verdadeiro (d) Falso (e) Falso
- Questão Sabe-se que o tempo de vida útil de uma certa marca de baterias automobilísticas é expo- nencialmente distribuído com média de 4 anos. Uma montadora precisa que as baterias que usa em seus veículos durem pelo menos 4 anos para que seu lucro não seja prejudi- cado. Se a montadora utilizou baterias da referida marca, qual a probabilidade de que uma dada bateria não gere prejuízo se já sobreviveu 3 anos? (a) 0. (b) 0. (c) 0. (d) 0. (e) 0. Solução Seja X a variável aleatória que representa o tempo de vida útil das baterias, então, como E(X ) = 4, sabemos que X ∼ Exp(1/4). Como a função de distribuição acumulada da variável aleatória X é F (x) = 1 − e−0.250x^ , segue, pela propriedade de perda de memória da Exponencial, que a probabilidade desejada é dada por P(X > 3 + 1|X > 3) = P(X > 1) = 1 − F (1) = 1 − (1 − e−0.250×^1 ) = 0. (a) Falso (b) Falso (c) Falso (d) Falso (e) Verdadeiro
(a) Falso (b) Verdadeiro (c) Falso (d) Falso (e) Falso
