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Nome: GABARITO
Terceira Prova PTC 2308 2
o Semestre de 2010 Duração de 120 minutos
Permitida consulta somente a duas folhas de tamanho A4 manuscritas. É proibido usar folha A4 contendo material não
manuscrito. O uso de calculadoras não é permitido. Tudo tem que ser justificado. Passagens e resultados não óbvios
tem que ter explicação pois em caso contrário há grande risco de se perder pontos! Se usar uma fórmula de livro, referenciar na
prova. Nos esboços de gráficos, é obrigatório colocar valores importantes na abscissa e na ordenada.
1
a Questão [2,5]
Dado um sistema linear, invariante no tempo e de tempo discreto com resposta ao pulso unitário:
h ( n )= δ ( ) n + 3 ⋅ δ( n − 3 ) + 2 ⋅ δ( n − 7 ) + δ( n − 13 )
O seguinte sinal é aplicado na entrada do sistema linear, invariante no tempo e de tempo discreto:
x ( n )= 2 ⋅ δ ( ) n + 4 ⋅ δ( n − 12 ) + 5 ⋅ δ( n − 23 )
x ( n ) →
TD
SLIT
h ( n )
→ y ( n )
Pede-se:
a) Calcule a energia total do sinal x (^ n );
Resposta:
( ) (^) ∑
∞
=−∞
n
x n x n
2
Energiatotalnosinal | ( )|
Energia totalnosinal ( ) | 2 | | 4 | | 5 | 4 16 25 45
2 2 2 xn = + + = + + =
b) Utilizando os comandos fft e ifft do programa Matlab , explique com detalhes como você calcularia a
saída y^ ( ) n do sistema linear, invariante no tempo de tempo discreto;
Resposta:
24 amostras
x ( n )
→
( 14 1 ) z eros
Completarcom
( ) ⎯⎯ → ⎯
x e n fft( 24 14 1, x ( n ))
+ − e → X e ( ) k
14 amostras
h ( n )
→
( 24 1 ) z eros
Completarcom
( ) ⎯⎯ → ⎯
he n fft( 24 14 1, h ( n ))
+ − e → H e ( ) k
Y ( )k^ = Xe( ) k^ ⋅ He ( ) k → ifft( 24 + 14 −1, y ( ) n ) →
( 14 24 1 ) amostras
y n
c) Suponha que
Δ
0 , parademais valores
, émúltiplode ( 2 )^2
n k
n h h n
. Calcule a Transformada de Fourier de
Tempo Discreto de h (^ 2 )( ) n.
Resposta:
Propriedade da expansão no tempo
TFTD j ω x n ⎯⎯ →⎯ X e
⋅ω ⋅⋅ ω = ⎯⎯ →⎯ =
TFTD j jk yn xk n Y e X e
h ( n )= δ ( ) n + 3 ⋅ δ( n − 3 ) + 2 ⋅ δ( n − 7 ) + δ( n − 13 )
3 7 13
0
−⋅ ⋅ −⋅ ⋅ −⋅ ⋅
∞
=
−
ω ω j ω j ω j ω
k
j j k H e hk e e e e
( ) (^ )^ (^ )
2 2
⋅ ⋅
j ω j ω H e H e
( ) (^ )^
6 14 26
− ⋅ ⋅ −⋅ ⋅ −⋅ ⋅
j ω j ω j ω j ω
H e e e e
b) Caso você utilize o comando fft do Matlab para calcular Y 1 (^ k ) e Y 2 ( ) k , qual dos dois casos
apresentaria vazamento? Explique.
Resposta:
x 1 ( ) n → Período N = 3
x 2 ( ) n → Período N = 5
Para não haver vazamento devemos ter N^ janela =^ k ⋅ N , como N^ janela =^2 ⋅^4 +^1 =^9 , observamos
que não haverá vazamento para calcular Y 1 (^ k ).
c) Ainda utilizando o comando fft do Matlab para calcular Y 1 (^ k )e Y 2 (^ k ). Qual seria o valor da raia
obtida no caso sem vazamento?
Resposta:
Seria 4 ,^5 2
N janela
3
a Questão [2,5]
Considere o sinal de tempo contínuo x (^) c ( t )= 13 cos( π 2600 t )+ 17 sen ( π 2400 t ). Esse sinal passa por um
sistema conforme indicado na figura abaixo.
Considere que a freqüência de amostragem usada é de 2000 amostras/s, ou seja, f (^) s = 1 / T = 2000 Hz e
∑
+∞
=−∞
= − n
p ( t ) δ ( t nT ).
3.a) Faça os esboços os espectros de X (^) c ( j ω), X (^) p ( j ω), ( )
jT Xd e
ω , Y (^) p ( j ω) e Yc ( j ω) indicando quando
houver valor complexo.
3.b) Determine os componentes em frequência presentes em y (^) c ( t )
3.c) Qual a menor taxa de amostragem que evita rebatimento ( aliasing )?
Conversão de trem de impulsos a uma sequência discreta
x (^) c ( t )
p ( t )
T
x (^) d ( n )
Conversão de sequência discreta a um trem de impulsos
Filtro de reconstru- ção ideal
x (^) p ( t ) y^ p ( t ) y^ c ( t )
T
C/D (^) D/C
4
a Questão [2,5]
Considere o sistema
O filtro anti-aliasing é um filtro de tempo contínuo passa baixas com freqüência de corte igual a π / T e
ganho unitário. A resposta ao pulso unitário do sistema linear e invariante no tempo de tempo discreto é
hd ( n ) = 2 δ ( n − 5 ).
Os sistemas C/D e D/C são conforme considerados na Questão 3.
Pede-se:
Considerando a chave aberta
o determine a resposta em freqüência do sistema equivalente de tempo contínuo (módulo e fase)
o expresse Yc ( j ω)em termos de X (^) c ( j ω)(módulo e fase)
Considerando a chave fechada e supondo v(t) o sinal conforme indicado na figura abaixo
o esboce os espectros de X (^) c ( j ω), ( )
jT Xd e
ω e Yc ( j ω)
1
T t
v ( t )
Filtro anti- aliasing
v ( t ) x ( t ) c C/D
T
hd ( n ) D/C
T
x (^) d ( n ) y (^) d ( n ) y ( t ) c
chave
