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4 PERDA DE CARGA EM CONDUTOS FORÇADOS
O líquido ao escoar em um conduto é submetido a forças resistentes exercidas pelas paredes da tubulação e por uma região do próprio líquido. Nesta região denominada camada limite há um elevado gradiente de velocidade e o efeito da velocidade é significante. A conseqüência disso é o surgimento de forças cisalhantes que reduzem a capacidade de fluidez do líquido. O conceito de camada limite foi desenvolvido em 1904 por Ludwig Prandtl.
O líquido ao escoar transforma (dissipa) parte de sua energia em calor. Essa energia não é mais recuperada na forma de energia cinética e/ou potencial e, por isso, denomina-se perda de carga. Trata-se de perda de energia devido ao atrito contra as paredes e à dissipação devido à viscosidade do líquido em escoamento.
Para efeitos de estudo e de cálculos para dimensionamentos em engenharia, a perda de carga, denotada por Δh ou h (^) p , é classificada em perda de carga contínua, ou linear, denotada por: Δh’, h (^) f ou h (^) L; e perda de carga singular, Δh’’ ou h (^) S.
As perdas de carga lineares são aquelas devido ao fluxo em trechos retilíneos de tubulação, enquanto que as singulares, são devidas à trechos curvos, à peças e dispositivos especiais instalados na linha onde se está verificando ou calculando as perdas de carga, sendo assim denominadas como perdas de carga singulares.
Conforme visto anteriormente, temos na figura abaixo, e na respectiva equação da conservação de energia de Bernoulli , o seguinte:
Considerando agora o mesmo esquema ilustrado acima, para uma tubulação sem variação de diâmetro, sabe-se que a velocidade média nas duas seções será igual, pois a vazão e o diâmetro do conduto são constantes (equação da continuidade).
Assim, pode-se definir, para a perda de carga entre os pontos 1 e 2, o seguinte:
A perda de carga linear quando expressa por unidade de comprimento do conduto, é chamada de perda de carga unitária, expressa por J, ou seja:
J = hp1,2 / L (^) 1,
4.1 Fórmula Universal de Perda de Carga ( Darcy-Weisbach )
Diversos estudos apontaram para a relação de proporcionalidade que a resistência ao escoamento em uma tubulação poderia possuir, concluindo-se que a mesma é:
- Independente da pressão a que o líquido é submetido em um escoamento;
- Diretamente proporcional ao comprimento L ;
- Inversamente proporcional a uma certa potência do diâmetro D ;
- Proporcional a uma certa potência da velocidade V ; e
- Relacionada à rugosidade da tubulação, se o escoamento for turbulento.
Assim, diversas formulações empíricas foram sugeridas baseadas nesta proporcionalidade, sendo que Henry e Weisbach por volta de 1845 fizeram um estudo avaliando as diferentes forças presentes em um elemento de fluido em escoamento sobre uma tubulação, principalmente relacionando a força de cisalhamento existente junto às paredes do conduto.
Estabeleceram então a formulação seguinte:
então chamada de Fórmula Universal da Perda de Carga , ou Fórmula de Darcy-Weisbach , onde:
L: comprimento da tubulação; D: o diâmetro do conduto; v: velocidade do escoamento; g: aceleração local da gravidade; e f: fator de perda de carga (ou fator de atrito F 0E 0 friction ).
O fator de perda de carga f , na época da proposição da fórmula, era tido como um valor constante e dependente então de características da tubulação. Com o tempo, porém, esta teoria demonstrou-se equivocada, descobrindo-se e propondo formulações específicas para o cálculo deste coeficiente.
juntamente com a velocidade média do fluxo e com o diâmetro da tubulação.
Assim, para escoamentos laminares o fator de perda de carga f , assim pode ser determinado:
, ou seja,
Com isso, a determinação da perda de carga h (^) p , através da utilização da equação universal da perda de carga, fica:
F 0E 8 Escoamentos Turbulentos
Para este regime, devido às diversas oscilações das variáveis características do escoamento (velocidade, pressão, etc.) em torno de valores médios, tornou-se um tanto mais complexo a dedução de uma formulação para a quantificação do fator de perda de carga f.
Para essa dedução, diversas teorias sobre o comportamento do escoamento sobre a superfície interna do tubo foram aplicadas. A teoria sobre o comprimento de mistura apresentada por Prandtl em 1925, é uma delas. Esta teoria demonstra uma relação existente entre as tensões aparente de Reynolds e uma escala de comprimento proporcional à distância à parede e ao gradiente de velocidade média, identificando basicamente duas regiões, uma primeira denominada região interna, onde a tensão de Reynolds aumenta linearmente com a distância à parede; e uma segunda, onde ela passa a decrescer devido à queda do gradiente de velocidades.
Esta hipótese só não foi verificada como válida em duas regiões: uma no centro do escoamento, onde o gradiente de velocidades é praticamente nulo, e outra numa região muito próxima à parede do conduto, onde os efeitos viscosos são preponderantes sobre o termo turbulento, região esta denominada de sub-camada viscosa.
O conceito de sub-camada viscosa está relacionado ao fato de que em um escoamento muito próximo de um contorno sólido qualquer, o mesmo encontra-se regido basicamente pelas forças viscosas do fluído, com relação as forças de inércia do próprio escoamento. Este efeito é um dos principais elementos geradores da turbulência do fluxo.
No estudo de escoamentos turbulentos em condutos, é importante a relação então existente entre a espessura desta sub- camada viscosa e da rugosidade equivalente das paredes do conduto.
A teoria da camada limite mostra que a espessura da sub- camada viscosa, de forma simplificada, pode ser calculada por:
onde u* é a velocidade de cisalhamento (ou de atrito), relação entre a tensão de cisalhamento junto à parede e a massa específica do fluido.
Assim, é possível definir diferentes regiões para o regime de escoamento turbulento de acordo com as relações existente entre a espessura da sub-camada limite viscosa e a espessura da rugosidade das paredes do conduto. F 0E 0 Escoamento turbulento hidraulicamente liso
Ocorre no caso em que as rugosidades da parede da tubulação, ε, estão totalmente cobertas pela sub-camada viscosa, apresentando a relação adimensional:
< 5 F 0E 0 Escoamento turbulento hidraulicamente rugoso
Para a situação em que as asperezas da parede afloram a sub- camada viscosa, alcançando o núcleo turbulento e gerando fontes de turbulência. Nesta região tem-se que:
70 F 0E 0 Escoamento turbulento de transição, ou hidraulicamente misto
É uma condição intermediária entre os dois anteriores, onde:
5 F 0A 3^ F 0A 3 70
O termo é denominado de número de Reynolds da rugosidade.
Através destes conceitos, Nikuradse em 1933 determinou experimentalmente a influência da rugosidade, colocando areias de diferentes diâmetros uniformes nas paredes de condutos circulares cilíndricos e determinando os diferentes perfis de velocidades resultantes. Com estes ensaios o perfil de velocidades obtido resultou numa lei do tipo:
Ou seja, um perfil de velocidades logarítmico.
Além disso, a tendência das Normas é estabelecer a unificação destes cálculos em hidráulica, todos a partir da formulação de Darcy-Weisbach (Fórmula Universal da Perda de Carga) em conjunto com a determinação do fator de perda de carga através da Fórmula de Colebrook-White.
4.2 Cálculos de condutos em hidráulica
Diante de todas as teorias e equacionamentos apresentados, tem-se a estrutura básica para a determinação da perda de carga linear em condutos circulares, que servirá em engenharia para o dimensionamento e/ou verificação de tubulações nas mais variadas aplicações possíveis, em conjunto, é claro, com as perdas localizadas que irão ocorrer nas singularidades do sistema, como em curvas, registros, e demais peças especiais.
Primeiramente, vamos condicionar os procedimentos de cálculo hidráulico básicos em trechos lineares de uma tubulação, para diferentes situações de cálculo, para depois entrar no detalhamento das perdas singulares e as respectivas aplicações de cálculo para casos mais reais.
Assim, tem-se que o cálculo de condutos em hidráulica envolve sete variáveis, desconsiderando os efeitos de compressibilidade do fluido:
Q : vazão; v : velocidade do escoamento (média); L : comprimento do conduto; D : diâmetro do conduto; hp : perda de carga; ν: viscosidade cinemática; e ε: rugosidade absoluta.
Destas sete variáveis, cinco delas, Q, v, D, hp e ε , podem ser incógnitas de um problema, não sendo isto coerente para as outras duas, pois tanto o comprimento da canalização quanto a viscosidade cinemática do fluido são características intrínsecas ao problema. O comprimento da linha caracteriza exatamente o trecho que seria o objetivo de resolução do problema, já a viscosidade cinemática é determinável somente em função da temperatura do fluido.
Para o caso da água, a viscosidade cinemática como função da temperatura, pode ser determinada através da formulação empírica de Poiseulle , da seguinte forma:
onde ν é a viscosidade cinemática dada em m²/s, e θ é a temperatura da água dada em graus Celsius (entre 0 e 100°C).
4.2.1. Escoamento laminar
Para escoamentos laminares, como a rugosidade não é um fator importante, as incógnitas ficam então reduzidas somente a quatro: Q, D, v e hp.
A combinação dos possíveis problemas de cálculo e/ou verificação que podem surgir seriam os seguintes:
a) caso I: incógnitas D e v
Calcula-se D, derivado da equação da continuidade Q=VF 0B 4 A e da Universal, considerando a área da seção transversal de um tubo circular, ficando D em função de Q:
D=
b) caso II: incógnitas D e Q
Calcula-se D, derivado da equação da continuidade Q=VF 0B 4 A e da Universal, considerando a área da seção transversal de um tubo circular, ficando D em função de V:
D=
c) caso III: incógnitas D e hp
da equação da continuidade, determina-se o diâmetro da canalização:
D=
Calcula-se então hp, combinando-se o resultado anterior com a Universal:
hp=
3 – Fórmula de Colebrook-White :
Observa-se agora a fórmula para o fator de perda de carga de Colebrook-White, expressa em termos de f (^) i+1 e f (^) i, simplesmente para facilitar tanto aos cálculos quanto a própria convergência do processo iterativo.
A combinação dos possíveis problemas de cálculo e/ou verificação que podem surgir seriam os seguintes:
a) caso I: incógnitas D e v
isolando a velocidade média na expressão 1 e substituindo na equação 2, estabelece-se uma expressão para o fator de perda de carga em função do diâmetro e da vazão. Igualando esta expressão com a expressão 3 e isolando o diâmetro, é possível obter-se:
resolve-se então esta equação de forma iterativa, arbitrando-se valores para o diâmetro D (^) i , e verificando o seu resultado em D (^) i+1.
Obtida convergência para um valor de diâmetro, adota-se o diâmetro comercial mais próximo, e procede-se o cálculo da velocidade através da equação da continuidade (equação 1 para tubos de seção circular):
A convergência desta equação é excelente para uma gama extensa de faixas de diâmetro adotada como valor inicial. Recomenda-se, para uma convergência mais rápida, adotar-se valor de diâmetro correspondente a uma velocidade igual a 1m/s.
b) caso II: incógnitas D e hp
Da equação da continuidade, determina-se primeiramente o diâmetro da canalização:
Com a equação 3, por iterações, determina-se o valor do fator de perda de carga:
Como um primeiro valor para f no processo iterativo, recomenda- se utilizar fF 0B B 0,027. Agora, com o valor do fator de perda de carga com o diâmetro, determina-se a perda de carga com a equação 2, a Fórmula Universal da Perda de Carga.
c) caso III: incógnitas D e ε
A partir da equação da continuidade (1), determina-se o diâmetro. Isola-se o fator de perda de carga na equação universal (2), o qual deve ser igualado à expressão de Colebrook-White (3), resultando:
d) caso IV: incógnitas D e Q
Substituindo na equação 3 o valor da vazão dado por Q=VF 0B 4 A, tem-se:
Com o valor da velocidade e do diâmetro calculado, determina-se a vazão.
e) caso V: incógnitas v e hp
Da equação da continuidade (1) calcula-se a velocidade média. Com a equação de Colebrook-White (3), determina-se iterativamente, o fator de perda de carga, que aplicado na Fórmula Universal (2), fornecerá o valor da perda de carga.
v) caso VI: incógnitas v e ε
Similar ao “caso III”, calcula-se a velocidade do escoamento com a equação da continuidade (1), e determina-se a rugosidade com a mesma equação apresentada no “caso III”.
g) caso VII: incógnitas Q e v
Manipulando as expressões do fator da perda de carga, a partir da equação universal (2) e da fórmula de Colebrook-White (3), resulta a seguinte expressão para a velocidade:
h) caso VIII: incógnitas hp/L e ε
valor da primeira iteração
2 – Solução do problema
2.1 – classificado o tipo de problema, e enquadrado em seu respectivo “caso”, aplica-se a solução adequado conforme a situação de regime laminar ou turbulento
3 – Verificação da solução
3.1 – nos casos em que inicialmente não for conhecida a velocidade (ou vazão) e o diâmetro, resolve-se considerando o escoamento como turbulento, verficando-se ao final se esta condição de regime prevaleceu, senão, retorna-se os procedimentos de cálculo, considerando agora o regime então laminar 3.2 – com as incógnitas determinadas, é possível verificar a solução em direção inversa aos procedimentos realizados, tomando como incógnita agora o dado inicial
EXEMPLOS
1. Um reservatório está sendo alimentado diretamente de uma represa, conforme mostra a figura abaixo. Determine o nível da água NA 2 do reservatório, sabendo-se que o nível de água da represa está na cota 50m.
Dados: Q = 200L/s ε = 5mm D = 400mm L = 750m
2. Determine a vazão transportada pela adutora que liga uma represa e um reservatório, conforme mostra a figura.
Dados: L = 360m D = 0,15m ε = 0,00026m
7. Determinar o diâmetro necessário para que um encanamento de aço (ε=0,000046m) conduza 19L/s de querosene à 10ºC (ν=0,00000278cm²/s) com uma perda de carga que não exceda 6m em 1200m de extensão. Calcular velocidade e perda de carga para o diâmetro adotado. 8. Uma canalização nova de aço com 150m de comprimento transporta gasolina a 10°C (ν=0,000000710m²/s) de um tanque para outro com velocidade média igual a 0,000061m. determinar o diâmetro e a vazão da linha, conhecida a diferença de nível entre os depósitos que é de 1,86m.
4.3 Cálculos de condutos com o uso de fórmulas empíricas
Para se calcular a perda de carga em condutos, antes do advento dos recursos computacionais e das máquinas de calcular eletrônicas, evitava-se o uso de formulações com métodos de resolução iterativos. Utilizavam-se formulações empíricas, determinadas por aproximações experimentais, onde a partir da correlação entre algumas das variáveis as quais dependem o equacionamento de um fluxo em conduto, com algum coeficiente empírico normalmente relacionado à perda de energia, determinava-se a perda de carga do escoamento.
A multiplicidade de fórmulas de perda de carga é tamanha que no livro Manual de Hidráulica, o autor Azevedo Neto, apresenta uma listagem de quarenta fórmulas, desde a fórmula de Chézy (1775), até a fórmula de Hazen-Willians (1903). Percebe-se que todas estas fórmulas foram desenvolvidas antes do surgimento da Teoria da Camada Limite ( Prandtl – 1904), das hipóteses de perfil de velocidade e tensão de cisalhamento ( Kármán – 1930) para condutos lisos, e das experiências de Nikuradse (1933) para condutos rugosos. Dessa forma, nenhuma das equações empíricas considera todas as variáveis das quais a perda de carga é dependente.
Dada a suas origens experimentais, cabe alertar que todas as formulações empíricas foram estabelecidas e, assim, são válidas para certos condições de escoamento. A própria fórmula de Darcy , como já detectado e citado por ele mesmo em seus experimentos, apresenta imprecisões maiores em condições de baixas velocidades onde o escoamento torna-se turbulento liso ou na zona de transição entre laminar e turbulento.
4.3.1. Fórmula de Hazen-Williams
Dentre as diversas formulações empíricas existentes, vamos aqui apresentar somente esta, considerada a de mais uso ainda hoje, dentre os projetistas na área de engenharia hidráulica.
A fórmula de Hazen-Willians , é apresentada originalmente em termos de determinação da velocidade do escoamento, através da correlação entre o diâmetro, a perda de carga linear um coeficiente fixo caracterizado de acordo com o tipo e as condições do conduto.
Para o SISTEMA DE UNIDADES INTERNACIONAL, a fórmula de Hazen-Willians fica:
onde: V: velocidade do escoamento (m/s)
Com a finalidade de verificar a adequabilidade da fórmula prática de Hazen-Williams , na qual o coeficiente de rugosidade, além de não ser adimensional, independe do número de Reynolds , igualaram-se as perdas de carga unitárias correspondentes ás duas formulações, ou seja:
Isolando C , para fins de comparação, ficamos com:
Esta expressão foi graficada para quatro diâmetros, 50, 100, 150 e 200mm; para números de Reynolds na faixa entre 10 4 a 10 7 ; e para quatro valores de rugosidades absolutas ε, zero (rigorosamente liso), 0,005mm (PVC), 0,05mm (aço laminado novo), e 0,5mm (aço rugoso). Os resultados são apresentados na figura abaixo:
Do gráfico, pode avaliar as seguintes conclusões:
- para tubos rigorasamente lisos, a fórmula de Hazen-Williams pode se constituir de uma razoável aproximação, para valores de Reynolds superiores a 5F 0B 4 10 6 e DF 0B 3 150mm. Evidentemente tal tudo não existe na prática.
- Para tubos de PVC, o valor da rugosidade absoluta de 0,005mm realmente corresponde a valores de C entre 150 e 155 e mostra que, para diâmetros maiores, na faixa de Reynolds entre 5x10 5 a 10^6 , a equação prática pode ser usada. Fora disso é inadequada.
- Para valores de C entre 140 e 150 e valores de Reynolds relativamente baixos, 5x10 4 a 10 5 , existe uma razoável aproximação na região do regime turbulento de transição, para DF 0B 3 100mm.
- Para valores de C < 120, e elevados números de Reynolds , que caracteriza escoamento turbulento rugoso, a formula de Hazen-Williams é inadequada.
Portanto, o coeficiente C, além de depender do diâmetro, é afetado pelo grau de turbulência, não caracterizando uma categoria de tubos como especificado nas tabelas que acompanham a fórmula de Hazen-Williams.
EXERCÍCIOS
Propõe-se a resolução dos exercícios (exemplos e propostos) anteriores, agora calculados com a fórmula de Hazen-Williams , determinando-se o valor do coeficiente C , de acordo com os dados e resultados dados pelos exercícios resolvidos anteriormente, identificando que tipo de material mais provável seria composta a tubulação.
Além daqueles, resolva os seguintes:
Calcular o diâmetro de uma tubulação de aço usada (C=90), que veicula uma vazão de 250l/s com uma perda de carga de 1,7/100m. Calcular também a velocidade.
Calcular a vazão que escoa por um conduto de ferro fundido (C=90) de 200mm de diâmetro, desde um reservatório na cota 200m até outro reservatório na cota 0. L deve ser 10.000m. calcular a velocidade.
Deseja-se conhecer a vazão e o diâmetro de uma tubulação com C=120, de forma que a velocidade seja 3m/s e a perda de carga seja 5m/100m.
