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A figura mostra um escoamento laminar na região de entrada de um tubo circular. Uma camada limite desenvolve-se ao longo das paredes do duto. A superfície do tubo exerce um força de cisalhamento retardante sobre o escoamento; assim a velocidade do fluido nas proximidades da parede é reduzida. O efeito da superfície sólida é sentido cada vez mais para dentro do escoamento. Suficientemente longe da entrada do tubo a camada limite em desenvolvimento atinge a linha de centro do mesmo e o escoamento torna-se inteiramente viscoso. Quando isto acontece e a forma do perfil de velocidades não se altera com o avanço do escoamento diz-se que o mesmo encontra-se completamente desenvolvido. A distância a jusante, a partir da entrada, até o local em que o escoamento torna-se completamente desenvolvido é chamada de comprimento de entrada.
Para o escoamento laminar, o comprimento de entrada é uma função do número de Reynolds:
Como no escoamento laminar admite-se número de Reynolds de até 2300, o comprimento de entrada pode atingir distâncias tão grandes como:
Se o escoamento for turbulento, a mistura intensa entre camadas do fluido causa o crescimento mais rápido da camada limite e experiências mostram que o comprimento de entrada se reduz para distâncias entre 25 e 40 diâmetros do tubo.
Escoamento completamente desenvolvido
VD
D
L
L 0 , 06 Re D 0 , 06 2300 D 138 D
Quando a velocidade de um fluido, em qualquer ponto, é constante no tempo, o escoamento é dito estacionário ou permanente. Então, cada partícula que passa por um determinado ponto o faz sempre com a mesma velocidade. Em um outro ponto, as partículas podem passar com outra velocidade, mas aí, também, a velocidade é sempre a mesma. Consideremos, agora, o escoamento de um fluido viscoso através de um tubo cilíndrico, com uma velocidade não muito grande, de modo que o escoamento é laminar e estacionário. A camada mais externa adere à parede e tem velocidade nula. A parede exerce sobre esta camada uma força de sentido contrário ao movimento do fluido e ela, por sua vez, exerce uma força de mesmo sentido sobre a camada seguinte, e assim por diante. A camada central tem a velocidade máxima. O escoamento do fluido é como o movimento de vários tubos encaixados, cada qual deslizando com velocidade maior que o vizinho externo.
Integrando esta expressão desde um r genérico, para o qual a correspondente camada de fluido tem uma velocidade v, até r = R, para o qual a correspondente camada de fluido tem v = 0, obtemos:
Lei de Poiseuille
Consideremos um elemento cilíndrico de fluido, de raio r e comprimento L, coaxial com o tubo, que se escoa por efeito de uma diferença de pressão. A força que impulsiona o fluido tem módulo
. Esta força deve estar em equilíbrio com a força de viscosidade que atua na superfície do elemento cilíndrico considerado, com área , de modo que:
2 F F 1 F 2 Pr
A 2 rL
dr
dv
P r 2 ( 2 rL )
dy
dv A
F
dv ( P / 2 L ) rdr
v ( r ) P L R r
Carga total, de pressão de velocidade e potencial
Ao observar o que acontece com o exemplo de um reservatório que abastece um duto, podemos
verificar a relação entre estas cargas.
Para analisar o escoamento no tubo nós aplicamos a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de
corrente do ponto 1 na superfície do reservatório até o ponto 2 na saída do tubo. E nós sabemos
que a energia total por unidade de peso ou a carga total não varia - ela é constante - ao longo de uma
linha de corrente. Mas, qual o valor desta constante?
Nós podemos calcular a carga total H (ou altura total, já que H é a soma de parcelas que podem ser
expressas em unidades de altura de uma coluna de liquido).
No reservatório, p 1 = 0 pois p 1 é a pressão atmosférica e a pressão manométrica atmosférica é
zero. Se o reservatório for muito grande a velocidade no ponto 1 pode ser considerada desprezível
se comparada com a velocidade no tubo. Portanto v 1 = 0, então, no reservatório, a altura total = H
= z 1 que é a elevação do reservatório.
2
2 2 2 1
2 1 1 2 2
z g
v g
p z H g
v g
p
Carga total, de pressão de velocidade e potencial
No gráfico abaixo a linha de altura total é mostrada. Se nós conectarmos piezômetros (tubos verticais
abertos, preenchidos com o mesmo líquido cuja pressão desejamos medir) em diferentes pontos ao longo
do tubo, quais os níveis mostrados quando o tubo estiver fechado na extremidade?
Como podemos ver, com velocidade zero, os piezômetros apresentam um mesmo nível que corresponde a
linha de altura (ou carga) total.
Em cada ponto da linha, quando v = 0.
a altura de cada piezômetro corresponde à carga (ou altura) de pressão e seu valor é dado por.
z H
g
p
g
p
Carga total, de pressão de velocidade e potencial
O que aconteceria se o tubo não fosse de diâmetro constante? Vejamos na figura abaixo onde o
tubo anterior foi substituído por outro com três diâmetros diferentes e com a seção intermediária
de diâmetro maior.
A altura de velocidade em cada ponto é diferente agora. Isto porque a velocidade é diferente em
cada ponto.
Perdas devido ao atrito
Em um tubo real há perdas de energia devido ao atrito, que devem ser levadas em conta quando
forem significantes. Como se comportarão as cargas de pressão e de velocidade com o atrito? Se
considerarmos novamente o tubo com diâmetro constante, nós teremos uma situação como a
mostrada abaixo:
A perda de energia devido ao atrito, cujo símbolo é ht, também pode ser escrita como uma altura
de coluna de líquido.
z ht
g
v
g
p
z
g
v
g
p
2 2 2 1
2 1 1
Para o escoamento completamente desenvolvido num tubo de área constante, as perdas localizadas
não existem, hl = 0, e a equação do balanço de energia [I] reduz-se a:
Se o tubo for horizontal, então z 2 = z 1 e
[II]
Como a perda de carga representa a energia mecânica convertida em térmica, por efeitos de atrito,
ela depende tão somente dos detalhes do escoamento através do conduto e independe da
orientação do duto. Portanto, a perda de carga distribuída pode ser expressa como a perda de
pressão.
Perdas distribuídas
gz ht
p v
gz
p v
2 2 2 1
2 1 1
g z z hd
p p
2 1
1 2
hd
p p p
1 2
Para o escoamento laminar a queda de pressão pode ser calculada analiticamente e a perda de
carga distribuída é dada por:
Para o escoamento turbulento não podemos avaliar a queda de pressão analiticamente; devemos
recorrer a dados experimentais e utilizar a análise dimensional para correlacioná-los.
Perdas distribuídas
hd
p p p
1 2
Re 2
64 V^2
D
L
hd
L
PD
L
R P
Q
4 4
D
V
D
L
D
LV D
D
LQ P
32
128 128 4 4
2 4
VD
V
D
L
D
V
D
L
hd
2
Equação de Poiseuille
Rugosidade relativa:
A rugosidade relativa pode ser obtida de gráficos ou tabelas:
Tubo Rugosidade (mm) Aço rebitado 0,9- 9 Concreto 0,3- 3 Madeira 0,2-0, Ferro fundido 0, Ferro galvanizado 0, Ferro fundido asfaltado 0, Aço comercial ou ferro forjado 0, Tubos trefilados 0,
O diagrama de Moody:
D
e Re 4 104
