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A U L A
A U L A
IntroduÁ„o
Pir‚mide, cone e esfera
Dando continuidade à unidade de Geome- tria Espacial, nesta aula vamos estudar mais três dos sólidos geométricos: a pirâmide, o cone e a esfera.
A pir‚mide
A pirâmide é considerada um dos mais antigos sólidos geométricos construídos pelo homem. Uma das mais famosas é a pirâmide de Quéops, construída em 2.500 a.C., com 150 m de altura, aproximadamente - o que pode ser comparado a um prédio de 50 andares. Quando pensamos numa pirâmide, vem-nos à cabeça a imagem da pirâmide egípcia, cuja base é um quadrado. Contudo, o conceito geométrico de pirâmide é um pouco mais amplo: sua base pode ser formada por qualquer polígono. As figuras abaixo representam pirâmides:
Nossa aula
Pirâmide Pentagonal
Pirâmide quadrangular
Pirâmide Triângular (tetraedro)
Pirâmide hexagonal
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Algumas definições: A U L A
Uma pirâmide é um sólido geométrico, cuja base é um polígono e cujas faces laterais são triângulos que possuem um vértice comum.
l A altura da pirâmide é um segmento perpendicular à base e que passa por V (vértice). l Uma pirâmide é regular se a base é um polígono regular e as faces são triângulos iguais. Com isso o pé da altura é o centro do polígono da base, como mostram as figuras abaixo.
O cone
Um funil ou uma casquinha de sorvete dão a idéia do sólido geométrico chamadoconeconeconeconecone. Um cone (mais precisamente, um cone circular reto) é o sólido obtido da seguinte maneira: tome uma região do plano limitado por uma circunferência e, de um ponto PPPPP situado exatamente acima do centro da circunferência, trace os segmentos de reta unindo PPPPP aos pontos da circunferên- cia do círculo.
base
aresta da base
altura
aresta da face
vértice
face
V
Pirâmide Triângular
Regular
(a base é um triângulo equilátero)
Pirâmide Quadrangular
Regular
(a base é um quadrado)
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Você vai observar que será necessário despejar cerca detrêstrêstrêstrêstrês vezes o A U L A conteúdo da pirâmide no interior do prisma, para enchê-lo por completo. Com isso, concluímos que o volume da pirâmide é um terço do volume do prisma:
Vpirâmide = 13 A ¥ h onde A representa a área da base e h, sua altura.
Para determinar o volume do cone, podemos proceder de forma análoga. Para isso, construa, em cartolina, um cone e um cilindro de mesma base e mesma altura.
Enchendo o cone com areia, será necessário despejartrêstrêstrêstrêstrês vezes seu conteúdo no interior do cilindro, para enchê-lo.
Portanto, podemos concluir que o volume do cone é a terça parte do volume do cilindro, de mesma base e mesma altura
Vcone = 31 A ¥ h onde A representa a área da base e h, sua altura.
Assim, para toda pirâmide e para todo cone é válida a fórmula:
V = A^ ´^ h 3
Vamos ver alguns exemplos:
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Qual o volume de uma pirâmide quadrangular, cuja altura mede 5 cm e a aresta da base, 3 cm?
A (^) base = 3 2 = 9 cm^2
V = 13 ¥ 9 ¥ 5 = 15 cm 3
O volume dessa pirâmide é de 15 cm 3
h
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A U L A EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Um copo de caldo de cana, no formato de um cone, tem 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Qual a capacidade desse copo?
A (^) base = pR 2 = 3,14 ¥ 16 = 50,24 cm^2
V = 13 ¥ 50,24 ¥ 12 = 200,96 cm 3
Como 1 cm 3 = 1 m l, concluímos que a capacidade do copo é de aproxima-
damente 200 m l.
A esfera
Sem dúvida alguma, a esfera é considerada um dos sólidos mais curiosos que existem, e sua forma tem sido extremamente útil ao homem. É possível que os homens tenham criado a forma esférica a partir da observação e do estudo dos corpos celestes, como o Sol e a Lua. Ou da verificação de fenômenos como a sombra da Terra projetada sobre a Lua. O formato de nosso planeta foi reproduzido em diversos objetos até chegar às bolas de futebol, vôlei e outros. Matematicamente, a esfera é o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância a um ponto 0 é igual a uma distância R dada.
0 fi centro da esfera R fi Raio
O
R
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A U L A EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
Qual a quantidade de chumbo necessária para a confecção de 100 bolinhas esféricas, maciças, de 1 cm de diâmetro?
Raio = 0,5 cm
V = 4 3
pR 3 = 4 3
@ 0,523 cm^3
São necessários 0,523 cm^3 , que é o mesmo que 0,523 m l de chumbo.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1 Qual é o volume de uma pirâmide quadrangular de altura 9 cm e cujo perímetro da base é 20 cm?
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2 Qual é o volume de um cone de 12 cm de altura e com diâmetro da base medindo 10 cm?
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3 Qual a quantidade de chocolate necessária para a fabricação de 1. pirulitos em forma de guarda-chuva, de 5 cm de altura e 2 cm de diâmetro?
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4 A ampulheta da figura consiste em dois cones idênticos, dentro de um cilindro. A altura do cilindro é de 6 cm e sua base tem 4 cm de diâmetro.
a)a)a)a)a) Determine o volume de areia necessário para encher o cone. b)b)b)b)b) Determine a quantidade de espaço vazio entre os cones e o cilindro.
raio = 0,5 cm
ExercÌcios
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Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5 A U L A O raio da Terra é de aproximadamente 6.400 km. Considerando que sua forma seja uma esfera, determine o volume do planeta Terra.
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6 O diâmetro da Lua é, aproximadamente, 14 do da Terra. Determine o volume da Lua.
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7 Uma fábrica de suco de laranja confeccionou suas embalagens em dois formatos: uma esférica de 8 cm de diâmetro e outra cilíndrica. Sabendo que as duas embalagens têm a mesma altura e a mesma largura, calcule seus volumes.
Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8 Numa indústria química, deseja-se instalar um reservatório esférico para armazenar determinado gás. A capacidade do reservatório deve ser de 33,5 m^3. Qual deve ser, aproximadamente, o raio desse reservatório?
S UC O S UC O 8 cm
8 cm
