Baixe Resolução de polinômios: divisão, fatoração e restos e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0. P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p= Resposta: p=.
Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b)
Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b) , sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r1 e r.
Temos: a é a raiz do divisor x-a , portanto P(a)=r1 (eq. 1) b é a raiz do divisor x-b , portanto P(b)=r2 (eq. 2) E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=( x-a )( x-b ) Q(x) + R(x) (eq. 3)
O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo: R(x)=cx+d
Da eq.3 vem: P(x)=( x-a )( x-b ) Q(x) + cx + d Fazendo: x= a => P( a ) = c( a )+d (eq. 4) x= b => P( b ) = c( b )+d (eq. 5)
Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:
Resolvendo o sistema obtemos:
Observações: 1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b) , temos: P( a )= r1 = P( b )= r2 = Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b) , pois:
2ª) Generalizando, temos: Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a1), (x-a2),..., (x-an) então
P(x) é divisível pelo produto (x-a1)(x-a2)...(x-an).
Exemplo: Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)? Resolução: 0 é a raiz do divisor x , portanto P(0)=6 (eq. 1)
1 é a raiz do divisor x-1 , portanto P(1)=8 (eq. 2) E para o divisor x(x-1) temos P(x)= x ( x-1 ) Q(x) + R(x) (eq. 3)
O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo: R(x)=ax+b
Da eq.3 vem: P(x)= x ( x-1 ) Q(x) + ax + b Fazendo: x=0 => P(0) = a(0)+b => P(0) = b (eq. 4) x=1 => P(1) = a(1)+b => P(1) = a+b (eq. 5)
Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:
Logo, b=6 e a=.
Decomposição de um polinômio em fatores
Vamos analisar dois casos: 1º caso: O polinômio é do 2º grau. De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax2+bx+c que admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte
forma:
Exemplos:
Fatorar o polinômio P(x)=x2-4. Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-. Logo: x2-4 = (x-2)(x+2).
Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10. Resolução: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=. Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).
2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3. Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.
Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3-x2-x. Resolução: 2x3-x2-x = x.(2x2-x-1) colocando x em evidência Fazendo x.(2x2-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x2-x-1=0. Uma das raízes já encontramos (x=0). As outras duas saem da equação: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/. Portanto, o polinômio 2x3-x2-x, na forma fatorada é: 2.x.(x-1).(x+(1/2)).
ax2+bx+c =
Generalizando, se o polinômio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n
raízes r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:
Observações:
- Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc.
- Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)3.
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 =
