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POLINÔMIOS
Definição
Uma função polinomial ou simplesmente polinômio , é toda função
definida pela relação P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x +
a0.
Onde: an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes. n IN x C (nos complexos) é a variável.
GRAU DE UM POLINÔMIO:
Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o
coeficiente an0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e
indicamos gr(P)=n. Exemplos:
a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=. b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=. c) P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=.
Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.
Valor numérico
O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo:
Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é: P(x)= x3+2x2+x- P(2)= 23+2.22+2- P(2)= 14
Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).
Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.
Alguns exercícios resolvidos:
1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a. Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0. P(-3)=0 => (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 0 3a = -10 => a=-10/ Resposta: a=-10/
2º) Calcular m IR para que o polinômio P(x)=(m2-1)x3+(m+1)x2-x+4 seja: a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau
Resposta: a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser diferentes de zero. Então: m2-10 => m21 => m 1 m+10 => m- Portanto, o polinômio é do 3º grau se m 1 e m -.
b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x3 deve ser igual a zero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Então: m2-1=0 => m2=1 => m= 1 m+10 => m- Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=.
c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser iguais a zero. Então: m2-1=0 => m2=1 => m= 1 m+1=0 => m=- Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-.
Resolução : Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos:
x2-2x+1 ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c 1x2-2x+1 (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c) Agora igualamos os coeficientes correspondentes:
Substituindo a 1ª equação na 2ª: 1+c = -2 => c=-. Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos: a-3=1 => a=. Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos: 4+b=1 => b=-. Resposta: a=4, b=-3 e c=-.
Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.
Divisão de polinômios
Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo: 1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=
Nessa divisão: P(x) é o dividendo. D(x) é o divisor. Q(x) é o quociente.
R(x) é o resto da divisão.
Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).
Exemplo:
Determinar o quociente de P(x)=x4+x3-7x2+9x-1 por D(x)=x2+3x-2. Resolução: Aplicando o método da chave , temos:
Verificamos que:
Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b
Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x2-2x+3 por D(x)=2x-1. Utilizando o método da chave temos:
Se D(x) é divisor de P(x) R(x)=
