Posicionando Figuras com Ticz, Esquemas de Informática

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Posicionando Figuras com TikZ

R´egis S. Santos

http://latexbr.blogspot.com

Sum´ario

• 1 Figuras feitas com TikZ
  • 1.1 Figura centralizada
  • 1.2 Subfiguras
  • 1.3 Figuras lado a lado com minipage
  • 1.4 Inserindo figura no texto
  • 1.5 Figura ao lado do texto com wrapfig
  • 1.6 Figura ao lado do texto com minipage
  • 1.7 Figura entre textos com multicoluna
  • 1.8 Figuras como itens de uma lista
  • 1.9 Figura ao lado de lista
  • 1.10 Figura ao lado de tabela
  • 1.11 Sobreposi¸c˜ao de figuras
  • 1.12 Posi¸c˜ao absoluta na p´agina
  • 1.13 Importando figuras TikZ externas
• 2 Figuras em duas colunas
  • 2.1 Figura centralizada
  • 2.2 Subfiguras
  • 2.3 Inserindo figura no texto
  • 2.4 Figura ao lado do texto com minipage
  • 2.5 Figuras como itens de uma lista
  • 2.6 Figura ao lado de tabela
• 3 Inserindo figuras em v´arios formatos
• 4 Sites
• A Espiral de Fibonacci e Curvas Seno
• Referˆencias Bibliogr´aficas

Cap´ıtulo 1

Figuras feitas com TikZ

O TikZ ´e um pacote do LATEX usado para o desenho de figuras vetoriais. Com ele ´e poss´ıvel

desenhar ilustra¸c˜oes diversas, desde simples retas e c´ırculos at´e diagramas complexos e gr´aficos de

fun¸c˜oes. Um recurso que chama a aten¸c˜ao no TikZ ´e a possibilidade de se trabalhar com pontos

flutuantes, ou seja, a partir de um ponto podemos desenhar uma figura em qualquer posi¸c˜ao da

p´agina.

Neste primeiro cap´ıtulo vamos desenhar duas figuras bem simples em TikZ: um c´ırculo e uma

esfera, veja a seguir:

\begin{tikzpicture} \drawblue circle (1); \drawblue -- (1.1,0) (0,-1.1) -- (0,1.1); \end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture} \fillball color=yellow circle (1); \end{tikzpicture}

Agora, vamos inserir as figuras na p´agina em diversas posi¸c˜oes diferentes.

Nota: Primeiro veremos o resultado, depois o c´odigo que o gerou.

1.1 Figura centralizada

A posi¸c˜ao mais comum ´e a centralizada, cuja figura vem logo depois de um texto.

Figura 1.1: C´ırculo desenhado com TikZ.

Veja o c´odigo que o gerou:

\ begin { figure }[! htb ] \ centering \ begin { tikzpicture } \ draw [ blue ](0 ,0) circle (1) ; \ draw [ blue ]( -1.1 ,0) -- (1.1 ,0) (0 , -1.1) -- (0 ,1.1) ; \ end { tikzpicture } \ caption { C \ ’ irculo desenhado com TikZ .}\ label { fig 01} \ end { figure }

Observe o uso do comando \centering para centralizar a figura e do comando \caption para

inserir uma legenda. A op¸c˜ao [!htb] permite ao LATEX escolher automaticamente a melhor posi¸c˜ao

vertical da figura, ou seja, se ela fica no in´ıcio, no final ou exatamente no ponto de inser¸c˜ao na

p´agina. Mas esta ´e apenas a op¸c˜ao mais comum, que ainda n˜ao resolve outras situa¸c˜oes que vir˜ao.

Nota: Para que a figura fique do lado esquerdo basta tirar a linha \centering. E para tirar

a legenda tire o comando \caption.

Obs: A maioria das figuras usadas neste cap´ıtulo ser˜ao inseridas com o ambiente figure, mas

figuras desenhadas com TikZ podem ser inseridas diretamente na p´agina usando apenas o ambiente

tikzpicture. E para centralizar use o ambiente center.

\ begin { center } \ begin { tikzpicture } \ draw [ blue ](0 ,0) circle (1) ; \ draw [ blue ]( -1.1 ,0) -- (1.1 ,0) (0 , -1.1) -- (0 ,1.1) ; \ end { tikzpicture } \ end { center }

1.2 Subfiguras

Subfiguras s˜ao figuras agrupadas de forma que s˜ao indexadas por a, b, c, etc. Para isso carregue

o pacote subfigure.

Vejamos um exemplo para duas figuras:

(a) Circunferˆencia (b) Esfera

Figura 1.2: Subfiguras

Veja a estrutura m´ınima:

Veja o c´odigo completo do exemplo anterior.

\ begin { figure }[! htb ] \ centering \ subfigure [ Circunfer ^ encia ]{\ label { fig 02 a } \ begin { tikzpicture } \ draw [ blue ](0 ,0) circle (1) ; \ draw [ blue ]( -1.1 ,0) -- (1.1 ,0) (0 , -1.1) -- (0 ,1.1) ; \ end { tikzpicture } } \ quad % espaco separador \ subfigure [ Esfera ]{\ label { fig 02 b } \ begin { tikzpicture } \ fill [ ball color = yellow ](0 ,0) circle (1) ; \ end { tikzpicture } } \ caption { Subfiguras }\ label { fig 02} \ end { figure }

1.3 Figuras lado a lado com minipage

Minipage ´e um ambiente onde podemos inserir objetos dentro de um “retˆangulo imagin´ario”

com largura pr´e-determinada. Com o minipage podemos, por exemplo, colocar um bloco de texto

justificado no lado direito da p´agina, geralmente usado para dedicat´orias em livros.

Figura 1.3: Circunferˆencia Figura 1.4: Esfera

Mas no nosso caso usaremos para inserir duas figuras, uma do lado da outra, de forma a

aproveitar o espa¸co da p´agina (mas n˜ao significa que s˜ao subfiguras). Vejamos o c´odigo j´a com as

figuras do exemplo anterior:

\ begin { figure }[! htb ] \ begin { minipage }[ t ]{0.45\ textwidth } \ centering \ begin { tikzpicture } \ draw [ blue ](0 ,0) circle (1) ; \ draw [ blue ]( -1.1 ,0) -- (1.1 ,0) (0 , -1.1) -- (0 ,1.1) ; \ end { tikzpicture } \ caption { Circunfer ^ encia }\ label { fig 03} \ end { minipage } \ begin { minipage }[ t ]{0.45\ textwidth } \ centering \ begin { tikzpicture } \ fill [ ball color = yellow ](0 ,0) circle (1) ; \ end { tikzpicture } \ caption { Esfera }\ label { fig 04} \ end { minipage } \ end { figure }

A op¸c˜ao [t] faz com que a figura fique alinhada pelo topo da “caixa” e o comando {0.45\textwidth}

define a largura da “caixa” em 45% da largura da linha de texto.

1.4 Inserindo figura no texto

Agora que come¸caremos a explorar o potencial do TikZ. Veja, a seguir, que podemos inserir

uma figura no meio do texto, ou seja, como se a figura fizesse parte do texto.

Este c´ırculo faz parte do corpo do texto.

Este c \ ’ irculo \ tikz [ scale =.2]{ \ draw [ blue ](0 ,0) circle (1) ; \ draw [ blue ]( -1.1 ,0) -- (1.1 ,0) (0 , -1.1) -- (0 ,1.1) ; } faz parte do corpo do texto.

Observe que podemos “quebrar” a linha do c´odigo, desde que n˜ao deixe uma linha em branco,

de forma a manter a continuidade do texto. Veja o uso da op¸c˜ao [scale=.2] para reduzir o

tamanho da figura. Repare, ainda, que n˜ao usamos o ambiente tikzpicture.

Com este recurso podemos inserir figuras em qualquer parte do texto, inclusive no in´ıcio

e/ou no final.

\ tikz [ scale =.2]{ \ draw [ blue ](0 ,0) circle (1) ; \ draw [ blue ]( -1.1 ,0) -- (1.1 ,0) (0 , -1.1) -- (0 ,1.1) ; } Com este recurso podemos inserir figuras em qualquer parte do texto , inclusive no in \ ’ icio e / ou no final. \ tikz [ scale =.2]{ \ fill [ ball color = yellow ](0 ,0) circle (1) ; }

1.5 Figura ao lado do texto com wrapfig

Figura 1.5: Esfera

Com o pacote wrapfig ´e poss´ıvel colocar uma figura ao lado do

texto de forma que a figura preenche parte do par´agrafo. Para isso

use o ambiente

\begin{wrapfigure}[opcao]{l}{largura}

onde em [opcao] podemos inserir o n´umero de linhas que ser˜ao movi-

das para o lado; omitindo esta op¸c˜ao o ambiente calcula o n´umero de

linhas automaticamente baseado na altura da figura. O comando {l}

(obrigat´orio) posiciona a figura do lado esquerdo do texto; {r} posi-

ciona do lado direito. E {largura} define a largura da regi˜ao onde

ficar´a a figura (em mm ou cm).

Obs: O wrapfigure sempre posiciona a figura no in´ıcio de um

par´agrafo. Al´em disso, se vocˆe tiver escolhido 11 linhas, por exemplo,

vocˆe dever´a preencher as 11 linhas com texto, sen˜ao todo o conte´udo seguinte ficar´a desalinhado.

Mas a melhor op¸c˜ao ´e n˜ao escrever o n´umero de linhas.

1.6 Figura ao lado do texto com minipage

As^ ` vezes pode se tornar necess´ario o

uso de uma minipage contendo texto

e outra contendo a figura. Use o

ambiente tikzpicture com a op¸c˜ao

baseline={([yshift={-1ex}]current

bounding box.north)} para que a figura

fique sempre no canto superior esquerdo

da minipage. A op¸c˜ao [yshift={-1ex}]

permite que a figura fique alinhada com a

primeira linha de texto.

r

\ begin { minipage }[ t ]{0.45\ textwidth } \ ‘ As vezes pode se tornar necess \ ’ ario o uso de uma minipage contendo texto e outra contendo a figura. Use o ambiente \ verb | tikzpicture | com a op \ c c ~ ao \ verb | baseline ={([ yshift ={ -1 ex }] current | \ verb | bounding box. north ) }| para que a figura fique sempre no canto superior esquerdo da minipage. A op \ c c ~ ao \ verb |[ yshift ={ -1 ex }]| permite que a figura fique alinhada com a primeira linha de texto. \ end { minipage } \ begin { minipage }[ t ]{0.45\ textwidth } \ begin { tikzpicture }[ baseline ={([ yshift ={ -1 ex }] current bounding box. north ) }] \ fill [ ball color = yellow ](0 ,0) circle (1) ; \ draw (0 ,0) -- node [ above left ] {$ r $} (45:1) ; \ end { tikzpicture } \ end { minipage }

1.7 Figura entre textos com multicoluna

Com o pacote multicol podemos inserir uma figura entre duas colunas de texto.

O comando \columnbreak

for¸ca uma quebra da coluna de

modo que a figura fique na se-

gunda coluna

Figura 1.7: Figura entre colu-

nas

e o texto continue na ter-

ceira coluna. Note que a que-

bra do texto ´e feita manual-

mente. Para que a figura aceite

\caption entre colunas deve-

mos carregar o pacote float e

usar a op¸c˜ao [H] (mai´usculo).

\ begin { multicols }{3} O comando \ verb |\ columnbreak | for \ c ca uma quebra da coluna de modo que a figura fique na segunda coluna

\ columnbreak

\ begin { figure }[ H ] \ centering \ begin { tikzpicture } \ draw [ blue ](0 ,0) circle (1) ; \ draw [ blue ]( -1.1 ,0) -- (1.1 ,0) (0 , -1.1) -- (0 ,1.1) ; \ end { tikzpicture } \ caption { Figura entre colunas } \ label { fig 07}

\ end { figure }

\ columnbreak

\ noindent e o texto continue na terceira coluna. Note que a quebra do texto \ ’ e feita manualmente. Para que a figura aceite \ verb |\ caption | entre colunas devemos carregar o pacote \ verb | float | e usar a op \ c c ~ ao verb |[ H ]| ( mai \ ’ usculo ). \ end { multicols }

1.8 Figuras como itens de uma lista

Com o pacote enumerate podemos inserir uma lista de itens, por exemplo, os 5 itens usuais de

uma quest˜ao de prova. Por´em, al´em de texto, com o TikZ podemos inserir figuras nos itens, como

fizemos na se¸c˜ao 1.4.

Considere o seguinte exemplo:

Qual dos itens abaixo representa o gr´afico de uma fun¸c˜ao real?

a) x^2 + y^2 = 1,

b) x = y^2 ,

c) y = senx,

d) |x| + |y| = 1,

e) y = x^2 ,

Segue o c´odigo:

\ begin { enumerate }[ a ) ] \ item $ x ^2 + y ^2 = 1$ , \ tikz {\ draw [ blue ] (0 ,0) circle (1 ex ) ;} \ item $ x = y ^2$ , \ tikz [ scale =.3]{\ draw [ blue , rotate = -90] ( -1 ,1) parabola bend (0 ,0) (1 ,1) ;} \ item $ y = \ sin x $ , \ tikz {\ draw [ x =1.57 ex , y =1 ex , blue ] (0 ,0) sin (1 ,1) cos (2 ,0) sin (3 , -1) cos (4 ,0) ;} \ item $| x | + | y | = 1$ , \ tikz {\ draw [ x =2 ex , y =2 ex , blue , rotate =45] (0 ,0) rectangle (1 ,1) ;} \ item $ y = x ^2$ , \ tikz [ scale =.3]{\ draw [ blue ] ( -1 ,1) parabola bend (0 ,0) (1 ,1) ;} \ end { enumerate }

No exemplo a seguir definimos a posi¸c˜ao da figura em rela¸c˜ao ao item a partir da linha de base.

a) Repare que no item (a) usamos baseline=(current bounding box.north),

b) no item (b) usamos baseline=(current bounding box.center)

c) e no item (c) usamos a op¸c˜ao padr˜ao: baseline=(current bounding box.south).

1.10 Figura ao lado de tabela

A t´ecnica de usar minipage ´e muito ´util na maioria das situa¸c˜oes, mas inserimos a tabela dentro

de um ambiente TikZ junto com a op¸c˜ao baseline=(current bounding box.north), desta forma

a tabela ficar´a na posi¸c˜ao desejada: canto superior esquerdo, e isto vale independente do tamanho

da figura. Al´em disso, a op¸c˜ao [inner sep=0] nos garante o perfeito alinhamento com o topo da

tabela.

a 1 2 3 4 5

b 6 7 8 9 10

c 11 12 13 14 15

d 16 17 18 19 20

e 21 22 23 24 25

f 26 27 28 29 30

g 31 32 33 34 35

h 36 37 38 39 40

i 41 42 43 44 45

Repare que desta vez n˜ao usamos a op¸c˜ao overlay. Esta op¸c˜ao permite que a figura sobreponha

o texto, ou seja, ela fica na frente de tudo que tiver na p´agina, mas neste exemplo o c´odigo a seguir

ficaria por cima da figura, ent˜ao tiramos esta op¸c˜ao, desta forma a figura aparece e depois o c´odigo

vem na sequ˜encia.

\ begin { minipage }[ t ]{.45\ textwidth } \ begin { tikzpicture }[ scale =2 , baseline =( current bounding box. north ) ] \ draw [ blue ](0 ,0) circle (1) ; \ draw [ blue ]( -1.1 ,0) -- (1.1 ,0) (0 , -1.1) -- (0 ,1.1) ; \ end { tikzpicture } \ end { minipage } \ begin { minipage }[ t ]{.45\ textwidth } \ tikz [ baseline =( current bounding box. north ) ] \ node [ inner sep =0]{ \ begin { tabular }{| c | c | c | c | c | c |} \ hline & \ textbf {1} & \ textbf {2} & \ textbf {3} & \ textbf {4} & \ textbf {5} \ \ hline a & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \ \ hline b & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \ \ hline c & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \ \ hline d & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \ \ hline e & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \ \ hline f & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 \ \ hline g & 31 & 32 & 33 & 34 & 35 \ \ hline h & 36 & 37 & 38 & 39 & 40 \ \ hline i & 41 & 42 & 43 & 44 & 45 \ \ hline \ end { tabular } }; \ end { minipage }

1.11 Sobreposi¸c˜ao de figuras

Conex˜ao de n´os

Mais uma vez vamos explorar o potencial do TikZ. J´a vimos que podemos desenhar uma figura

no meio do texto , al´em disso podemos “conectar” dois n´os diferentes independentes da sua

posi¸c˜ao na p´agina. Aqui conectamos um c´ırculo a um quadrado.

... no meio do texto \ tikz [ remember picture ] \ node [ draw , circle , fill = blue ] ( n 1) {}; , al \ ’ em disso ... \ tikz [ remember picture ] \ node [ draw , fill = yellow ] ( n 2) {}; quadrado.

A op¸c˜ao remember picture lembra a posi¸c˜ao da figura atual na p´agina. E os n´os foram

nomeados como n1 e n2, respectivamente.

O c´odigo a seguir “conecta” os dois n´os.

\ begin { tikzpicture }[ remember picture , overlay ] \ draw [ - > , red ] ( n 1) to [ out = -45 , in =90] ( n 2) ; \ end { tikzpicture }

A op¸c˜ao overlay permite que a figura sobreponha o texto.

Equa¸c˜oes matem´aticas

Vejamos agora um exemplo de uma equa¸c˜ao matem´atica junto com TikZ.

2 x + 6y = 4

x + 3y = 2

[

\ begin { gathered } % requer \ usepackage [ centertags ]{ amsmath } \ hfill \ tikz [ remember picture ] \ node ( n 3) {$2 x + 6 y = 4$}; \ \ hfill \ tikz [ remember picture ] \ node ( n 4) {$ x + 3 y = 2$}; \ \ tikz [ remember picture , overlay ] { \ draw [ - > , blue ] ( n 3) to [ out =0 , in =0] node [ right ] {$:2$} ( n 4) ; } \ end { gathered } ]

Neste caso \hfill no in´ıcio de cada linha permite que a equa¸c˜ao esteja alinhada do lado direito.

Obs: O c´odigo da espiral e das curvas seno que sobrep˜oem esta p´agina foi escrito no final do

texto, desta forma a figura ficar´a na frente sobrepondo o texto da p´agina. Veja o c´odigo completo

no Apˆendice A.

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1.13 Importando figuras TikZ externas

Por uma quest˜ao de organiza¸c˜ao e produtividade podemos desenhar as figuras em arquivos

externos e import´a-las para o corpo do texto. Ent˜ao fa¸ca duas figuras diferentes:

\begin{tikzpicture} \draw[fill=orange] (90:1) -- (210:1) -- (-30:1) -- cycle; \end{tikzpicture}

Salve como figTrianguloEquilatero.tex.

r \begin{tikzpicture}

\draw[fill=yellow] circle (1); \draw (0,0) -- node[above left] {$r$} (45:1); \fill[blue] circle (1.5pt); \end{tikzpicture}

Salve como figCirculo.tex.

Nota: Salve os arquivos na mesma pasta do seu arquivo tex principal. Mas se preferir, vocˆe

pode criar uma subpasta, por exemplo, figuras, e salvar as figuras l´a dentro.

A partir da´ı, para inserir a figura no arquivo tex principal, digite:

Figura 1.8: Triˆangulo Equil´atero.

\ begin { figure }[! htb ] \ centering \ input { figuras / figTrianguloEquilatero } \ caption { Tri ^ angulo Equil \ ’ atero .}\ label { figTrianguloEquilatero } \ end { figure }

Ou se quiser inserir a figura num ambiente TikZ ao lado do texto como na se¸c˜ao 1.5, ent˜ao

digite:

\ begin { wrapfigure }{ l }{2 cm } \ centering \ input { figuras / figCirculo } \ end { wrapfigure }

r

Estes s˜ao alguns dos recursos do TikZ. Mas isto ´e apenas uma fra¸c˜ao das pos-

sibilidades que o TikZ pode oferecer. No pr´oximo cap´ıtulo veremos as mesmas

aplica¸c˜oes (algumas com figuras diferentes) em duas colunas, e depois em outros

formatos, conforme previsto no in´ıcio deste manual. Lorem ipsum dolor sit amet,

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Cap´ıtulo 2

Figuras em duas colunas

Veremos agora alguns exemplos de figuras inseridas em duas colunas. Basicamente n˜ao muda

muita coisa. N˜ao veremos todos os casos, apenas alguns.

Para usar duas colunas ou use \documentclass[twocolumn]{article} para o documento todo,

ou \usepackage{multicol} e o ambiente

\ begin { multicols }{2} Tudo que estiver aqui dentro estar \ ’ a em duas colunas. \ end { multicols }

2.1 Figura centralizada

Estamos revendo situa¸c˜oes semelhantes as

do primeiro cap´ıtulo, ent˜ao para usar \caption

numa figura em colunas devemos rever a se¸c˜ao

1.7, onde carregamos o pacote float e usamos

a op¸c˜ao [H].

Figura 2.1: Figura centralizada.

Veja o c´odigo que o gerou:

\ begin { figure }[ H ] \ centering \ begin { tikzpicture } \ draw [ blue ](0 ,0) circle (1) ; \ draw [ blue ]( -1.1 ,0) -- (1.1 ,0) (0 , -1.1) -- (0 ,1.1) ; \ end { tikzpicture } \ caption { Figura centralizada .} \ end { figure }

Observe o uso do comando \centering para

centralizar a figura.

2.2 Subfiguras

A ´unica mudan¸ca ´e a op¸c˜ao [H]. Atente-se

ao tamanho das figuras.

(a) Circunferˆencia (b) Esfera

Figura 2.2: Subfiguras

\ begin { figure }[ H ] \ centering \ subfigure [ Circunfer ^ encia ]{ label { fig 08 a } \ begin { tikzpicture } \ draw [ blue ](0 ,0) circle (1) ; \ draw [ blue ]( -1.1 ,0) -- (1.1 ,0) (0 , -1.1) -- (0 ,1.1) ; \ end { tikzpicture } } \ quad % espaco separador \ subfigure [ Esfera ]{\ label { fig 08 b } \ begin { tikzpicture } \ fill [ ball color = yellow ](0 ,0) circle (1) ; \ end { tikzpicture } } \ caption { Subfiguras }\ label { fig 08} \ end { figure }

Cap´ıtulo 3

Inserindo figuras em v´arios

formatos

Para inserir figuras no LATEX devemos usar o pacote graphicx. Ele suporta os formatos EPS,

PDF, JPG e PNG. Sendo que os mais recomendados s˜ao EPS e PDF por oferecerem uma melhor

qualidade de impress˜ao.

Se sua figura estiver em EPS vocˆe deve compilar pelo LATEX, se tiver em qualquer um dos outros

formatos vocˆe pode compilar direto pelo pdfLaTeX.

Leia Convertendo figuras para outros formatos.

A sintaxe b´asica para inserir a figura ´e:

\ begin { figure }[! htb ] \ centering \ includegraphics [ opcao ]{ nome _ da _ figura } \ caption { legenda } \ label { rotulo } \ end { figure }

A ´unica novidade aqui ´e o comando \includegraphics. Leia sobre as op¸c˜oes em Inserindo

figuras no LaTeX.

Para ilustrar baixe a figura abelha.jpg e salve na subpasta figuras. Ent˜ao digite:

Figura 3.1: Abelha.

\ begin { figure }[! htb ] \ centering \ includegraphics [ width =5 cm ]{ figuras / abelha } \ caption { Abelha .} \ label { fig _ abelha } \ end { figure }

Observe o caminho completo da figura e note que n˜ao mencionamos o formato do arquivo, assim

o LATEX localiza pelo formato de arquivo dependendo do compilador que vocˆe estiver usando. Ou

seja, sua figura pode ser em EPS, PDF, JPG ou PNG.

Tamb´em ´e poss´ıvel inserir figuras com TikZ, assim vocˆe pode combinar a figura com uma

ilustra¸c˜ao vetorial.

Figura 3.2: O retˆangulo foi desenhado com TikZ.

\ begin { figure }[! htb ] \ centering \ begin { tikzpicture } \ node [ inner sep =0 , above right ] {\ includegraphics [ width =8 cm ]{ figuras / abelha }}; \ draw [ red , line width =1 pt , rounded corners ] (2.5 ,2.5) rectangle +(4 ,2.5) ; \ end { tikzpicture } \ caption { O ret ^ angulo foi desenhado com TikZ .} \ label { fig _ abelha 2} \ end { figure }

A op¸c˜ao inner sep=0,above right faz com que o canto inferior esquerdo seja a origem da

figura, ou seja, o ponto (0, 0) no sistema de coordenadas.