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Tipologia: Resumos
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Probabilidades condicionadas. Teorema de Bayes Seja E um evento arbitrário em um espaço amostral S, com P(E)> 0. A probabilidade de um evento A ocorrer, uma vez que E tenha ocorrido ou, em outras palavras, a probabilidade condicional de A dado E, escrita P (A\E), é definida como:
( \ ) número de maneiras nas quais A e E podem ocorrer P A E número de maneiras nas queis E podem ocorrer = Ou
Teorema da multiplicação para probabilidade condicional Se multiplicarmos em “cruz” a equação que define a probabilidade condicional obtemos a seguinte fórmula: p A ( E ) = p E ( ) p A ( \ E ) Exemplo 1 : Uma urna contém 4 bolas brancas e 2 vermelhas. Uma bola é retirada e, sem reposição, uma segunda é retirada. Qual a probabilidade de ambas ser branca? Solução: Considere os eventos “A” retirada da primeira bola branca e “B” retirada da segunda bola branca. Eles são dependentes, pois a probabilidade de ocorrência de B depende do que ocorreu na retirada da primeira bola. Assim, a probabilidade de A ocorrer será:
Exemplo 2 : Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Três peças são retiradas aleatoriamente, uma após a outra. Encontre a probabilidade (p) de todas essas três pecam serem não defeituosas. Solução: A probabilidade de a primeira peça ser não defeituosa é
Uma vez que 8 das 12 peças são não defeituosas. Se a primeira peça é não defeituosa, então a probabilidade da próxima ser não defeituosa é
pois somente 7 das 11 peças restantes são não defeituosas. Se as duas primeiras são não defeituosas, então a probabilidade da última ser não defeituosa é já que somente 6 das 10 restantes são não defeituosas. Então, pelo teorema da Multiplicação 6 10
Processos estocásticos finitos e diagrama de árvore Uma sequencia (finita) de experimentos, na qual cada experimento tem um número finito de resultados, com uma dada atribuição de probabilidade, é chamada de processo estocástico (finito). Uma das maneiras de representar este processo é descreve-lo usando o diagrama de árvore e com base no teorema de multiplicação, calcular a probabilidade de ocorrência de cada um dos resultados representados pelos ramos da árvore.
Acontecimentos independentes Um evento B é dito independente de um evento A, se a probabilidade de B ocorrer não é influenciada pelo facto de A ter ocorrido ou não. Em outras palavras, se a probabilidade de B é igual à probabilidade condicional de B dado A: P(B)=P(B\A). Substituindo P(B) por P(B\A) no teorema das multiplicações, P(A∩B)=P(A)P(B\A), obtemos P A ( B ) = P A ( ) P B ( ) Logo, os eventos A e B são independentes
Exemplo 4 : Lancemos uma moeda não viciada três vezes; obtemos o espaço equiprovável. S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} Consideremos os eventos: A = {primeiro lançamento é cara} B = {segundo lançamento é cara} C = {obtemos exactamente duas caras seguidas}
Exemplo 5 : Três máquinas, A, B e C, produzem 50 %, 30 % e 20 %, respectivamente, do total de pecas de uma fábrica. As percentagens de produção defeituosas destas máquinas são 3 %, 4 % e 5 %. Se uma peça é seleccionada aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa.
Exemplo 6 : Considere a fábrica do exemplo anterior. Suponha que uma peca, seleccionada aleatoriamente, seja considerada defeituosa. Encontre a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina A; ou seja, encontre P(A\X).
