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MATEMÁTICA – (9 ANO – ANTIGA 8ª SÉRIE)
Unidade 1 – Potenciação
1 - Revisão do significado de a n
Faremos uma revisão do estudo da potenciação. Certamente você se recorda do significado de a
n :
a aaaa a
n . .. .....^ = Resultado da Potência
o número a é multiplicado n vezes, ou seja, a base (a) sempre será multiplicada a quantidade de vezes que
o expoente (n) indica.
O símbolo a
n tem diversos significados, conforme o expoente n seja um número maior do que 1.
igual a 1, nulo ou negativo. Em todos esses casos estaremos considerando que a base a é um número real.
Veja:
Se n > 1 , inteiro, então a aaaa a n . .. .....
n fatores
Exemplos:
2 a → base: 5; expoente: 2
b) (+5) 2 = (+5).(+5)= +25 ou simplesmente 25
(perceba que quando trabalhamos com números positivos o resultado é sempre positivo; os exemplos apresentados
nas letras a e b são iguais; apenas a forma de escrever é diferente)
3
^
c
2
^
d
O resultado será positivo, pois temos que aplicar a regra de sinais: (-).(-) = +; o uso de parênteses não
é obrigatório, entretanto, aconselha-se a utilização dos mesmos pois às vezes podem aparecer outros sinais que
modificariam o resultado final; veja o exemplo a seguir.
2 ^
e
Primeiramente efetuamos o cálculo dentro dos parênteses, que será o resultado
;
posteriormente temos que aplicar a regra de sinais entre o sinal de (-) com o sinal de (+) de dentro dos parênteses:
(-).(+) = - ; conclusão o resultado será negativo.
4 f → (+).(+).(+).(+) = +
2 g
→ Como forma de facilitar a interpretação dos resultados finais, que podem ser positivos ou negativos, será
estabelecida a seguinte regra:
- se a base for negativa e o expoente for par , o resultado final será sempre positivo ;
- se a base for negativa e o expoente ímpar , o resultado final será sempre negativo.
(a regra acima somente poderá ser alterada se houver sinais antes da base; então temos que primeiro calcular a
potência, e depois verificar a regra de sinais).
Exemplos de aplicação da regra acima:
3
3
2
2
d
c
b
a
Primeiro efetua-se o cálculo da potência: (-8); logo em seguida temos que considerar o sinal de menos
na frente dos parênteses: (-).(-) = + → por isso o resultado é (+8)
2
^
e
Após o cálculo da potência, aplicamos a regra de sinais: (-).(+)= - → por isso o resultado é 25
3 f
Após o cálculo da potência, aplicamos a regra de sinais: (+). (-) = - → por isso o resultado é (-125)
→Exemplos resolvidos onde encontramos as situações expostas:
2 2 a
(nada influíra no resultado; basta calcularmos as potências e determinarmos os resultados)
3 2 b
[primeiramente calculamos as potências, e deixamos os resultados entre parênteses; aplica-se a regra de sinais para
o segundo parênteses: (-).(+) = (-)]
2 2
^
c → as duas bases são negativas, mas o expoente é par, logo o resultado
será positivo.
2 3
^
d
Primeiramente calcula-se o resultado de cada potência; posteriormente aplica-se a regra de
sinais para o segundo parênteses: (-).(-) = (+)
2 2 2 2
e → há outros modos de resolução, observe:
Se n = 1 → Toda base (número real) elevada a 1 é o próprio número. → a a 1
Exemplos:
1
1
1
1
d
c
b
a
n = 0 → Toda base (número real) elevada a zero é 1. → 1 0 a
Exemplos:
0
0
0
^
c
b
a
a ≠ 0 e n < 1 → Toda base elevada à expoente negativo deve ser escrita na seguinte forma: n
n a
a
.
Exemplos:
2
2
3
3
2
2
c
b
a
Ao se aplicar o conceito perceba que a base, seja positiva ou negativa, não se altera; apenas o expoente
que era negativo se torna positivo.
3
d
Primeiramente aplica-se a definição de expoente negativo, calculando-se o resultado da potência;
posteriormente aplica-se a regra de sinais: (-).(+) = (-)
3
e
Primeiramente aplica-se a definição de expoente negativo, calculando-se o resultado da potência;
posteriormente aplica-se a regra de sinais: (-).(-) = (+)
2
f
Primeiramente aplica-se o conceito de expoente negativo, calculando-se o resultado da potência;
posteriormente aplica-se a regra de divisão entre frações (multiplica a primeira fração pelo inverso da segunda
fração)
Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração em que o numerador é a unidade positiva (1) e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.
3
g
O modo de resolução é análogo ao anterior, entretanto aplicamos a regra de sinais: (-).(-) = (+)
→ os dois últimos exemplos nos mostram que quando a base for uma fração basta invertermos os termos da fração,
sem alterar o sinal da base (positiva ou negativa) e calculamos a potência. Veja os próximos exemplos:
2 2
^
h
A base é uma fração negativa, e como o expoente é negativo invertem-se os termos da fração (o que era
numerador vira denominador e vice-versa), mas a fração continua negativa.
2 2 2
i
O número decimal foi transformado em uma fração e os termos da fração foram invertidos; calcula-se a potência, e
efetuam-se os cálculos necessários para se determinar o resultado final.
Exemplos Resolvidos:
2 2 2 2
a
Forma simplificada; os cálculos ficam mais fáceis.
b 3 , 75
2 2 2 (^2 )
Primeiramente transformam-se os números decimais em frações decimais para posteriormente inverter a
base com expoente negativo.
2 3 2 3
^
c
Aplicando regra de sinais: (+).(-) = (-)
1 1 1 1
2 2
^
e
d
2 2
1 1
^
g
f
2 2
2 2
2 2
e
d
2
2 2 2
2 2
3 2
3 2
g
f
2 2 2 2
^
h
Potência com expoente negativo; inverte se os termos da fração e efetuam-se os cálculos necessários para a
determinação do resultado.
2 2 2 2 2 2 2 2
^
i
2
2
2
2
2
j
2 2 k
= 945
(os valores riscados foram simplificados)
Exercícios de Aplicação:
- Determine os resultados a seguir:
2
2 2
2 2
2
2
2
3
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
2 2
1 2
2 2
1 1
2 1
2
2 2
2 2
n
m
l
k
- Calcule:
2
2 2
2 2
2
2
2 2
e
d
c
b
a
2
2
2 3
3
2
h
g
f
2 2
2
2
2 1
k
j
i
3 4 3 4 33 44 6 8 e ) x. y. x. y x. y x. y
A aplicação da propriedade é válida indiferente da quantidade de bases envolvidas.
(P2) Divisão de potência de mesma base
Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes
conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.
DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.
O exemplo será 12 6 divididos por 12 2 :
Esta é a divisão que queremos efetuar. Vamos novamente abrir a potência.
Agora podemos cortar os termos semelhantes que estão acima e abaixo da fração.
Portanto podemos cortar dois fatores 12 de cima com dois fatores 12 de baixo.
Ao cortar, estaremos retirando 2 unidades da potência de cima. Estas duas unidades são referentes ao expoente 2 da potência de baixo.
Veja que esta multiplicação é igual à 12 4 , isto nos dá a regra para qualquer divisão de potências com mesma base.
Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
Genericamente, temos:
Novamente, "X" pode ser qualquer número (real, fracionário, decimal,...) que a regra ainda vale.
(Também podemos encontrar a regra exposta assim a x : a y = a x – y )
Exemplos de fixação:
4 ÷ 2 = 2 4-- = 2 3
- 3
5 ÷ 3
2 = 3
5-- = 3
2
6 ÷ 4
3 = 4
6-- = 4
3
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:
(1º) Quando o expoente da 2ª base (divisor) for negativo, ao se aplicar a regra verifica-se que esta base fica
positiva. Exemplos:
a) 2
20 : 2
-- = 2
20 – (--10) = 2
20 + 10 = 2
30
Aplica-se a regra de sinais entre o menos da regra com o sinal negativo: (-).(-)= +
b) 5
12 : 5
— 15 = 5
12-- (--15) = 5
12 + 15 = 5
27
(2º) Em certas situações ao se aplicar esta regra podemos encontrar resultados com expoentes negativos. Exemplos:
5
5 10 510 5
7
512 7 12
5
x
bx x x x
a
Perceba que estamos subtraindo um valor maior que o número 5, logo o resultado será negativo.
Exercícios de Aplicação:
- Aplique a propriedade (P1) nas situações a seguir:
^
2 2 2
2 2
5 5 5 5
5 3 2
2 2 2
2 2 2 2
f
e
d y y y y
c
bx x x
a
2 2 4 4
8 5 3
5 5
6
6 6 6
3 3 3 3 6 6
j resolvido
i y y y
hx x
resolvido x
y y x
gx y x y x y
^
Base com expoente negativo; inverte-se a ordem dos termos da fração, mantendo a base
negativa, e o expoente fica positivo.
2 2
3 2 3
l
k
- Aplique a propriedade (P2) nas situações a seguir:
5
8
6 6
6 4
12 5
10 5
e
d
cx x
b
a
Exemplos de Aplicação:
4
22 4
33 3. 3 9
42 4. 2 8
c
b x x x
a
d) (
3 )
4 = 2
12 , pois = 2
3 x 2
3 x 2
3 x 2
3
e) (
2 )
3 = 3
6 , pois = 3
2 x 3
2 x 3
2
f) ( 2 ) 5 = 4 10 , pois = 4 2 x 4 2 x 4 2 x 4 2 x 4 2
→ Potência de um produto: não se trata de uma propriedade nova, apenas uma extensão da propriedade anterior,
ou seja, dentro dos parênteses podemos ter mais que uma base; basta aplicar a regra anterior individualmente para
cada base.
Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência.
Exemplos de fixação:
4
6 6 6
4
6 6 4
3 2 32 6 4 6 6
2 33 2. 3 3. 3 6 9
b
c a c
b
a c b
b a b c a b c a
a x y x y x y
c) (b 5 ya 3 ) 4 = b 20 y 4 a 12
d) (c
2 d
2 e
5 )
2 = c
4 d
4 e
10
e) (d
3 a
4 )
3 = d
9 a
12
(P4) Multiplicação entre Potências de mesmo expoente
MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE
Até agora vimos multiplicação e divisão com termos de mesma base. E quando não tiver mesma base??? O que podemos fazer?
Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma base ou mesmo expoente. O que vamos ver agora é justamente o segundo caso: expoentes iguais.
O exemplo será 6 5 multiplicados por 9 5 :
Este é o exemplo. Agora vamos abrir as potências.
Qualquer multiplicação tem a propriedade de comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera. Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem.
Agora temos a multiplicação 6 · 9 aparecendo 5 vezes. Então
E esta propriedade pode ser aplicada para qualquer número. Conserva-se o expoente e multiplica-se a base. Generalizando:
Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos reais.
Exemplos de Aplicação:
5 5 5 5
3 3
3
4 4 4
3 3 3
d xyz x y z
c
b xy x y
a
(P5) Divisão entre potências de mesmo expoente (também chamada de potência de fração)
DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE
O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.
O exemplo será 8
4 divididos por 5
4 :
Este é o exemplo que iremos usar. Vamos abrir as potências.
Como temos multiplicação em cima e em baixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra.
E isto é a fração elevado na potência 4.
E esta propriedade pode se aplicar para quaisquer números do conjunto dos complexos. Generalizando,
Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos números reais.
Conserva-se o expoente e dividem-se as bases.
Potência de fração
Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta
potência.
Exemplos de Aplicação:
5
(^55)
4
(^44)
^
b
b b
a
b
a a
12
(^396)
4
3 2
9
6
33
(^323)
3
2
z
x y
z
x y d
b
a
b
a
b
a c (^) x
x
^
22
1012 22 12
10
3 4
5 2
6
915 6 15
9
15
3 3
5
1015 5 15
10
19 8
11
8
5 6
5 ( 6 ) 5 6 11 6
5
6 9 6 6
12 15
3 32
4 5 3
14 7 6 8
20 15
6 8
4 35
4 5
9
5
33
x
x x x
x
x
x m
y
y y y
y
y
y l
y
y y y
y k
x x
x
x
x x j
y y y y
y i
x y x y
x y
x y
x y h
x y x y
x y
x y
x y g
x x
x
x
x f
y
x
y
x y x y x y x
x y
x y
x y
x y
n
8
1
10 ( 18 ) 89 1018 1 8 1 8 18 9
10 8
6 3 3
5 4 2
( OBSERVAÇÃO : os exemplos nos mostram como as propriedades foram aplicadas, entretanto há infinitas situações
de aplicabilidade das propriedades; preste atenção agora nas situações propostas e como as mesmas foram
resolvidas).
Outros Exemplos de Aplicação:
→ As expressões algébricas serão simplificadas aplicando-se as propriedades das potências; observe como a
resolução dos exercícios foi feita; os exemplos serão apresentados de forma gradativa, conciliando o conceito das
potências com a aplicação das operações básicas existentes.
2 5 2 1 4 6 4 4
6 5
6 5
8 10
.... .
) x y x y x y x y
x y
x y
x y a (^)
→ aplica-se a propriedade (P2), ou seja, divisão entre potências de mesma base; depois se aplica a propriedade (P1),
onde a base foi conservada, e os expoentes somados, determinando assim o resultado final.
4
4
4
128 610 4 4 4 10 8
12 6
8
6
10
12
6
8
10
12 1
... .
y
x
y
x y x y x y x
x y
x
y
y
x
y
x
y
x b
→ primeiramente aplicou-se a regra de divisão entre duas frações: copia a primeira e inverte-se a segunda fração;
logo em seguida se aplica a (P2), subtraindo-se os expoentes entre si, e finalmente inverte-se a base y , pois seu
expoente é negativo.
(^64) 6 8
12 16
6 8
3 44
) x y
x y
x y
x y
x y
c → sequência das propriedades aplicadas: P3; P
6 4
12 ( 6 ) 10 ( 6 ) 6 4 6 6
12 10
3 2
5 2
2 3
3 4
22
15 5 3 2 4 3 3 10 6 12 9 22 15
2
3
2
3 2 1 3 2 3
x y
x y x y
y x
x y
x
y
y
x
f
x
y
e x y x y x y x y x y
y
x
y
d x y x y x
4
30 7 30 4 7 12 9 10
18 13 3
9
12 9
12
9 6
10
(^364)
3
(^343)
4
(^232)
5
3 2
b
a c
a b c
a b c
a b c
b
a c
a
b c
c
a b
b
a c
a
b c
c
a b
g
4 1 6 5
2 6
6 5
4 8 6 14
10 2 5
3 5
2 5
2 2 3
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
i
h
Exercícios de Aplicação:
- Simplifique as expressões algébricas aplicando as propriedades das potências:
4
8
5 5
5 10
10 10
20 10
2 3 2 3
5 3 8 3
2 3 4 3
2 5 8 2
3 2 5
x x
a a
y y
x x
x y x y
x y x y
x y x y
x x x x
x x x
5
20
10
20
10
12
8
x y
x
x
x
x
3 - DÍZIMAS PERIÓDICAS :
Quando efetuamos a divisão entre dois números quaisquer ou a divisão entre os termos de uma fração,
podemos encontrar uma das seguintes situações:
a) decimal exato: o resultado da divisão é um número decimal com uma quantidade finita de casas decimais a
direita da vírgula.
Exemplos:
a) 10 : 5 = 2 (pois 2 = 2,0 = 2,00 = ...); b) 7 : 2 = 3,5 ; c) 26 : 5 = 5,2; 0 , 006 500
d ) e
(as situações anteriores são exemplos de decimais exatos)
b) dízima periódica simples: o resultado da divisão é uma sequência de algarismos que se repetem indefinidamente;
o algarismo (ou algarismos) que repete recebe o nome de período (p). O período sempre começa depois da vírgula.
Exemplos:
a) 2 : 9 = 0,222... (período → p =2; apenas o algarismo 2 repete);
b) 31 : 99 = 0,313131... (período → p = 31)
c) 99
= 0,1515.... (período → p = 15); d) 0 , 777 ... 9
(período → p = 7)
c) dízima periódica composta: o período desta dízima começa sempre após uma ou duas casas decimais (ou mais
casas decimais) depois da vírgula.
Exemplos:
a) 7 : 90 = 0,0777....; b) 15 : 900 = 0,01666....; c) 1 , 5666 ... 90
c )
Exercício de Aplicação: Efetue a divisão entre os números ou entre os termos de cada fração, classificando o
resultado como decimal exato, dízima periódica simples ou dízima periódica composta:
i
h
g
f
e
d
c
b
a
r
q
p
o
n
m
l
k
j
d) dizima não periódica infinita : o resultado da divisão entre os números ou entre os termos da fração resulta em
uma sequência de números à direita da vírgula que nunca se repetem.
Toda e qualquer divisão que não se enquadrar nas definições acima é uma dizíma não periódica infinita.
FRAÇÃO GERATRIZ – é a fração que determina (dá origem) a dízima periódica.
Regras para determinação de uma fração geratriz:
Dízimas periódicas simples – Regra geral:
- Numerador: é o próprio período
- Denominador: para cada algarismo do período, coloca-se um algarismo 9 no denominador.
Exemplos:
a)
Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente de zero.
Uma estratégia é separar parte inteira e parte decimal:
Dízimas periódicas compostas – Regra Geral:
- Numerador: (parte inteira com anteperíodo e período) – (parte inteira com antiperíodo)
ou (parte não periódica seguida do período) – (parte não periódica)
- Denominador: para cada algarismo do período, coloca-se um algarismo 9 no denominador, e para cada algarismo
do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.
