Baixe a Potenciação Parte1 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Potenciação
O que é preciso saber (passo a passo)
Seja:A(potência) = an(expoente)
(base)
É notório a todos que o expoente nos diz quantas vezes a base será multiplicada, isto é: Ex 1 ) 23 = 2. 2. 2 = 8 Traduzindo: base 2 elevado ao expoente 3 obtemos a potência 8. Ex 2 ) (-2) 3 = (-2). (-2). (-2) = - Traduzindo: base (-2) elevado ao expoente 3 obtemos a potência – 8 Importantíssimo: nas propriedades de potenciação, quando a base é negativa, o sinal de menos sempre pertence ao elemento neutro da multiplicação, que é o número 1; isto nos facilitará e muito provar as propriedades da potenciação. Veja: -2 3 é o mesmo que -1. 2 3 = -1. 8 = - (-2) 2 é o mesmo que (-1. 2) 2 = [( -1 ) 2. 2 2 ] = 1. 4 = 4 Então fica fácil explicar porque:
-2 2 ¹ (-2) 2 -1. 2 2 = -4 (-1. 2) 2 = (-1). ( 2 ) 2
- 4 = 4 -4 ¹ 4 Exercício: Será que a afirmação ( -2 )n = - 2n é verdadeira para todo “n” natural? É óbvio que o sinal da potência vai depender da análise, ou seja , se “n”é par ou ímpar. 1 º Caso: Se “n” é par temos: (-2)n = -2n (Qualquer que seja “n”, o sinal do termo já está determinado) [( -1). 2] 2 = -1. 2n ( -1)n. 2n +2n -2n Conclusão 2n ¹ -2n se “n” for par 2 º Caso: se “n” é ímpar temos: ( -2 )n = -2n (Qualquer que seja “n”, o sinal do termo já está determinado) [( -1 ). 2 ]n = -1. 2n ( -1)n. 2n = -2n = -2n
Conclusão: ( -2 )n = -2n somente se “n” for ímpar
Propriedades da potenciação Facilita e muito a análise das propriedades se você escolher números que podem ser representados na mesma base. Na multiplicação, use:
- 4
- 27
- 25 Os quais serão convertidos em:
- 4 = 2 3. 2 2 = 2 5
- 27 = 3 2. 3 3 = 3 5
- 25 = 5 1. 5 2 = 5 3 Propriedade : em produtos de mesma base , conserva-se a base e somam-se os expoentes:
am. ap = am+p Importantíssimo : a recíproca desta propriedade é verdadeira, isto é, sempre que existir uma única base com soma de expoentes, separe-os imediatamente. Veja: a m+p = am. ap 2 n+3 = 2n. 2 3 = 2n. 8 2 n+p+q = 2n. 2p. 2q Obs: caso existir uma série de termos, não esqueça de colocar o termo comum em evidência. Ex: 2n+2 + 2n+3 + 2n+ 2 n. 2 2 + 2n. 2 3 + 2n. 2 1 2 n( 2 2 + 2 3 + 2) 2 n( 14 ) Propriedade : facilita e muito memorizar exemplos de números que ao serem fatorados possuam a mesma base. Ex: 4 8 25 25 9 81 p m
.. n n n n n n n n n n n n Interessantíssimo : você sabia que a preposição “de” acompanhada de fração significa multiplicação? Veja: Quanto é 3 2 de 12? Solução: 3 2/. 12 4 = 8 Quanto é a metade de um quarto de 2 50? Solução: 50 2 4 1 2 1.. 47 50 3 50 2 2 2 1 2 4 1 2 1 = =... Uma planta aquática duplica de área no final de cada dia.Sabe-se que no final de cada dia a planta já ocupará toda a superfície da lagoa. Solução: 1 º dia = 2 1 2 º dia = 2 2 3 º dia = 2 3 Nº dia = 2n Se 2 10 = A, para obtermos 4 A basta dividir toda a equação por 4: 4 4 210 A = (quarta parte da lagoa) 4 2 4 2 2 8 2
10 A A = ® = quarta parte da área da lagoa oitavo dia Resposta: no oitavo dia Interessantíssimo : você sabe o porquê de todo número elevado a zero ser igual a 1? a 0 = 1 (a ¹ 0) Para você provar, basta representar uma fração onde o numerador e o denominador sejam iguais. Ex: 8 8 = 1 aplicando a propriedade: p n p n a a a - = 1 8 1 8 8 1 1 1 1 = ® = - 80 = 1 Conclusão: a 0 = 1 é uma conseqüência da propriedade n m n m a a a - = Interessantíssimo : você sabe o porquê disso? n n a a = 1? O número 1 poderá ser sempre ser substituído pela mesma base em análise elevada a zero, isto é: n n n n a a a a a - - ® ® ® 0 0 1 Ex: n n n n n b a b a b b a b a b a - - ® ® ® ®.... 0 0 1 2 2 0 2 0 2 2 2 5 2 5 2 2 5 2 1 5 2 5 4 5 - - ® ® ® ® ®....
Conclusão: você observou que:
( 3 8 ) 0 ¹ 1 2 3 1 ¹ 9 Calcule: ( 0,2 ) 3 + ( 0,04) 2 2 3 100 4 10 2 ÷ø ö çè æ + ÷ø ö çè æ
Colocando 8. 10-4 em evidência: ( ) 2 10 10 8 1 4 + - -.
Solução 1 Solução 2 ( 0,2 ) 3 + ( 0,04 ) 2 ( 0,2 ) 3 + ( 0,04 ) 2 2 3 100 4 10 2 ÷ø ö çè æ + ÷ø ö çè
æ ( ) ( )2 2 3 1 10 4 10 2 - - +..
2 3 25
1 ÷ø ö çè æ + ÷ø ö çè æ 4 3 10 16 10 8 - - +.. 625 6 625 1 5 625 1 25
1 ® + ® + 3 3 10 6 1 10 8 - - +. ,. ( ) 3 3 10 6 9 10 6 1 8 - - = +. ,. , Solução 3 ( 0,2 ) 3 + ( 0,04 ) 2 2 3 100 4 10 2 ÷ø ö çè æ + ÷ø ö çè æ 2 3 25 1 5 1 ÷ø ö çè æ + ÷ø ö çè æ 5 -3 + 5- 5 -4( 5 1 + 1 )
- 5-4 = 4 5 6
