Praticas Octave - Guia, Manuais, Projetos, Pesquisas de Métodos Matemáticos para Análise Numérica e Otimização

Baixe Praticas Octave - Guia e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Métodos Matemáticos para Análise Numérica e Otimização, somente na Docsity!

Prof. Darlan Nunes de Brito

Laboratório

Cálculo Numérico

SUMÁRIO

AULA PRÁTICA 3 - Decomposição LU, Cholesky e LDL

T

Decomposição LDL

T

• SUMÁRIO.................................................................................................................................................
• ÍNDICE DE FIGURAS..............................................................................................................................
• ÍNDICE DE TABELAS..............................................................................................................................
• ÍNDICE DE PROGRAMAS.......................................................................................................................
• ÍNDICE DE EQUAÇÕES..........................................................................................................................
• INTRODUÇÃO.........................................................................................................................................
• AULA PRÁTICA 1 - Ambiente de programação Octave..........................................................................
  • OBJETIVO:...........................................................................................................................................
  • INTRODUÇÃO.....................................................................................................................................
    • Prompt de comando do Octave........................................................................................................
    • Operações básicas e Expressões Logicas.......................................................................................
    • Constantes e Variáveis.....................................................................................................................
    • Comentário e pontuações...............................................................................................................
    • Variáveis literais..............................................................................................................................
    • Obtendo informações da área de trabalho.....................................................................................
    • Funções matemáticas.....................................................................................................................
    • Comando de ajuda..........................................................................................................................
    • Números Complexos......................................................................................................................
    • VETORES E MATRIZES................................................................................................................
    • Matrizes...........................................................................................................................................
    • Operações com matrizes................................................................................................................
    • Gráficos no Octave.........................................................................................................................
  • ATIVIDADES......................................................................................................................................
• AULA PRÁTICA 2 - SCRIPTS E FUNÇÕES NO OCTAVE...................................................................
  • OBJETIVO..........................................................................................................................................
  • INTRODUÇÃO...................................................................................................................................
    • Controles de Fluxo..........................................................................................................................
    • Subprograma function....................................................................................................................
  • ATIVIDADES......................................................................................................................................
  • OBJETIVO..........................................................................................................................................
  • INTRODUÇÃO...................................................................................................................................
    • Método de Gauss............................................................................................................................
    • Decomposição LU...........................................................................................................................
    • Decomposição de Cholesky...........................................................................................................
  • ATIVIDADES......................................................................................................................................
• AULA PRÁTICA 4 - Métodos iterativos estacionários.............................................................................
  • OBJETIVO............................................................................................................................................
  • INTRODUÇÃO.....................................................................................................................................
    • Condições de convergência.............................................................................................................
    • Métodos iterativos estacionários......................................................................................................
  • ATIVIDADES........................................................................................................................................
• AULA PRÁTICA 5 - Análise de erros na solução de sistemas lineares..................................................
  • OBJETIVO............................................................................................................................................
  • INTRODUÇÃO.....................................................................................................................................
  • ATIVIDADES........................................................................................................................................
• AULA PRÁTICA 6 - INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL.............................................................................
  • Introdução.............................................................................................................................................
  • Atividades.............................................................................................................................................
• AULA PRÁTICA 7 - INTERPOLAÇÃO UTILIZANDO SPLINES..............................................................
  • INTRODUÇÃO.....................................................................................................................................
    • Splines cúbicos naturais...................................................................................................................
    • Splines cúbicos extrapolados...........................................................................................................
  • ATIVIDADES........................................................................................................................................
• AULA PRÁTICA 8 - Ajuste de curvas....................................................................................................
  • INTRODUÇÃO...................................................................................................................................
    • REGRESSÃO LINEAR SIMPLES..................................................................................................
  • ATIVIDADES......................................................................................................................................
• AULA PRÁTICA 9 - Regressão linear multivariáveis e ajuste polinomial.............................................
  • OBJETIVO..........................................................................................................................................
  • INTRODUÇÃO...................................................................................................................................
  • ATIVIDADES......................................................................................................................................
• AULA PRÁTICA 10 - Integração numérica............................................................................................
  • OBJETIVO..........................................................................................................................................
  • INTRODUÇÃO...................................................................................................................................
  • ATIVIDADES......................................................................................................................................
• AULA PRÁTICA 11 - Integração numérica método de Gauss-Legendre..............................................
  • OBJETIVO..........................................................................................................................................
  • INTRODUÇÃO...................................................................................................................................
  • ATIVIDADES......................................................................................................................................
• AULA PRÁTICA 12 - Integração dupla pelo método de Newton-Cotes................................................
  • OBJETIVO..........................................................................................................................................
  • ATIVIDADES......................................................................................................................................
• AULA PRÁTICA 13 - Raízes de Equações...........................................................................................
  • OBJETIVO..........................................................................................................................................
  • INTRODUÇÃO...................................................................................................................................
    • Método de Horner...........................................................................................................................
    • Limites das raízes reais..................................................................................................................
  • ATIVIDADES......................................................................................................................................
• AULA PRÁTICA 14 - Equações Diferenciais Ordinárias.......................................................................
  • OBJETIVO..........................................................................................................................................
  • INTRODUÇÃO...................................................................................................................................
  • ATIVIDADES......................................................................................................................................
• Bibliografia..............................................................................................................................................
• Figura 1 – Prompt de comando do Octave.............................................................................................. ÍNDICE DE FIGURAS
• Figura 2 - Opções da aba Arquivo...........................................................................................................
• Figura 3 - Exemplo de comando errado no prompt do Octave...............................................................
• Figura 4 - Correção de comando no prompt
• Figura 5 - Exemplo de operadores relacionais......................................................................................
• Figura 6 - Exemplo de gráfico bidimensional linear com uma variável e índice...................................
• Figura 7 - Gráfico do seno de t..............................................................................................................
• Figura 8 - Múltiplos gráficos em apenas um eixo..................................................................................
• Figura 9 - Gráfico do seno impresso na posição à esquerda da figura.................................................
• posição direita........................................................................................................................................ Figura 10 – Gráfico do seno impresso na posição esquerda da figura e do cosseno impresso na
• Figura 11 - Gráficos de tipos diferentes em eixos diferentes................................................................
• Figura 12 - Gráfico do seno com rótulos para os eixos e nome para gráfico.......................................
• Figura 13 - Gráfico exemplo de script....................................................................................................
• Tabela 1 - Lista de comandos das teclas................................................................................................ ÍNDICE DE TABELAS
• Tabela 2 - Operações aritméticas básicas..............................................................................................
• Tabela 3 – Operações relacionais...........................................................................................................
• Tabela 4 - Operadores lógicos relacionais..............................................................................................
• Tabela 5 - Formatos de números do prompt de comando do Octave...................................................
• Tabela 6 - Regras para construção de nomes de variáveis..................................................................
• Tabela 7 - Variáveis especiais do Octave.............................................................................................
• Tabela 8 - Comentários e pontuação.....................................................................................................
• Tabela 9 - Algumas funções matemáticas.............................................................................................
• Tabela 10 - Construção de vetores........................................................................................................
• Tabela 11 - Operações vetoriais............................................................................................................
• Tabela 12 - Algumas funções de matrizes............................................................................................
• Tabela 13 - Tipos de linhas dos gráficos...............................................................................................
• Tabela 14 - Marcadores de pontos nos gráficos...................................................................................
• Tabela 15 – Cores das linhas e dos marcadores nos gráficos.............................................................
• Tabela 16 - Lista de comandos para arquivos de script Octave...........................................................
• %Programa 1 - Exemplo de script do Octave........................................................................................ ÍNDICE DE PROGRAMAS
• Programa 2 – Exemplo 1 de utilização da função input........................................................................
• Programa 3 – Exemplo 2 de utilização da função M-file “ input ”............................................................
• Programa 4 – Exemplo 3 de utilização da função M-file “input”............................................................
• Equação 1 - Sistema linear.................................................................................................................... ÍNDICE DE EQUAÇÕES
• Equação 2 - Decomposição LU.............................................................................................................
• Equação 3 - Sistema linear LU..............................................................................................................
• Equação 4 - Decomposição de Cholesky..............................................................................................
• Equação 5 - Diagonal principal da de decomposição de Cholesky L...................................................
• Equação 6 - Termos inferiores da matriz L de Cholesky.......................................................................
• Equação 7 - Sistema linear de Cholesky...............................................................................................
• Equação 8 - Métodos iterativos...............................................................................................................
• Equação 9 - Equação de convergência...................................................................................................
• Equação 10 - Condição de convergência dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel................................

AULA PRÁTICA 1 - Ambiente de programação Octave

OBJETIVO:

 Introduzir o ambiente de programação Octave.

INTRODUÇÃO

O Octave é um "software" de alto desempenho destinado a fazer cálculos com matrizes e vetores,

podendo funcionar como uma calculadora ou como uma linguagem de programação científica

(FORTRAN, Pascal, C, etc.). Entretanto, os comandos do Octave são mais próximos da forma como

escrevemos expressões algébricas, tornando mais simples o seu uso. Atualmente, o Octave é

definido como um sistema interativo e uma linguagem de programação para computação técnica e

científica em geral, integrando a capacidade de fazer cálculos, visualização gráfica e programação.

Prompt de comando do Octave

O programa será aberto clicando 2 vezes sobre o ícone do Octave. Você observará como na Figura

1 a janela a parte da janela referente apenas ao prompt de comando.

Figura 1 – Prompt de comando do Octave

Através do prompt de comando é possível realizar qualquer operação ou executar qualquer função

ou programa criado para o Octave. Também no prompt de comando é possível visualizar os

resultados das operações realizadas. Na Figura 2 podemos observar uma operação de soma de dois

números 10+15 e o resultado desta soma mostrado logo abaixo.

Figura 2 - Opções da aba Arquivo

As teclas com setas podem ser usadas para se encontrar comandos dados anteriormente, para

execução novamente ou sua reedição. Por exemplo, suponha que você entre com o comando sen(0)

como mostrado na Figura 3 aparecerá uma resposta indicando que o comando é indefinido pois não

existe a função sen(0).

Figura 3 - Exemplo de comando errado no prompt do Octave

Isto acontece porque para se determinar o seno de um ângulo é necessário digitar em inglês o

comando sin. No lugar de rescrever a linha inteira, simplesmente pressione a tecla “seta para cima”.

O comando errado retorna, e você pode, então, é possível mover o cursor para trás usando a tecla

"seta para esquerda" ou o ponto de inserção com o "mouse" ao lugar apropriado para inserir a letra i

alterando o comando que agora funcionará corretamente como mostrado na Figura 4.

Figura 4 - Correção de comando no prompt

Tecla Descrição

Retorna a linha anterior

Retorna a linha posterior

Move um espaço para esquerda

Move um espaço para direita

Move uma palavra para direita

Move uma palavra para esquerda

Move para o começo da linha

Move para o fim da linha

Apaga um caractere à direita

Apaga um caractere à esquerda

Tabela 1 - Lista de comandos das teclas

Note que o Octave chamou o resultado de ans ( answer =resposta). Além das teclas com setas,

podem-se usar outras teclas para reeditar a linha de comando, como mostrado na Tabela 1.

Operações básicas e Expressões Logicas

O Octave oferece as operações aritméticas básicas mostradas na Tabela 2.

A ordem nas expressões segue a ordem matemática – potência, seguida da multiplicação e da

divisão, que por sua vez são seguidas pelas operações de adição e subtração. Parêntesis podem ser

usados para alterar esta ordem. Neste caso, os parêntesis mais internos são avaliados antes dos

mais externos.

O formato em que uma constante numérica é mostrada no Octave segue, como opção padrão, os

seguintes critérios: se um resultado é inteiro, o Octave mostra o número como inteiro; quando o

resultado é real, o Octave mostra o número com 5 dígitos à direita do ponto decimal; se os dígitos do

resultado estiverem fora desta faixa, o Octave mostra o resultado usando a notação científica. Este

padrão pode, entretanto, ser modificado utilizando-se o comando format mais o valor do formato

conforme tabela abaixo. Considere a Tabela 5 com exemplos dos formatos numéricos do Octave:

Formato Exemplo Comentário

short 33.50000 5 dígitos decimais (padrão)

long 33.50000000000000 16 dígitos

short e 3.3500e+001 5 dígitos mais expoente

long e 3.350000000000000e+001 16 dígitos mais expoente

short g 3.3500e+001 Mesma coisa que short e mas

não imprime zeros não

significativos

Long g 3.350000000000000e+001 Mesma coisa que long e mas

não imprime zeros não

significativos

short eng 123.00e+003 5 dígitos mais expoente

divisível por 3

long eng 123.0000000000000e+003 16 dígitos mais expoente

divisível por 3

hex 4040c00000000000 Hexadecimal

bank 33.50 2 dígitos decimais

+ + Positivo, negativo ou zero

rational 67/5 Racional

Tabela 5 - Formatos de números do prompt de comando do Octave

As variáveis são utilizadas para armazenar informação. Por exemplo:

q1=3, p1=25, q2=5, p2=

q1 = 3

p1 = 25

q2 = 5

p2 = 12

total=q1p1+q2p

total =

Primeiro, criamos quatro variáveis, q1, p1, q2 e p2, atribuindo a elas valores. Observe que o sinal de

igual (=) aqui significa atribuição. O que estiver à direita do sinal de igual é “colocado” na variável que

estiver à esquerda. Finalmente, criamos uma variável chamada total que recebeu o total o resultado

das operações entre as variáveis.

Os nomes das variáveis devem consistir-se de uma única palavra, conforme as regras expressas na

Tabela 6:

Regras de construção das variáveis Comentários/Exemplos

Variáveis com letras minúsculas são diferentes

de variáveis com as mesmas letras mas com

qualquer uma maiúscula.

Tota ≠ total ≠ TOTAL e ≠ ToTaL são variáveis

diferentes

As variáveis podem consistir de até 19

caracteres

Contador_de_pontosG

As variáveis devem começar com uma letra e

não podem conter caracteres especiais

exceto underline (“_”).

Contador_de_pontosG, Var_1, p_2_

Tabela 6 - Regras para construção de nomes de variáveis

As variáveis podem ser redefinidas a qualquer momento, bastando para isso atribuir-lhes um novo

valor. Variáveis em Octave não possuem tipo podendo assim ser atribuídas valores a elas de

qualquer tipo.

Alguns nomes são usados para variáveis predefinidas, ou seja, são variáveis especiais do Octave,

portanto não é aconselhável utilizar estes nomes para variáveis criadas pelo usuário. Estas variáveis

estão mostradas na Tabela 7.

Variáveis especiais Significado

ans Variável usada para exibir os resultados que não

são atribuídos a nenhuma variável

pi Número pi

eps Menor número tal que, quando adicionado a 1,

cria um número maior que 1 no computador

Inf ou Inf Significa infinito

NAN ou nan Significa que o resultado não é definido como por

exemplo 0/0 ou inf/inf

i e j Unidade imaginária [

]

nargin Número de argumentos de entrada de uma

função

nargout Número de argumentos de saída de uma função

realmin Menor número que o computador pode

armazenar

realmax Maior número que o computador pode armazenar

Tabela 7 - Variáveis especiais do Octave

Comentário e pontuações

Exemplo dos caracteres mostrados na Tabela 8:

q1=3, p1=25, ...

q2=5; p2=12; %Exemplo de uso da vírgula, ponto e vírgula e três pontos

q1 =

p1 =

Os espaços em branco entre os operadores (aritméticos, lógicos, relacionais) e as variáveis (ou

constantes) são opcionais. O mesmo para vale para a vírgula, o ponto e vírgula e o símbolo de

porcentagem. No entanto, o espaço em branco entre a última variável (ou constante) de uma linha e

os três pontos é obrigatório (veja exemplo anterior).

Símbolo Função

, Separa comandos dados em uma mesma linha. Separa as colunas de uma matriz

; Separa comandos dados em uma mesma linha. Se o último caractere da declaração

é um ponto e vírgula a impressão na tela é suprimida, mas a tarefa é realizada.

Separa as linhas de uma matriz.

% Todo e qualquer caractere depois do símbolo de porcentagem é tomado como

comentário

⋯ Pode-se continuar uma certa expressão na próxima linha usando espaço em branco

e três pontos “...”, ao final das linhas incompletas.

Tabela 8 - Comentários e pontuação

Variáveis literais

Uma variável pode conter uma cadeia de caracteres em vez de um número. Estes caracteres são

manipulados como vetores linha(assunto que será tratado mais adiante). A cadeia de caracteres

deve estar limitada por apóstrofos (‘cadeia de caracteres’) para ser atribuída a uma variável literal.

Funções matemáticas

O Octave tem uma série de funções científicas pré-definidas. A palavra função no Octave tem um

significado diferente daquele que tem na Matemática. Aqui, função é um comando, que pode ter

alguns argumentos de entrada e alguns de saída. Algumas dessas funções são intrínsecas, ou seja,

não podem ser alteradas pelo usuário. Outras funções estão disponíveis em uma biblioteca externa

distribuída com o programa original, que são na realidade arquivos com a extensão ".m" criados a

partir das funções intrínsecas. A biblioteca externa pode ser constantemente atualizada à medida

que novas aplicações são desenvolvidas. As funções do Octave, intrínsecas ou arquivos ".m", podem

ser utilizadas apenas no ambiente Octave.

As categorias gerais de funções matemáticas disponíveis no Octave incluem:

· Matemática elementar;

· Funções especiais;

· Matrizes elementares e especiais;

· Decomposição e fatoração de matrizes;

· Análise de dados;

· Polinômios;

· Solução de equações diferenciais;

· Equações não-lineares e otimização;

· Integração numérica;

· Processamento de sinais.

A maioria das funções pode ser usada da mesma forma que seria escrita matematicamente. Por

exemplo:

x=sqrt(2)/

x =

y=acos(x)

y =

y_graus=y*180/pi

y_graus =

Estes comandos calculam o arco cujo cosseno é

, inicialmente em radianos, depois em graus.

Na Tabela 9 vemos uma lista de algumas funções científicas disponíveis.

Comando de ajuda

No Octave, pode-se obter ajuda sobre qualquer comando ou função. Isto pode ser feito basicamente

de três formas: interativamente através do menu de barras, através do comando help ou do comando

lookfor. Digitando-se simplesmente o comando help ,

help

O Octave mostra uma listagem de todos os pacotes disponíveis. Ajuda sobre um pacote específico

ou sobre um comando ou função específica é obtida com o comando help <tópico>, onde tópico

pode ser o nome de um pacote, de um comando ou função. Por exemplo:

help sign

'sign' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc

-- sign (X)

Compute the "signum" function.

This is defined as

-1, x < 0;

sign (x) = 0, x = 0;

1, x > 0.

For complex arguments, 'sign' returns 'x ./ abs (X)'.

Note that 'sign (-0.0)' is 0. Although IEEE 754 floating point

allows zero to be signed, 0.0 and -0.0 compare equal. If you must

test whether zero is signed, use the 'signbit' function.

See also: signbit.

Comando Descrição

abs(x) Valor absoluto de x.

acos(x) Arco cujo cosseno é x.

asin(x) Arco cujo seno é x.

atan(x) Arco cuja tangente é x

conj(x) Conjugado complexo

cos(x) Cosseno de x.

cosh(x) Cosseno hiperbólico de x.

exp(x) Exponencial e

x

floor(x) Arredondamento em direção ao -

gcd(x,y) Máximo divisor comum de x e y.

lcm(x,y) Mínimo múltiplo comum de x e y.

log(x) Logaritmo de x na base

e .

log10(x) Logaritmo de x na base 10.

rem(x,y) Resto da divisão de x por y.

round(x) Arredondamento para o inteiro mais próximo

sign(x) Retorna apenas o sinal de um número

sin(x) Seno de x

sinh(x) Seno hiperbólico de x.

sqrt(x) Raiz quadrada de x.

tan(x) Tangente de x.

tanh(x) Tangente hiperbólica de x.

Tabela 9 - Algumas funções matemáticas

O comando help é a maneira mais simples de se obter auxílio no caso do usuário conhecer o tópico

em que ele quer assistência. Note que no exemplo mostrado a função SIGN está escrita em letras

maiúsculas somente para destacar. Deve-se lembrar que todos os comandos do Octave devem ser

escritos em letras minúsculas. Portanto, para utilizar esta função deve-se digitar:

sign (x)

O Comando lookfor provê assistência pela procura através de todas as primeiras linhas dos tópicos

de auxílio do Octave e retornando aquelas que contenham a palavra-chave especificada. O

interessante deste comando é que a palavra-chave não precisa ser um comando do Octave. Sua

sintaxe é lookfor <palavra-chave>, onde palavra-chave é a cadeia de caracteres que será

procurada 10 nos comandos do Octave. Por exemplo, para se obter informações sobre funções para

se resolver integral:

lookfor integral

ELLIPKE Complete elliptic integral.

EXPINT Exponential integral function.

DBLQUAD Numerically evaluate double integral.

INNERLP Used with DBLQUAD to evaluate inner loop of

integral.

b=imag(x)

b =

M=abs(x)

M =

theta=angle(x)*180/pi

theta = -75.

VETORES E MATRIZES

O Octave permite a manipulação de linhas, colunas, elementos individuais e partes de matrizes. Na

Tabela 10, tem-se um resumo das diversas formas de se construir um vetor no Octave.

Comando Desrição

X=primeiro : último Cria um vetor x começando com o valor primeiro,

incrementando-se de 1(um) em 1(um) até atingir

o valor último ou o valor mais próximo possível

de último

X=primeiro : incremento : último Cria um vetor x começando com o valor primeiro,

incrementando-se do valor incremento até atingir

o valor último ou o valor mais próximo possível

de último.

X=linspace(primeiro,último,n) Cria um vetor x começando com o valor primeiro

e terminado no valor último, contendo n

elementos linearmente espaçados.

X=logspace(primeiro,último,n) Cria um vetor x começando com o valor 10

primeiro

e terminando no valor 10

último

, contendo n

elementos logaritmicamente espaçados.

X=[2 2*pi sqrt(2) 2-3j] Cria um vetor x contendo os elementos

especificados

Tabela 10 - Construção de vetores

Exemplo 1:

x = 1 : 5

Gera um vetor linha contendo os números de 1 a 5 com incremento unitário. Produzindo

X =

x=1:10.

x=

Exemplo 2:

z = 6 : -l : l

Z =

Exemplo 3:

Pode-se, também, gerar vetores usando a função linspace. Por exemplo,

k = linspace (0, l, 6)

K =

Gera um vetor linearmente espaçado de 0 a 1, contendo 6 elementos.

x=linspace(1,10.5,5)

x=

Exemplo 4:

x=logspace(0,2,5)

x=

Exemplo 5:

x=[8 6 8.10 5-6j]

x=

8.0000 6.0000 8.1000 5.0000-6.0000i

Nos exemplos acima os vetores possuem uma linha e várias colunas (vetores linha). Da mesma

forma podem existir vetores coluna (uma coluna e várias linhas). Para se criar um vetor coluna

elemento por elemento estes devem estar separados por ( ; ). Por exemplo:

v=[1.5;-3.2;9]

v =

Esses vetores coluna podem também ser criados a partir dos comandos utilizados anteriormente

para criar os vetores linha, acompanhados do símbolo ( '), que é o operador de transposição.

Exemplo:

y=(1:0.5:3)'

y =

z=[0 -2.3 4 sqrt(33)]'

z =

Endereçamento de vetores

No Octave, cada um dos elementos de um vetor podem ser acessados através de

seu índiceque identifica cada uma das colunas. Por exemplo :

x=1:

x=

x(3) % Acessa o terceiro elemento de x

ans =

Matrizes

O Octave trabalha essencialmente com um tipo de objeto, uma matriz numérica retangular ( 1x1; 2x2;

3x3; i( linha) x j (coluna); etc).

Os elementos de cada linha da matriz são separados por espaços em branco ou vírgulas e as

colunas separadas por ponto e vírgula, colocando-se colchetes em volta do grupo de elementos que

formam a matriz. Por exemplo, entre com a expressão

>> A=[ 1 2 3;4 5 6;7 8 9 ]

A =

As linhas das matrizes também podem ser definidas através dos comandos utilizados anteriormente

para se definir vetores linha. Por exemplo:

A=[1:3;linspace(4,9,3);0:.5:1]

A =

Os elementos de uma matriz (ou de um vetor) também podem ser definidos por operações ou

funções matemáticas. Por exemplo:

B=[15 7;sqrt(36) cos(pi/3);12/7 2.5^2]

B =

Operações com matrizes

As operações com matrizes no Octave são as seguintes:

· Transposta;

· Adição;

· Subtração;

· Multiplicação;

· Divisão à direita;

· Divisão à esquerda;

· Exponenciação;

Transposta

O carácter apóstrofo, " ' " , indica a transposta de uma matriz. Considere os exemplos a seguir:

>>A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 0]

A= 1 2 3

>> B = A'

B = 1 4 7

x = [-1 0 2]'

X =

Adição e Subtração

A adição e subtração de matrizes são indicadas, respectivamente, por "+" e "-". As operações são

definidas somente se as matrizes tiverem as mesmas dimensões. Por exemplo, a soma com as

matrizes mostradas acima, A + x, não é correta porque A é 3x3 e x é 3x1. Porém,

>> C = A + B

é aceitável, e o resultado da soma é

C =

A adição e subtração também são definidas se um dos operadores é um escalar, ou seja, uma matriz

lxl. Neste caso, o escalar é adicionado ou subtraído de todos os elementos do outro operador. Por

exemplo:

y = x - 1

Y =

Multiplicação

A multiplicação de matrizes é indicada por "". A multiplicação xy é definida somente se a segunda

dimensão de x for igual à primeira dimensão de y. A multiplicação

x'* y

ans =

É evidente que o resultado da multiplicação y'*x será o mesmo. Existem dois outros produtos que são

transpostos um do outro.

x*y'

Ans =

2 l -l

y*x'

Ans =