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Estatística & Probabilidade
Aula 0 3 : Resumo de dados e Medidas de posição.
Problema 01. A seguir temos uma lista de possibilidades para classificar variáveis, em função da escala adotada. (Observe a similaridade com a apresentada na aula anterior)
(a) Razão
(b) Ordinal
(c) Razão
(d) intervalar
(e) razão
(f) nominal
(g) intervalar
( ) Salários dos empregados de uma indústria.
( ) QI de um individuo.
( ) Número de respostas certas de alunos num teste com dez items.
( ) Opinião de consumidores sobre um determinado produto.
( ) Porcentagem da receita de municípios aplicada em educação.
( ) Temperatura diária da cidade de João Monlevade.
( ) Opinião dos empregados da companhia MB sobre a realização ou não de cursos obrigatórios de treinamento.
Problema 02. Informações sobre estado civil, grau de instrução, número de filhos, salario (expresso como fração do salario mínimo), idade (medida em anos e meses) e procedência de 36 empregados da seção de orçamento da companhia MB são apresentadas na seguinte tabela:
Nº Estado
Civil
Grau de
Instrução
Nº de
filhos
Salário
(x sal. Min.)
Idade
anos meses
Região de
procedência
1 Solteiro Ensino fundamental - 4,00 26 03 Capital
2 Casado Ensino médio 1 4,56 32 10 Interior
3 Casado Ensino fundamental 2 5,25 36 05 Outra
4 Solteiro^ Superior^ -^ 5,73^20 10 Outra
Estatística & Probabilidade
5 Solteiro Ensino médio - 6,26 40 07 Outra
6 Casado^ Ensino fundamental^0 6,66^28 00 Interior
7 Solteiro^ Ensino fundamental^ -^ 6,86^41 00 Capital
8 Solteiro Ensino médio - 7,39 43 04 Capital
9 Casado Ensino médio 1 7,59 34 10 Interior
10 Solteiro Superior - 7,44 23 06 Capital
11 Casado Ensino médio 2 8,12 33 06 Interior
12 Solteiro^ Ensino médio^ -^ 8,46^27 11 Outra
13 Solteiro Superior - 8,74 37 05 Outra
14 Casado Superior 3 8,95 44 02 Interior
15 Casado Ensino médio 0 9,13 30 05 Capital
16 Solteiro Ensino médio - 9,35 38 08 Capital
17 Casado^ Ensino fundamental^1 9,77^31 07 Interior
18 Casado Ensino médio 2 9,80 39 07 Interior
19 Solteiro Ensino médio - 10,53 25 08 Outra
20 Solteiro Superior - 10,76 37 04 Outra
21 Casado Ensino fundamental 1 11,06 30 09 Outra
22 Solteiro^ Ensino fundamental^ -^ 11,59^34 02 Interior
23 Solteiro Ensino fundamental - 12,00 41 00 Interior
24 Casado Superior 0 12,79 26 01 Interior
25 Casado Ensino médio 2 13,23 32 05 Outra
26 Casado Ensino médio 2 13,60 35 00 Capital
27 Solteiro Ensino médio - 13,85 46 07 Capital
28 Casado Ensino fundamental 0 14,69 29 08 Outra
29 Casado Ensino médio 5 14,71 40 06 Outra
Estatística & Probabilidade
(d) Idade Freqüência fi
Proporção hi
Porcentagem 100 hi 20 | 25 2 0,0556^ 5, 25 | 30 6 0,1667^ 16, 30 | 35 10 0,2778^ 27, 35 | 40 8 0,2222^ 22, 40 | 45 8 0,2222^ 22, 45 | 50 2 0,0556^ 5, Total 36 1,0001 100,
Estatística & Probabilidade
Estatística & Probabilidade
Problema 04. Contou-se o número de erros de impressão da primeira página do jornal de João Monlevade durante 50 dias, obtendo-se o seguinte gráfico de barras:
a) Estabelecer as frequencias correspondentes a cada caso, numa tabela ordenada com fi , hi e 100xhi. b) Graficar o histograma correspondente.
0
2
4
6
8
10
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Número de erros de impressão
Freqüência absoluta (ni)
Estatística & Probabilidade
xi fi hi xi*fi Fi Hi
5 3 0.06 15 3 6 3 0.06 18 6 7 5 0.1 35 11 8 7 0.14 56 18 9 2 0.04 18 20 10 5 0.1 50 25 11 4 0.08 44 29 12 9 0.18 108 38 13 1 0.02 13 39 14 7 0.14 98 46 15 1 0.02 15 47 16 1 0.02 16 48 19 1 0.02 19 49 22 1 0.02 22 50 TOTAL 50
MEDIA =
MEDIANA =
MODA =
0
2
4
6
8
10
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Número de erros de impressão
Freqüência absoluta (ni)
Estatística & Probabilidade
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b) As taxas médias geométricas de incremento anual (por 100 habitantes) dos 30 maiores municípios do Brasil, estão dadas abaixo.
3,67 1,82 3,73 4,10 4,30 1,28 8,14 2,43 4,17 5,36 3,96 6,54 5,84 7,35 3,63 2,93 2,82 8,
5,28 5,41 7.77 4,65 1,88 2,12 4,26 2,78 5,54 0,90 5,09 4,
Histograma
a) Elaborar a tabela de frequências absoluta, relativa 100% e acumulada da variável continua X :Taxa média geométrica de incremento anual dos 30 maiores municípios do Brasil. b) Calcular a média de X. c) Calcular a moda de X. d) Elaborar o gráfico de composição em setores (pizza)
Problema 07. Você foi convidado para chefiar a seção de orçamento ou a seção técnica da companhia MB. Após analisar o tipo de serviço que cada seção executa, você ficou indeciso e resolveu tomar a decisão baseado em dados fornecidos para as duas seções. |O departamento de pessoal forneceu os dados da tabela Problema 02 para os funcionários da seção de orçamentos, ao passo que para a seção técnica os dados vieram agrupados segundo as tabelas abaixo, que apresentam as frequências dos 50 empregados dessa seção, segundo as variáveis grau de instrução e salário. Baseado nesses dados, qual seria a sua decisão? Justifique.
Instrução Frequência fi
Proporção hi= fi/n
Porcentagem 100 hi Fundamental 15 Médio 30 Superior 5 Total 50 1,000 100,
1 3 5 7 9
0,
0,
0,
Taxa média geométrica de incremento anual
Densidade de freqüência
6,67%
10,00%
40,00%
30,00%
13,33%
(por 100 habitantes)
Estatística & Probabilidade
Classe de salários
Ponto médio Frequência fi
Proporção hi
Porcentagem 100 hi 7,50 | 10,50 14 10,50 | 13,50 17 13,50 | 16,50 11 16 ,50 | 19,50 8 Total 50 1,0000 100,
Dica: Para decidir qual seção irei chefiar, primeiramente farei um gráfico de barras (utilizando a frequência relativa ao invés da frequência absoluta, devido ao diferente número de observações em cada seção) para cada seção para comparar o grau de instrução dos funcionários. Em seguida, farei um histograma para cada seção (utilizando os mesmos intervalos para ambas as seções, facilitando assim a comparação) comparando assim o salário dos funcionários.
Gráfico de barras para a Seção de Orçamentos
Gráfico de barras para a Seção Técnica
0
1o.grau 2o.grau superior Grau de instrução
Freqüência relativa (fi)
0
1o.grau 2o.grau superior Grau de instrução
Freqüência relativa (fi)
Estatística & Probabilidade
Aula 4: Medidas de dispersão e Gráfico box plots
Estatística & Probabilidade
Notações:
Observação: As formulas acima são utilizadas para um conjunto de dados xi , sem considerar repetições, isto é, sem considerar as frequências absolutas fi ou frequências relativas hi
Problema 01. Reescrever as fórmulas acima considerando as repetições, isto é, em função das frequências.
Problema 02. Quer se estudar o número de erros de impressão de um livro. Para isso escolheu-se uma amostra de 50 páginas, encontrando-se o número de erros por página da tabela abaixo.
Erros xi
Freqüência fi
Fi xi * fi (xi - )^2 _fi(xi - )_*^2 0 25 25 0 0,4356^ 10, 1 20 45 20 0,1156^ 2, 2 3 48 6 1,7956^ 5, 3 1 49 3 5,4756^ 5, 4 1 50 4 11,1556^ 11, Total 50 33 18,5424^ 35,
(a) Qual o número médio de erros por página?
Sendo x o número médio de erros por página, tem-se:
0 , 66 50
x
(b) E o número mediano?
Representando o número mediano de erros por md , tem-se, pela ordenação dos valores observados, que os valores de ordem 25 e 26 são 0 e 1, respectivamente. Assim
0 , 5 2
md
x x
dm(X) = desvio médio absoluto var(X) = variância dp(X) = √var(X) = desvio padrão
Estatística & Probabilidade
Desvio Padrão:
var( )
2 2 2 2 2 2 2 X
0 , 0018 ( ) 0 , 0018 0 , 0424 10
dpX
Problema 04. Para facilitar um projeto de ampliação da rede de esgoto de uma certa região de João Monlevade, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 quarteirões que compõem a região, e foram encontrados os seguintes números de casas por quarteirão:
2 2 3 10 13 14 15 15 16 16
18 18 20 21 22 22 23 24 25 25
26 27 29 29 30 32 36 42 44 45
45 46 48 52 58 59 61 61 61 65
66 66 68 75 78 80 89 90 92 97
(a) Use cinco intervalos e complete a seguinte tabela Vmin = 2 Vmax = 9 Vmax – Vmin = 95 Amplitude de cada intervalo: 95/ = 19
Classes nº casas
Ponto médio Frequência fi
F i (^) Proporção hi 0| 20^10 12 12 0, 20| 40^30 15 27 0, 40| 60^50 9 36 0, 60| 80^60 9 45 0, 80| 100^70 5 50 0, Total 50 1,
0 20 40 60 80 100
0.
0.
0.
0. Número de casas por quarteirao
Densidade
Estatística & Probabilidade
(b) Determine uma medida de tendência central e uma medida de dispersão. xi
- fi Fi xi * fi fi*(xi - x) Freqüência
- 2 2 2 4 2952.
- 3 1 3 3 1400.
- 10 1 4 10 925.
- 13 1 5 13 751.
- 14 1 6 14 698.
- 15 2 8 30 1292.
- 16 2 10 32 1192.
- 18 2 12 36 10 05.
- 20 1 13 20 416.
- 21 1 14 21 377.
- 22 2 16 44 678.
- 23 1 17 23 303.
- 24 1 18 24 269.
- 25 2 20 50 475.
- 26 1 21 26 207.
- 27 1 22 27 180.
- 29 2 24 58 260.
- 30 1 25 30 108.
- 32 1 26 32 70.
- 36 1 27 36 19.536
