PRec MAP2121 2009, Provas de Engenharia Informática

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MAP 2121 - CÁLCULO NUMÉRICO (POLI) Prova de Recuperação - 04/02/2010 - Duração: 2 horas Questão 1 (2.5 pontos) Considere a função f(x) = x — esen(z) — yu onde e e | são constantes tais que 0 < e< ley >0. a) Mostre que f tem uma única raiz real £, e que 7 E [4 —2e,u+2c]; b) mostre que &(x) = csen(x) —p pode ser usada para aproximar Z por aproximações sucessivas, com qualquer xo real; €) aproxime Z a partir de xo = 1 com precisão 0,001, quando e = 0.1 eu=12. Questão 2 (2.5 pontos) A órbita de um cometa no sistema solar descreve uma elipse ou uma hipérbole, segundo a primeira lei de Kepler. Em um sistema conveniente de coordenadas polares (r, 0), stas satisfazem a equação p r=— E — 1-e cos0” once p é um parâmetro e c é a excentricidade. A partir das observações (com 9 medido em graus) rj27 2 161 12 1.02 0/48º 67º 83º 108º 126º" estime p e e usando um método de mínimos quadrados discreto. Questão 3 (2.5 pontos) Considere os polinômios po(x) = 12(1-2)/2, pi(x) = e(1-22),po(r)=1-22, plz) =2(1+2)/2. a) Verifique qual é o valor destes polinômios nos pontos ay = —1,x =0e 22 = 1, bem como qual é o valor de suas derivadas no ponto 24. b) Determine um polinômio de grau menor ou igual a 3 tal que p(z;) = J(z;),i=0,..,2€ p'(z1) = F(x1), onde f(2) — sen(re). Questão 4 (2.5 pontos) Determine o polinômio de grau menor ou igual a 1 que melhor aproxima f(x) = e?” segundo o MMQ em relação ao produto interno < f,g >= ú Ha)g(z) dz. O lado direito do sistema resultante deve ser avaliado com erro inferior a 10-2 com auxílio do método dos n- trapézios (utilize o menor n de forma a garantir a precisão desejada segundo a estimativa de erro). A resolução do sistema deve ser feita por eliminação de Gauss, trabalhando com 2 significativos. Erro com n trapézios: |E| < maya 1"(x)|(b — a)h?/12.