P2 - 2011 - Map2121, Notas de estudo de Engenharia Civil

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Gabarito

P2-2011 - MAP

NÃO-oficial, NÃO revisada

RAFAEL OLIVEIRA

[email protected]

Enunciados

Questão 1 (2.5 pontos)

Considere o sistema linear sobredeterminado    

x 1 x 2 x 3

a)(1.0 ponto): Qual sistema linear se obtém ao resolvê-lo pelo MMQ (correspondente ao cálculo da projeção ortogonal do lado direito do sistema no espaço gerado pelos 3 vetores formados pelas colunas da matriz) b)(0.5): O sistema resultante pode ser resolvido por Gauss-Seidel? c) (1.0): Resolva-o por eliminação de Gauss com 2 significativos e condensação pivotal.

Questão 2 (2.5 pontos)

Resolvendo-se pelo sistema linear  

x 1 x 2 x 3

pelo método de eliminação de Gauss com 3 significativos obtém-se a solução x = (0.0770,-0.0771,0.461) a)(0.5 ponto): Qual sistema linear deve ser resolvido no primeiro passo de refinamento da solução? b)(0. ponto): Mostre que o sistema obtido pode ser resolvido por Gauss-Seidel. c)(1.5 ponto): Calcule com 3 significativos um passo de Gauss-Seidel a partir da aproximação nula e delimite o erro no cálculo da correção.

Questão 3 (2.5 pontos)

A tabela x 1 2 3 4 5 y 102 91 70 39 2

foi gerada a partir de medidas da posição de um objeto arremessado do alto de um edifício, onde y é a altura do objeto em metros e x é sua distância ao edifício na direção horizontal. a)(2.0 pontos) Use o método dos mínimos quadrados para estimar a trajetória (suponha um movimento uniformemente acelerado sob a ação de g = 10 m/s ). b)(0.5 ponto) Que estimativa se obtém para a altura do edifício e para a velocidade de lançamento do objeto? Sugestão: use y ( x ) = a + b ( x − 3) + c ( x − 3)^2 para simplificar as contas.

Questão 4 (2.5 pontos)

Aproxime g ( x ) = 1 + x^2 por uma função do tipo (^) 1+ abx no intervalo [0 , 1] por um método de MMQ

linearizado (com o produto interno < f, g > =

0 f^ ( x ) g ( x ) dx ).

r (0)^ =

6 × 0. 0770 + 0. 0771 + 0. 461

2 × 0. 0770 + 5 × 0. 0771 + 0. 461

2 × 0. 0770 − 0. 0771 + 2 × 0. 0461

r (0)^ =

a) Sistema a resolver:  

c (0) 1 c (0) 2 c (0) 3

b) Critério de linhas 6 > 1 + 1X 5 > 2 + 1X 2 > 2 + 1 FAIL → Critério de linhas não garante a convergência!

Critério de Sassenfeld

β 1 =

β 2 =

β 3 =

B = maxβi = 1 / 2 < 1 X

Pelo critério de Sassenfeld, ceonverge por Gauss-Seidel.

c) Cálculo de uma iteração pelo método de Gauss-Seidel

x (0)^ = (0 , 0 , 0)

x (1) 1 =

(− 0. 001) = − 1. 67 × 10 −^5

x (1) 2 =

(− 0. 005 − 2(− 1. 67 × 10 −^5 ) = − 0. 00497 / 5 = − 0. 000994

x (1) 3 =

(0. 0011 − 2(− 1. 67 × 10 −^5 − 1(− 0. 000994))

x (1) 3 =

(0. 0011 − 3. 34 × 10 −^5 + 0. 000994) = 0. 00103

x (1)^ = (− 1_._ 67 × 10 −^5 , − 9_._ 94 × 10 −^4 , 1_._ 03 × 10 −^3 )

O erro é ∆ x = 1_._ 03 × 10 −^3

Questão 3

x 1 2 3 4 5 y 102 91 70 39 2 x − 3 − 2 − 1 0 1 2 ( x − 3)^2 4 1 0 1

Faremos o MMQ para obter os coeficientes da equação:

y ( x ) = a + b ( x − 3) + c ( x − 3)^2

1 x − 3 ( x − 3)^2 1 < 1 , 1 > < 1 , x − 3 > < 1 , ( x − 3)^2 > x − 3 < x − 3 , 1 > < x − 3 , x − 3 > < x − 3 , ( x − 3)^2 > ( x − 3)^2 < ( x − 3)^2 , 1 > < ( x − 3)^2 , x − 3 > < ( x − 3)^2 , ( x − 3)^2 >

a b c

y < 1 , y > < x − 3 , y > < ( x − 3)^2 , y >

Obtendo assim o sitema: (^) 



cuja solução é a = 69_._ 66 , b = − 25_._ 20 e c = − 4_._ 429 Da Cinemática de Ensino Médio, temos que, considerando x 0 = 0:

y = y 0 +

v 0 y vx

x −

g 2 vx

x^2

E nós temos que, em função de nossos coeficientes,

y = ( a − 3 b + 9 c ) + ( b − 6 c ) x + cx^2

Logo...

y 0 = a − 3 b + 9 c = 105_._ 4 m , vx =

− g 2 c

= 1_._ 063 m/s e v 0 y = vx ( b − 6 c ) = 1_._ 461 m/s

E com isso temos que o módulo da velocidade inicial é v 0 =

1_._ 0632 + 1_._ 4612 = 1_._ 807 m/s

Questão 4

g ( x ) = a 1 + bx

o que implica que

g ( x )

a

b a

x

Temos então h ( x ) =

g ( x )

= c 0 + c 1 x

( < 1 , 1 > < 1 , x > < 1 , h > < x, 1 > < x, x > < x, h >

0 1 dx^ = 1 < 1 , x > = < x, 1 > =

0 xdx^ =^

< x, x > =

0 x

(^2) dx = 1 / 3

< 1 , h > =

0

1 + x^2

dx = arctg (1) = π/ 4

< x, h > =

0

x 1 + x^2

dx = ln^2 / 2 ( 1 1 / 2 π^ / 4 (^1) / 3 1 / 3 ln (^2) / 2

Obtendo assim c 0 = 1_._ 062 e c 1 = − 0_._ 554

como a =

c 0

= 0_._ 9416 e b = ac 1 = − 0_._ 5217 , a solução é:

g ( x ) =

1 − 0_._ 5217 x

Nota do autor: esse arquivo foi feito em LATEX, se você estiver interessado, pode pedir o arquivo .tex que envio por email.