probabilidade 1 - nota 3, Slides de Probabilidade

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Probabilidade I

PROFESSORA: LARISSA ALVES

Probabilidade Condicional ➢ Exemplo 3. 1 : Considere o lançamento de 2 dados equilibrados. (a) Qual a probabilidade da soma ser 3? (b) Qual a probabilidade da soma ser 3 dado que a soma foi ímpar? ➢ Definição 3. 1 : A probabilidade condicional do evento 𝐴 dada a ocorrência do evento 𝐵 é: 𝑃 𝐴 𝐵 =

Probabilidade Condicional ➢ Exercício 3. 2 : Um baralho tem 52 cartas, extrai-se uma ao acaso. Defina os eventos 𝐶 =“carta é de copas” e 𝑅 =“carta é um rei”. Calcule 𝑃 𝐶 , 𝑃 𝑅 , 𝑃( )

➢ Exercício 3. 3 : De um total de 500 empregados, 200 possuem plano pessoal de aposentadoria complementar, 400 contam com o plano de aposentadoria complementar oferecido pela empresa e 200 empregados possuem ambos os planos. Sorteia-se aleatoriamente um empregado dessa empresa. (a) Qual é a probabilidade de que ele tenha algum plano de aposentadoria complementar? (b) Qual é a probabilidade de que ele não tenha qualquer plano de aposentadoria complementar (AC)?

Probabilidade Condicional (c) Se o empregado conta com o plano de AC oferecido pela empresa, qual é a probabilidade de que ele tenha plano pessoal de AC? (d) Se o empregado tem o plano pessoal de AC, qual é a probabilidade de que ele conte com o plano de AC da empresa?

Probabilidade Condicional como lei de probabilidade ➢ Sendo a probabilidade condicional uma lei de probabilidade, todas as propriedades vistas anteriormente, que eram consequências dos axiomas, valem também para a probabilidade condicional. (PC 1 ) 𝑃 ∅ 𝐵 = 0 (PC 2 ) 𝑃 𝐴 𝑐 𝐵 = 1 − 𝑃 𝐴 𝐵 (PC 3 ) 𝑃 𝐴 1 − 𝐴 2 𝐵 = 𝑃 𝐴 1 𝐵 − 𝑃 𝐴 1 ∩ 𝐴 2 𝐵 (PC 4 ) 𝑃 𝐴 1 ∪ 𝐴 2 𝐵 = 𝑃 𝐴 1 𝐵 + 𝑃 𝐴 2 𝐵 − 𝑃 𝐴 1 ∩ 𝐴 2 𝐵 (PC 5 ) Se 𝐴 1 ⊂ 𝐴 2 então 𝑃 𝐴 1 𝐵 ≤ 𝑃 𝐴 2 𝐵 (PC 6 ) 𝑃 𝐴 𝐵 ≤ 1 Demonstração: Para Casa

Regra da Multiplicação ➢ Sejam 𝐴 e 𝐵 eventos de um espaço amostral Ω. Então 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐴 ➢ Exercício 3. 4 : Uma urna contém 10 bolas, sendo 6 azuis e 4 vermelhas. Retira-se ao acaso uma bola da urna e em seguida, uma segunda bola. Qual a probabilidade de que as bolas retiradas sejam iguais?

Extensão da Regra da Multiplicação ➢ Considere 𝑛 eventos, 𝐴 1 , 𝐴 2 , … , 𝐴𝑛 tais que 𝑃 𝐴 1 ∩ 𝐴 2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛 > 0. Então, 𝑃 ሩ 𝑖= 1 𝑛 𝐴𝑖 = 𝑃 𝐴 1 𝑃 𝐴 2 𝐴 1 𝑃 𝐴 3 𝐴 1 ∩ 𝐴 2 … 𝑃 𝐴𝑛 ځ 𝑖= 1 𝑛− 1 𝐴𝑖. ➢ Exercício 3. 6 : Se no Exercício 3. 4 retirarmos 4 bolas em vez de duas bolas, calcule a probabilidade das 4 cores obtidas serem iguais.

Independência de eventos ➢ Exemplo 3. 2 : Considere um baralho usual, com 52 cartas do qual será retirada uma carta. Vamos definir os seguintes eventos: 𝐶 = "carta de copas" 𝑅 = "carta é um rei" 𝑉 = "carta é vermelha" Temos que 𝑃 𝐶 = 13 52

1 4

4 52

1 13 e 𝑃 𝑉 = 26 52

1 2

➢ Calcule agora 𝑃(𝑅|𝐶) e 𝑃 𝑉 𝐶.

Independência de eventos ➢ Definição 3. 2 : Sejam 𝐴 e 𝐵 eventos de um espaço amostral Ω. Então, 𝐴 e 𝐵 são independentes se 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 ➢ Observação: Se 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 ⇒ 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐵 (comutatividade) ➢ Essa definição implica que: 𝑃 𝐴 𝐵 =

➢ Portanto, se 𝐴 e 𝐵 são independentes ⇒ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵

Independência de eventos ➢ A volta também vale: 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 ⇒ 𝐴 e 𝐵 são independentes ➢ Definição 3. 3 : Diremos que três eventos 𝐴, 𝐵 e C são mutuamente independentes se, e somente se, todas as condições seguintes forem válidas: 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐶 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 ➢ Esta definição pode ser generalizada para 𝑛 eventos.

Independência de eventos ➢ Exercício 3. 9 (Para Casa): Sejam 𝐴 e 𝐵 eventos de um espaço amostral Ω tais que 𝑃 𝐴 > 0 e 𝑃 𝐵 > 0. (a) Mostre que se 𝐴 e 𝐵 são independentes, então 𝐴 e 𝐵 não podem ser mutuamente exclusivos. (b) Mostre que se 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos, então 𝐴 e 𝐵 não podem ser independentes.

Teorema da probabilidade total ➢ Considere a figura abaixo onde 𝐴 1 , 𝐴 2 , … , 𝐴𝑛 é uma partição do espaço amostral Ω e 𝐵 é um evento qualquer em Ω. Como 𝐴 1 ∪ 𝐴 2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛 = Ω, temos 𝐵 = 𝐴 1 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴 2 ∩ 𝐵 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛 ∩ 𝐵

Teorema da probabilidade total ➢ Teorema 3. 1 : Teorema da probabilidade total Seja 𝐴 1 , 𝐴 2 , … , 𝐴𝑛 uma partição do espaço amostral Ω e seja 𝐵 um evento qualquer em Ω. Então, 𝑃 𝐵 = ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝑃 𝐴𝑖 𝑃 𝐵 𝐴𝑖 ➢ A probabilidade 𝑃 𝐴𝑖 é denominada probabilidade a priori de 𝐴𝑖. ➢ Suponha agora que 𝐵 tenha ocorrido. Use essa informação para calcular a probabilidade a posteriori de 𝐴𝑖, ou seja, vamos calcular 𝑃 𝐴𝑖 𝐵.

Teorema de Bayes ➢ Por definição, 𝑃 𝐴𝑖 𝐵 =

➢ Usando a regra da multiplicação e o teorema da probabilidade total tem-se: 𝑃 𝐴𝑖 𝐵 =

σ 𝑗= 1 𝑛 𝑃 𝐴𝑗 𝑃(𝐵|𝐴𝑗) ➢ Esse resultado é conhecido como teorema de Bayes.