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JMPSouza, DPBergamaschi 2017
e Noções de probabilidade e distribuição Binomial
PROBABILIDADE
É UMA AFIRMAÇÃO NUMÉRICA SOBRE A POSSIBI-
LIDADE DE QUE ALGUM EVENTO OCORRA.
QUANTIFICA O GRAU DE POSSIBILIDADE DA
OCORRÊNCIA DO EVENTO, VARIANDO DE 0 (0%) A
UM EVENTO IMPOSSÍVEL DE OCORRER TEM PRO-
BABILIDADE 0 (ZERO).
UM EVENTO CERTO DE OCORRER TEM PROBABI-
LIDADE 1(UM).
QUANDO SE JOGA UMA MOEDA, NÃO SE SABE SE
VAI SAIR CARA. MAS SABE-SE QUE A PROBABILI-
DADE DE SAIR CARA É 0,5= 50%= 1/2.
A PROBABILIDADE DE SE OBTER UMA CARTA COM
O NAIPE OUROS É 0,25= 25%= 1/4.
DIZER QUE A EFICÁCIA DE UMA VACINA É 70%
CORRESPONDE A DIZER QUE CADA INDIVÍDUO
VACINADO TEM PROBABILIDADE 0,7 DE FICAR
IMUNE.
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PROBABILIDADE EM ESPAÇOS FINITOS CONTÁVEIS
ESPAÇO AMOSTRAL
É O CONJUNTO DE TODOS OS RE-
SULTADOS POSSÍVEIS DE UM EX-
PERIMENTO.
NO LANÇAMENTO DE UMA MOEDA,
O ESPAÇO AMOSTRAL É O SEGUIN-
TE:
CARA COROA
HÁ DOIS PONTOS NESSE ESPAÇO AMOS-
TRAL, SENDO UM FAVORÁVEL AO EVENTO
CARA.
A PROBABILIDADE DE SAIR CARA É O
QUOCIENTE:
NUMERO DE PONTOS CARA 1
NUMERO TOTAL DE PONTOS 2
PROBABILIDADE(OUROS):
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PROBABILIDADE DE EVENTOS
INDEPENDENTES
OS EVENTOS “A” E “B” SÃO INDEPENDENTES
QUANDO O RESULTADO DE UM NÃO INFLUI NO
RESULTADO DO OUTRO. O RESULTADO DE UMA
MOEDA, NO LANÇAMENTO SIMULTÂNEO DE DUAS
MOEDAS, NÃO INTERFERE NO RESULTADO DA
OUTRA.
A PROBABILIDADE DA OCORRÊNCIA DE EVENTOS
INDEPENDENTES “A” E “B” É O PRODUTO DE S U-
AS PROBABILIDADES.
P(“A” E “B”)= P(“A”) x P(“B”) P(“FACE 2 no primeiro dado” E “FACE 3 no segundo dado”) NO LANÇAMENTO SEQÜENCIAL DE DOIS DADOS= P(2 E 3) = P(2)xP(3)= 1/6 x 1/6= 1/36= 0,0278= 2,78%. NO LANÇAMENTO DE DOIS DADOS, QUAL É A PROBABILIDADE DE ““SAIR 2 NO 1º DADO E 3 NO 2º” OU “SAIR 3 NO 1º DADO E 2 NO 2º””? NO LANÇAMENTO DE DOIS DADOS, QUAL É A PROBABILIDADE DE ““SAIR 2 OU 3 NO 1º DADO” E “SAIR 3 OU 2 NO 2º DADO””?
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ESPAÇO AMOSTRAL NO LANÇAMENTO DE DOIS
DADOS
DADO 1
DADO 2 1 2 3 4 5 6
1 ^
2 ^ ^ ^ ^ ^
3 ^ ^ ^ ^ ^
4 ^
5 ^
6 ^
{P(2)xP(3)}+{P(3)xP(2)}= 1/36+1/36= 2/36= 1/
DADO 1
DADO 2 1 2 3 4 5 6
1 ^
2 ^ ^ ^ ^ ^
3 ^ ^ ^ ^ ^
4 ^
5 ^
6 ^
{P(2)+P(3)}x{P(3)+P(2)}= 2/6x2/6= 4/36= 1/
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VARIÁVEL ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
VARIÁVEL ALEATÓRIA É QUALQUER FUNÇÃO
DE NÚMERO REAL, DEFINIDA NO ESPAÇO
AMOSTRAL.
NO LANÇAMENTO DE 1 MOEDA, “ Nº DE CA-
RAS ” É UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA.
NO LANÇAMENTO DE 10 MOEDAS (OU DE
UMA MOEDA 10 VEZES), “ Nº DE CARAS ”
TAMBÉM É UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA.
NO LANÇAMENTO DE 10 MOEDAS, A V.A. Nº
DE CARAS PODE ASSUMIR OS VALORES 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, QUE SÃO RESULTADOS
MUTUAMENTE EXCLUDENTES.
A PROBABILIDADE DE CARA EM CADA MOE-
DA É 0,5: P(CARA)= 0,5= 1/2.
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O PARTICULAR RESULTADO DE CADA MOE-
DA É INDEPENDENTE DO RESULTADO DE
CADA UMA DAS OUTRAS NOVE, NO LANÇA-
MENTO DA MOEDA 10 VEZES.
É POSSÍVEL CALCULAR AS PROBABILIDADES
DOS ONZE RESULTADOS POSSÍVEIS DA VA-
RIÁVEL ALEATÓRIA EM QUESTÃO.
O CONJUNTO DOS VALORES DA VARIÁVEL
ALEATÓRIA E DAS PROBABILIDADES OBTI-
DAS DEFINE UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBA-
BILIDADES, NESTE CASO A DISTRIBUIÇÃO DE
PROBABILIDADES BINOMIAL, POIS O RESUL-
TADO PARA CADA MOEDA É UM, EM DOIS
POSSÍVEIS.
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Graficamente:
Exemplo 2: Uma droga cura 15% dos pacientes. Administra-se a droga a um paciente. Qual a probabilidade do paciente ficar curado? Qual a probabilidade do paciente não ficar curado? X: 0,1 (X será 0 se o paciente não se curar e 1 se houver cu- ra)
P(X=1) =p(1)=p= 0,15 ; P(X=0) =p(0)= q=0,
0
0,
0,
0,
0,
1
0 1 x
p(x)
p=0,
0
0,
0,
0,
0,
1
(^0 1) x
p(x)
p=0,
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Os exemplos pertencem a mesma família de distribuições, mas têm parâmetros diferentes.
A distribuição de Bernoulli pode ser escrita como P(X=1) = p(1)=p e P(X=0) =p(0) =1-p; ou, de forma mais genérica,
p( x)px^ ( 1 p)^1 x , x=0, Isto significa que para x=0, p(^0 )^ P(X^0 )p^0 (^1 p)^1 ^0 ^1 p ,
para x=1, p(^1 )^ P(X^1 )p^1 (^1 p)^1 ^1 p
Resumindo,
Modelo de probabilidade Bernoulli
Uma variável aleatória discreta X que pode assumir valores 0 e 1, com função de probabilidade dada por
p( x)px^ ( 1 p)^1 x
, x=0, segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro p , 0<p<1.
p é a probabilidade de obter o resultado X=
Isto pode ser escrito como X~Bernoulli(p).
O símbolo ~ lê-se “tem distribuição”
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Média de uma variável aleatória discreta: ^ E(X)x xp(x^ )
Na distribuição de Bernoulli:
E( X) xp(x) 1 p(x 1 ) 0 p(x 0 ) p x
Média da distribuição Bernoulli é p (probabilidade de ocor- rer o sucesso)
Variância de uma variável aleatória discreta:
x
(^2) V(X) E[(X ) (^2) ] (x ) (^2) p(x)
Desvio padrão: SD(X)^ V(X)
Desvio padrão da distribuição Bernoulli é
( 0 p)^2 .p(x 0 )( 1 p)^2 .p(x 1 ) =
( p)^2 .( 1 p)( 1 p)^2 p ( 1 p)p(p( 1 p)) p( 1 p) pq
Resumindo: Distribuição Bernoulli possui média p e
desvio padrão p(^1 p)
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Distribuição binomial: Soma de n distribuições Bernoulli
População: 2 categorias Ex: sexo (masculino, feminino), faces de uma moeda (cara, coroa), desfecho de um tratamento (cura, não cura)
Lançamento de uma moeda
p+q= 1 q= 1 - p
Coroa(C) probabilidade(C)=q
Cara(K) probabilidade(K)=p
p = probabilidade de sucesso; q= probabilidade de fracasso
Realiza-se o experimento n vezes, onde cada ensaio é inde- pendente do outro e os resultados são mutuamente exclusi- vos.
X: Número de vezes que sai cara
A moeda é lançada uma vez (n=1) X: 0, X resultado P(X=x) 0 C P(X=0) = q 1 K P(X=1) = p
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Probabilidade (X=x) é calculada pelo produto de 3 fatores:
1 o^ - número (combinação de n elementos combinados x a x)
2 o^ - probabilidade de sucesso elevado a um expoente (valor de x)
3 o^ - probabilidade de fracasso elevado a um expoente (valor de n-x)
x n x pxqn x x n x
n p q x
n P X x
!( )!
! ( )
Resumindo Modelo de probabilidade Binomial
Seja E um experimento com 2 resultados (mutuamente exclusivos): S (sucesso) e F (fracasso) p = probabilidade de ocorrência de S q= probabilidade de ocorrência de F p+q=
Se E for repetido n vezes, de forma independente, mantendo-se p e q, a probabilidade da variável aleatória X= número de vezes que S ocorre é dada por
P X ( x ) (^) x !( n n ! x )! p qx^ n^^ x
X~B(n,p) onde n e p são os parâmetros da distribuição. média = m = n.p , variância = n.p.q desvio padrão = npq
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Exemplo:
n= número de ensaios (nº de lançamentos)= 10
X= variável aleatória (nº de caras)
x= resultado particular de X (0, 1, 2, ...)
p= probabilidade do evento elementar
[(P(cara)]= 0,
x n x p p x
n P X x
^
( ) ( 1 )
Distribuição de probabilidade B(n=10; p=0,5)
X= nº de caras P(X=x)
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0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
probabilidade
nº de caras
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Exemplo UM PROGRAMA DE INCENTIVO À AMAMENTAÇÃO EXCLUSIVA AO SEIO NOS PRIMEIROS 3 MESES ESTÁ SENDO EXECU- TADO EM UM HOSPITAL UNIVERSITÁRIO. A EFICÁCIA DO PROGRAMA É DE = 60%. PARA UMA AMOSTRA n DE 20 MÃES QUE DERAM À LUZ NESTE HOSPITAL, A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DA VARIÁVEL ALEATÓRIA nº de mães amamentando ex- clusivamente ao seio É A SEGUINTE:
X= nº de mães amamentando P(X=x|p=0,6) 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 ,
