Probabilidade 2 (ensaio de bernoulli), Slides de Probabilidade

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Probabilidade 2

Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela,

Instituto de Qu´ımica - UNESP Araraquara, SP [email protected]

Araraquara, SP - 2019

Ensaio de Bernoulli

Um ensaio de Bernoulli tem somente dois resultados aleat´orios poss´ıveis: Sucesso (X = 1) com probabilidade p Fracasso (X = 0) com probabilidade 1 − p

Experimento binomial

Sequˆencia de n experimentos menores (ensaios de Bernoulli) Os ensaios s˜ao independentes A probabilidade de sucesso p=P(S) ´e constante

Vari´avel aleat´oria binomial

A v.a. binomial X associada a um experimento binomial formado por n ensaios ´e definida por

X= quantidade de sucessos (S) entre os n ensaios

Para n = 3 tem-se 8 resultados poss´ıveis

SSS, SSF , SFS, SFF , FSS, FSF , FFS, FFF

X (SSS) = 3, X (SSF ) = 2, · · · , X (FFS) = 1, X (FFF ) = 0

Triˆangulo de Pascal

Distribui¸c˜ao binomial

Caso n=3: P(X = k) = b(k; 3, p)

P(X = k) =

k

pk^ (1 − p)^3 −k^ =

k!(3 − k)! pk^ (1 − p)^3 −k

Caso geral: P(X = k) = b(k; n, p)

P(X = k) =

n k

pk^ (1 − p)n−k^ , k = 0, 1 , 2 , · · · , n

0 caso contr´ario

Se X ∼ B(n, p), ent˜ao ´e poss´ıvel mostrar que

M´edia e variˆancia da distribui¸c˜ao binomial B(n, p)

E (X ) = μX = np e Var (X ) = σ X^2 = np(1 − p)

Demonstra¸c˜ao opcional nos Apˆendice A1 e A

Exemplo 2

Se 75% de todas as compras de uma determinada loja forem reali- zadas com cart˜ao de cr´edito e X for a quantidade de compras pagas com cart˜ao de cr´edito entre 10 compras selecionadas aleatoriamente, ent˜ao X ∼ B(10, 0 .75). Ent˜ao

X = (10)(0.75) = 7. 5 e sX =

P(7. 5 − sx ≤ X ≤ 7 .5 + sx ) = P(6. 13 ≤ X ≤ 8 .87)

= P(X = 7) + P(X = 8) = 0.250 + 0.282 = 0. 532

M´edia e variˆancia da distribui¸c˜ao de Poisson

E poss´^ ´ ıvel mostrar que M´edia e variˆancia da distribui¸c˜ao de Poisson

E (X ) = μX = V (X ) = σ^2 X = μ

Demonstra¸c˜ao opcional nos Apˆendice B1 e B Observe que:

eμ^ = 1 + μ + μ^2 2!

μ^3 3!

∑^ ∞

k=

μk k! ⇒ e−μeμ^ =

∑^ ∞

k=

e−μμk k!

∑^ ∞

k=

e−μμk k!

Distribui¸c˜ao de Poisson como um limite da Binomial

Se n → ∞ e p → 0 na distribui¸c˜ao binomial, ent˜ao

b(x; n, p) → p(x; μ), onde μ = np.

Como regra pr´atica podemos considerar que essa aproxima¸c˜ao ´e v´alida para n > 50 e np < 5.

Processo de Poisson

Todas as v.a.’s s˜ao fun¸c˜oes do tempo cont´ınuo. Conta o n´umero de eventos de interesse at´e um determinado tempo.

Num intervalo de tempo curto ∆t a probabilidade de ocorrer um evento ´e proporcional a ∆t. A probabilidade de dois ou mais eventos ocorrerem em um mesmo intervalo ∆t ´e desprez´ıvel. As ocorrˆencias de eventos em intervalos ∆t 1 e ∆t 2 mutuamente exclusivos s˜ao independentes. A probabilidade de k eventos serem observados em um determinado tempo de dura¸c˜ao t ´e

p(k, αt) = e−αt^ (αt)k k!

Observa¸c˜oes sobre processos de Poisson

O n´umero esperado de eventos durante qualquer um dado in- tervalo de tempo de dura¸c˜ao ser´a μ = αt. O n´umero de eventos esperados em uma unidade de tempo ser´a α (taxa do processo). Grande quantidade de “eventos” separados e distintos ocor- rendo em um “espa¸co de eventos” cont´ınuo. O “espa¸co” cont´ınuo pode ser, por exemplo, o volume de ´agua do reservat´orio de uma cidade e os “eventos” podem ser a existˆencia de bact´erias coliformes dentro deste volume de ´agua.

Exemplo 5

Sabe-se que existem bact´erias coliformes no reservat´orio de ´agua de uma cidade a uma taxa de α = 2 bact´erias por cm^3 de ´agua. A presen¸ca da bact´eria coliforme em uma amostra desta ´agua ´e um Processo de Poisson, isto ´e, um evento ´e a ocorrˆencia de uma ´unica bact´eria e o espa¸co cont´ınuo ´e o volume de ´agua envolvido. Se uma amostra de 9 cm^3 de ´agua ´e retirada do reservat´orio, qual ´e a pro- babilidade da amostra conter exatamente 20 bact´erias coliformes?

t = 9 cm^3 , α = 2 bact´erias/cm^3 e k = 20 bact´erias

p(20, 18) = e−^18

Exemplo 6

As falhas que ocorrem em um certo tipo de motor obedecem aproxi- madamente a um processo de Poisson tendo em m´edia uma falha a cada 1000 horas de opera¸c˜ao. Qual ´e a probabilidade de um desses motores funcionar 1500 horas sem uma falha? Taxa de processo: α = 1/1000 falhas por hora Existem k = 0 falhas no intervalo de tempo at´e 1500 horas Se T for o tempo de espera at´e que ocorra a primeira falha, ent˜ao estamos interessados em P(T > 1500)

P(T > 1500) = p

= e−^ (^32)

2

= e−^ (^32) ≈ 0. 22