Probabilidade: Cálculo, Variáveis Aleatórias e Processos, Resumos de Probabilidade

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IFBA

Probabilidade, Estat´ıstica e Processos Estoc´asticos

Vers˜ao 4

Allan de Sousa Soares

Edson Patr´ıcio Barreto de Almeida

Vit´oria da Conquista - BA

Introdu¸c˜ao

Quem ir´a vencer a elei¸c˜ao para pesidente em 2018? Qual a taxa de infla¸c˜ao incidiu nos elementos da cesta b´asica na cidade de Vit´oria da Conquista e imedia¸c˜oes em 2016? Qual a correla¸c˜ao entre o peso e a altura em um grupo de indiv´ıduos? E bastante comum nos de-´ pararmos com questionamentos como esses. Para responder a essas perguntas utilizaremos a estat´ıstica, uma ciˆencia exata que visa fornecer subs´ıdios para a coleta, organiza¸c˜ao e inter- preta¸c˜ao de dados. Mais ainda, por meio da estat´ıstica, somos capazes de responder a tais perguntas observando somente uma pequena parcela da popula¸c˜ao envolvida ao inv´es de toda ela. Tal caracter´ıstica nos permite economizar tempo e poupar gastos, uma vez que a coleta e an´alise de poucos dados pode ser feita de maneira relativamente r´apida e menos custosa quando comparamos com a totalidade da popula¸c˜ao. Na confec¸c˜ao dessa apostila tivemos o cuidado de escolher exemplos que propiciam ao leitor uma melhor compreens˜ao das no¸c˜oes estat´ısticas. Al´em dos exerc´ıcios vistos em cada cap´ıtulo apresentamos quatro listas com ainda mais exerc´ıcios para que o leitor possa treinar e os conceitos apreendidos. Ao final dos cap´ıtulos e das listas de exerc´ıcios inclu´ımos as solu¸c˜oes completas de todos os exerc´ıcios. Esperamos que o leitor tente fazer todos eles para adquirir familiaridade com as f´ormulas e conceitos abordados. As solu¸c˜oes o ajudar´a a perceber os erros que esteja cometendo, sejam erros nos c´alculos, por falta de aten¸c˜ao, seja erros de cunho mais te´orico sendo necess´ario, ´as vezes, voltar e ler a teoria novamente. N˜ao deixe a recorrˆencia ao solucion´ario se tornar um h´abito. Tente algumas vezes, tente outros caminhos e se nada der certo procurare um amigo ou professor para ajud´a-lo. Al´em de contar com uma boa quatidade de exerc´ıcios resolvidos de maneira corriqueira (lapis e borracha) buscamos dar certo enfoque aos mais diversos recursos computacionais a que temos disposi¸c˜ao atualmente. Tais recursos facilitam significativamente c´alculos morosos al´em de possibilitarem certa agilidade na interpreta¸c˜ao de resultados. Ao longo do texto apresentamos a solu¸c˜ao computacional de alguns exerc´ıcios e comprova¸c˜ao da teoria por meio de simula¸c˜oes que convergem para a resposta esperada (aquela conseguida por meio te´orico). Os principais recursos utilizados foram: Excel, Octave, SPSS, Wolfram Alpha (plataforma virtual) e Winplot.

desacertos que ser˜ao corrigidos ao longo do tempo, mais ou menos como um joalheiro que lapida uma pedra bruta transformando-a numa bela j´oia.

Sum´ario

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao `a Teoria das Probabilidades

1.1 O Conceito de Probabilidade

Ao estudarmos fenˆomenos de observa¸c˜ao devemos buscar estabelecer um modelo matem´atico que melhor o explique. Tais fenˆomenos podem ser de dois tipos: determin´ısticos ou proba- bil´ısticos.

Defini¸c˜ao 1.1.1. Fenˆomenos determin´ıticos s˜ao aqueles cujo resultado final costuma se repetir quando mantidas as condi¸c˜oes iniciais de experimenta¸c˜ao.

Exemplo 1.1.2. O tempo de queda de um objeto, no v´acuo, ´e um exemplo t´ıpico de fenˆomeno determin´ıstico. Considerando h 0 sendo a altura inicial, v 0 a velocidade inicial, g a gravidade local e t o tempo, conhecemos o seguinte modelo:

h = h 0 + v 0 t − g t

2 2

Ele nos fornece as diversas alturas de um objeto ao longo do tempo.

Observa¸c˜ao 1.1.3. Por exemplo, se considerarmos o tempo de queda de um objeto em certo local do planeta terra, teremos algumas vari´aveis extras, a citar, por exemplo a resistˆencia do ar. Para piorar, em casos onde haja ventos de intensidade bastante vari´avel, fica quase im- poss´ıvel prevermos o tempo de queda de um objeto. Contudo, ao final do estudo deste material poderemos ter uma boa estimativa deste tempo com base em observa¸c˜oes experimentais.

Defini¸c˜ao 1.1.4. Fenˆomenos probabil´ısticos s˜ao aqueles cujo resultado pode variar entre uma observa¸c˜ao e outra, mesmo mantidas todas as condi¸c˜oes iniciais de experimenta¸c˜ao.

Exemplo 1.1.5. O resultado obtido no lan¸camento de um dado honesto ´e um bom exemplo de fenˆomeno determin´ıstico. Mesmo jogando-se o dado de maneira semelhante, n˜ao somos capazes de prever o resultado. Apenas sabemos as possibilidades e at´e mesmo as chances de cada uma das faces aparecer e s´o isso.

1.2 Espa¸co Amostral e Evento

O estudo de um fenˆomeno aleat´orio exige que saibamos o conjunto de todos os resultados poss´ıveis. Isto nos motiva a darmos a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸c˜ao 1.2.1. Para cada experimento aleat´orio E, define-se o espa¸co amostral S como sendo o conjunto de todos os poss´ıveis resultados desse experimento.

Exemplo 1.2.2. Na jogada de um dado temos o seguinte espa¸co amostral:

S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.

Observe que trata-se de um espa¸co amostral finito.

Exemplo 1.2.3. Imagine que jogemos um dado at´e que a primeira face 6 ocorra. Neste caso, o espa¸co amostral ´e dado por S = { 6 , 16 , 26 , 36 , ..., 116 , ..., 256 , ...}. Observe que trata-se de um espa¸co amostral infinito.

Defini¸c˜ao 1.2.4. Um evento ´e um conjunto de resultados de um experimento aleat´orio, em termos de conjuntos, ´e um subconjunto de S. Em particular, S e ∅ s˜ao eventos; S ´e dito evento certo e ∅ ´e o evento imposs´ıvel.

Usando-se as opera¸c˜oes entre conjuntos damos origem a novos eventos. A ∪ B ⇒ ´e o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre, ou ambos ocorrem. A ∩ B ⇒ ´e o evento que ocorre se A e B ocorrem simultaneamente. A ´e o evento que ocorre se A n˜ao ocorre.

Exemplo 1.2.5. Considere o experimento aleat´orio E: jogar uma moeda trˆes vezes e observar os resultados. Neste caso,

S = {(ca, ca, ca), (ca, ca, co), (ca, co, ca), ..., (co, co, co)}.

Em particular, o evento A: ocorrer pelo menos 2 faces cara ´e dado por:

A = {(ca, ca, co), (ca, co, ca), (co, ca, ca), (co, co, co)}.

Exemplo 1.3.7. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos ´e 34. Determine a probabilidade de que esta mulher n˜ao esteja viva daqui a 30 anos. Solu¸c˜ao: Consideremos os eventos A : a mulher estar viva daqui a 30 anos. Assim, o conjunto A representa o evento a mulher n˜ao estar viva aqui a 30 anos. Logo,

P (A) = 1 − P (A) = 1 − 34 =^14.

Exemplo 1.3.8. Lan¸ca-se um dado e uma moeda. Determine a probabilidade de cair face cara na moeda ou sair um resultado par no dado. Solu¸c˜ao: Consideremos os eventos A : cair face cara na moeda e B : sair um resultado par no dado. Assim, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =^12 +^12 − 14 =^34. H´a trˆes processos importantes para se obter uma estimativa da probabilidade de certo evento. Processo Cl´assico, ou ”a priori”: Se um evento pode ocorrer de r maneiras diferentes, em um total de n maneiras poss´ıveis, com, digamos, todas igualmente prov´aveis, teremos ent˜ao que a probabilidade de ocorrˆencia deste evento ser´a rn (veremos mais tarde).

Exemplo 1.3.9. Suponha que desejemos determinar a probabilidade do aparecimento da face cara ao se lan¸car uma moeda honesta. Como h´a dois resultados poss´ıveis, ”cara”e ”coroa”podemos admitir que esta probabilidade ´e de 1/2. Obviamente, estamos supondo que esta moeda ´e total- mente equilibrada, de modo a n˜ao tender a nenhum dos resultados poss´ıveis num lan¸camento qualquer.

Processo da Frequˆencia, ou ”a posteriori”: Se ap´os n repeti¸c˜oes de um experimento (n su- ficientemente grande) observarmos r ocorrˆencias de um determinado evento, ent˜ao admitiremos ser, aproximadamente, (^) nr a sua probabilidade de ocorrˆencia.

Exemplo 1.3.10. Se jogarmos uma moeda 1000 vezes e aparecer cara 540 vezes, estimamos a probabilidade de ocorrˆencia da face cara como sendo 0, 54.

Processo Subjetivo: A probabilidade de ocorrˆencia de um evento A, ´e estimada usando-se o conhecimento de circunstˆancias relevantes.

Exemplo 1.3.11. Ao tentar estimar a probabilidade de um astronauta sobreviver a uma miss˜ao do ˆonibus espacial, os peritos consideram enventos passados, junto com mudan¸cas na tecnologia e condi¸c˜oes de treinamento, para desenvolver uma estimativa de probabilidade. Estima-se atualmente que esta probabilidade seja de 0, 99.

1.4 Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 1. Seja A o conjunto de todos os n´umeros naturais entre 5 e 15 que s˜ao pares. Descreva o conjunto A.

Exerc´ıcio 2. Dois dados s˜ao lan¸cados simultaneamente. Determine o espa¸co amostral associ- ado a este experimento aleat´orio.

Exerc´ıcio 3. Determine o n´umero de subconjuntos dos conjuntos: a) A = { 1 , 2 }. b) B = { 1 , 2 , 3 }. c) C = { 1 , 2 , 3 , ..., n}.

Exerc´ıcio 4. Trˆes cavalos A, B e C, est˜ao em uma corrida; A tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que C. Determine a probabilidade de vit´oria de cada cavalo.

Exerc´ıcio 5. De um baralho comum de 52 cartas extrae-se uma carta ao acaso. Descreva o espa¸co amostral: a) n˜ao levando-se em conta o naipe; b) levando-se em conta o naipe.

1.5 Solu¸c˜ao dos Exerc´ıcios

Solu¸c˜ao do Exerc´ıcio 1. Trivialmente, temos:

A = { 6 , 8 , 10 , 12 , 14 }.

Solu¸c˜ao do Exerc´ıcio 2. Temos

S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), ..., (4, 6), (5, 6), (6, 6)}

em que a primeira coordenada corresponde ao resultado do primeiro dado e a segunda co- ordenada corresponde ao resultado do segundo dado. Temos portanto, um espa¸co amostral composto por 36 elementos.

Solu¸c˜ao do Exerc´ıcio 3. a) Note que P(A) = {∅, { 1 }, { 2 }, { 1 , 2 }} e, portanto, n(P(A)) = 4. b) Analogamente ao item a, temos, n(P(B)) = 8. c) Responder a este item ´e um pouco mais complexo. Note que, dado x ∈ A, temos que

Cap´ıtulo 2

C´alculo das Probabilidades em Espa¸cos

Amostrais Finitos

2.1 Espa¸cos Amostrais Finitos

Defini¸c˜ao 2.1.1. Seja S um espa¸co amostral finito S = {a 1 , ..., an}. Chama-se evento simples todo evento formado por um ´unico elemento, isto ´e, Ai = {ai}. A cada evento simples Ai associa-se um n´umero pi denominado probabilidade de Ai, satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes: i) pi ≥ 0, i = 1, 2 , ..., n. ii) p 1 + ... + pn = 1.

Se um dado evento A pode ser decomposto em termos de eventos simples como A = Ai 1 ∪ Ai 2 ∪ ... ∪ Ais ,

com i 1 , i 2 , ...is ∈ { 1 , 2 , ..., n}, ent˜ao

P (A) = P (Ai 1 ) + P (Ai 2 ) + ... + P (Ais ).

Exemplo 2.1.2. Trˆes cavalos A, B e C, est˜ao em uma corrida; A tem duas vezes mais proba- bilidade de ganhar que B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que C. Determine a probabilidade de vit´oria de cada cavalo. Solu¸c˜ao: Seja P (A) = p 1 , P (B) = p 2 e P (C) = p 3. Temos que:

p 1 +p 2 +p 3 = 1 ⇒ 2 p 2 +p 2 +p 3 = 1 ⇒ 2. 2 p 3 +2p 3 +p 3 = 1 ⇒ 7 p 3 = 1 ⇒ p 1 =^47 , p 2 =^27 e p 3 =^17.

Defini¸c˜ao 2.1.3. Um espa¸co amostral S ´e dito equiprov´avel se cada evento simples Ai tem mesma probabilidade.

De acordo com a Defini¸c˜ao 2.1.3 temos que, se

A 1 ∪ ... ∪ An = S,

ent˜ao

P (A 1 ∪ ... ∪ An) = 1 ⇔ P (A 1 ) + ... + P (An) = 1 ⇔ nP (Ai) = 1 ⇔ P (Ai) =^1 n, i = 1, 2 , ..., n.

Assim, se A = Ai 1 ∪ ... ∪ Air , ent˜ao P (A) = r. (^) n^1 = rn.

Exemplo 2.1.4. Num lote de 12 pe¸cas, 4 s˜ao defeituosas. Se duas pe¸cas s˜ao retiradas aleato- riamente, calcule a probabilidade de ambas as pe¸cas n˜ao serem defeituosas. Solu¸c˜ao: Podemos resolver considerando o evento A : ambas as pe¸cas n˜ao serem defeituosas. Temos que o n´umero de eventos (equiprov´aveis) de S ´e dado por:

n(S) = C^122 = (^) 2!(1212! − 2)! = 66.

Por outro lado, n(A) = C 28 = (^) 2!(88! − 2)! = 28. Assim, P (A) = n n((AS)) =^2866 =^1433.

Observa¸c˜ao 2.1.5. O n´umero de combina¸c˜oes (a ordem dos elementos n˜ao importa) de p elementos tomados p a p ´e dado por

Cpn = (^) p!(nn −! p)!.

O n´umero de arranjos (a ordem dos elementos importa) de p elementos tomados p a p ´e dado por Anp = (^) (n −n! p)!.

2.2 Probabilidade Condicional

Em alguns caso buscamos certas probabilidades tendo o conhecimento pr´evio de certa informa¸c˜ao referente `a eventos j´a ocorridos. Vejamos o exemplo que segue:

Exemplo 2.2.1. Em uma corrida de cavalos h´a 12 competidores sendo, 4 competindo com cavalos da ra¸ca A, e 8 com cavalos da ra¸ca B. Ao final de uma corrida, determine a probabilidade de um corredor X usando um cavalo da ra¸ca A ter vencido, sabendo que o animal vencedor ´e